机车启动问题(解析版)

机车启动问题
1.两种启动方式的比较
两种方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P -t 图和v -t 图
O
A
段
过程分析 v ↑⇒F ＝
P
不变v ↓⇒a ＝F －F 阻
m
↓ a ＝F －F 阻m 不变⇒F 不变，P =====v ↑
Fv ↑
直到P 额＝Fv 1
运动性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，维持时间t 0＝v 1
a
A B 段
过程分析 F ＝F 阻⇒a ＝0⇒F 阻＝P
v m
v ↑⇒F ＝P 额v ↓⇒a ＝F －F 阻
m
↓
运动性质
以v m 做匀速直线运动
加速度减小的加速直线运动
BC 段 无
F ＝F 阻⇒a ＝0⇒F 阻＝P 额
v m ，以v m 做匀速
直线运动
重
要方程
平衡方程
AB 段：F 阻＝F 牵＝P v m ，全程阻力不变，也等于O A 段阻力 BC 段：F 阻＝F 牵＝P 额
v m
，全程阻力不变，也等于O A 段、AB 段阻力 牛顿第二定律 加速度：
O A 段任意速度v 1时，a ＝P
v 1
－F 阻m ＝
P v 1－P v m
m
加速度：O A 段 a ＝v 1t 0＝P 额v 1－P 额
v m m
AB 段：速度为v 2时， a ′＝P 额v 2－P 额
v m m
动能定理
加速段位移x 满足：
Pt －F 阻x ＝1
2mv 2m
－0
加速段位移x 满足：
P 额t 0＋P 额(t 1－t 0)－F 阻x ＝1
2mv 2m
－0
2. 三个重要关系式
(1) 无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即v m ＝P
F 阻。

(2) 机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束后功率最大，速度不是最大，即v ＝P F <v m ＝P
F 阻。

(3) 机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W ＝Pt ，由动能定理得Pt －F 阻x ＝ΔE k ，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移或速度。

【典例】一列火车总质量m ＝500 t ，发动机的额定功率P ＝6×105 W ，在水平轨道上行驶时，轨道对火车的阻力f 是车重的0.01倍，g 取10 m/s 2。

(1)求火车在水平轨道上行驶的最大速度v m ；
(2)在水平轨道上，发动机以额定功率P 工作，当行驶速度为v 1＝1 m/s 时，求火车的瞬时加速度a 1； (3)在水平轨道上以36 km/h 的速度匀速行驶时，求发动机的实际功率P ′；
(4)若火车从静止开始，保持a ＝0.5 m/s 2的加速度做匀加速运动，求这一过程维持的最长时间t 。

【答案】：(1)12 m/s (2)1.1 m/s 2 (3)5×105 W (4)4 s
【解析】：(1)火车以额定功率行驶，当牵引力等于阻力，即F ＝f ＝kmg 时，火车的加速度为零，速度达
【跟踪短训】
1．质量为m 的汽车，启动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为P ，且行驶过程中受到的摩擦阻力大小一定，汽车速度能够达到的最大值为v ，那么当汽车的车速为v
4
时，汽车的瞬时加速度的大小为( )
A.P mv
B.2P mv
C.3P mv
D.4P mv
【答案】C
【解析】 当汽车牵引力等于阻力时，速度最大，则阻力F f ＝P v ，当速度为v 4时，牵引力F ＝P v 4
＝4P
v
，由
牛顿第二定律得F－F f＝ma，解得a＝3P
mv，选项C正确。

2．一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m的重物，当重物的速度为v1时，起重机的功率达到最大值P，以后起重机保持该功率不变，继续提升重物，直到以最大速度v2匀速上升，物体上升的高度为h，则整个过程中，下列说法正确的是()
A．钢绳的最大拉力为P
v2 B．钢绳的最大拉力为mg
C．重物做匀加速运动的末速度为P
mg
D．重物做匀加速运动的加速度为P
mv1－g
【答案】D
3. 两辆完全相同的汽车，都拖着完全相同的拖车以相同的速度在平直公路上匀速齐头并进，某一时刻两拖车同时与汽车脱离，之后甲汽车保持原来的牵引力继续前进，乙汽车保持原来的功率继续前进，则一段时间后(假设均未达到最大功率)()．
A．甲车超前，乙车落后
B．乙车超前，甲车落后
C．它们仍齐头并进
D．甲车先超过乙车，后乙车又超过甲车
【答案】 A
【解析】拖车与汽车脱离之前，汽车的牵引力等于摩擦力，脱离之后，汽车受到的摩擦力F f减小，因为甲汽车的牵引力F保持不变，所以其将做匀加速直线运动，且加速度的大小为a＝(F－F f)/m，而乙汽车保持原来的功率不变做加速运动，根据P＝Fv可知，其牵引力会随其速度的逐渐增大而减小，其加速度大小也会从a＝(F－F f)/m逐渐减小，可见，甲车的速度较大，甲车超前，乙车落后．
4. 把动力装置分散安装在每节车厢上，使其既具有牵引动力，又可以载客，这样的客车车辆叫做动车．几节自带动力的车辆(动车)加几节不带动力的车辆(也叫拖车)编成一组，就是动车组，假设动车组运行过程中受到的阻力与其所受重力成正比，每节动车与拖车的质量都相等，每节动车的额定功率都相等．若1节动车加3节拖车编成的动车组的最大速度为120 km/h；则6节动车加3节拖车编成的动车组的最大速度为()．
A ．120 km/h
B ．240 km/h
C ．320 km/h
D ．480 km/h
【答案】 C
【解析】 若1节动车加3节拖车编成的动车组的最大速度为v 1＝P
4kmg ＝120 km/h ；则6节动车加3
节拖车编成的动车组的最大速度为v 2＝6P 9kmg ＝23×4v 1＝8
3
×120 km/h ＝320 km/h ，故选项C 正确．
5. (多选)质量为2×103 kg 的汽车由静止开始沿平直公路行驶，行驶过程中牵引力F 和车速倒数1
v 的关系
图像如图所示。

已知行驶过程中最大车速为30 m/s ，设阻力恒定，则( )
A ．汽车所受阻力为6×103 N
B ．汽车在车速为5 m/s 时，加速度为3 m/s 2
C ．汽车在车速为15 m/s 时，加速度为1 m/s 2
D ．汽车在行驶过程中的最大功率为6×104 W 【答案】CD
6．质量为2 000 kg 、额定功率为80 kW 的汽车，在平直公路上行驶的最大速度为20 m/s.若汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为2 m/s 2，运动中汽车所受阻力的大小不变．求：
(1)汽车所受阻力的大小． (2)3 s 末汽车的瞬时功率． (3)汽车做匀加速运动的时间．
(4)汽车在匀加速运动中牵引力所做的功．
【答案】 (1)4 000 N (2)4.8×104 W (3)5 s (4)2×105 J
7. 如图甲所示，在水平路段AB 上有一质量为2×103 kg 的汽车，正以10 m/s 的速度向右匀速运动，汽车前方的水平路段BC 较粗糙，汽车通过整个ABC 路段的v －t 图象如图乙所示(在t ＝15 s 处水平虚线与曲
线相切)，运动过程中汽车发动机的输出功率保持20 kW 不变，假设汽车在两个路段上受到的阻力(含地面摩擦力和空气阻力等)各自有恒定的大小．
(1)求汽车在AB 路段上运动时所受的阻力F f 1； (2)求汽车刚好到达B 点时的加速度a ； (3)求BC 路段的长度．
【答案】 (1)2 000 N (2)－1 m/s 2 (3)68.75 m
【解析】 (1)汽车在AB 路段时，有F 1＝F f 1，P ＝F 1v 1，F f 1＝P v 1，联立解得：F f 1＝20×103
10 N ＝2 000 N.
(2)t ＝15 s 时汽车处于平衡态，有F 2＝F f 2，P ＝F 2v 2， F f 2＝P v 2，联立解得：F f 2＝20×103
5 N ＝4 000 N.
t ＝5 s 时汽车开始减速运动，有F f 1－F f 2＝ma ， 解得a ＝－1 m/s 2. (3)Pt －F f 2x ＝12mv 22－12mv 2
1 解得x ＝68.75 m.。