二次函数与一二次方程关系解题技巧

一、一元二次方程及其解法解题技巧

类型一巧用一元二次方程的定义解题

【例1】若关于x 的方程是一元二次方程，则= ____________ ．

【解析】一元二次方程的定义中包含三要素：(1) 只含有一个未知数；(2) 未知数的最高次数为2；(3)

整式方程．依题意，得，解得；

【答案】

【小结】有关一元二次方程的概念，要把握住未知数的最高次数为2，且二次项的系数不为0，还要

是整式方程.

类型二巧用一元二次方程的根的意义解题

【例2】关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是_________________________________________________ ．【解析】把0 代入一元二次方程即可得到关于的一元二次方程

，从而求得．但二次项的系数，即，所以．

【答案】

【小结】将已知的一元二次方程的根代入该方程中即可求出字母系数的值，但要注意二次项系数不为零这一隐含条件．【例3】已知是方程的两根，且，则的

值等于( )

A．－5 B．5 C．－9 D．9

【解析】由于m、n 是方程的根，将m、n代入该方程可得m2－2m-1=0，n2－2n－1 =0，即m2－2m=1，n2－2n=1 ．变形，得7m2－14m=7，3n2－6n=3，因此(7+a)(3－7)=8，所以a=－9．

【答案】C 【小结】从方程的根入手，将其根代入方程，进而构造出一个新的方程．在解本题的过程中，还应用了整体的思想，同时要注意把握条件与结论之间的关系，即括号中的7m2－14m、3n2－6n 与已知方程之间

的关系．从而使问题得到快速求解．

类型三巧构一元二次方程的根

【例4】已知一元二次方程（为常数）满足，则

该方程的一根必为___________ ．

【解析】 结合一元二次方程根的定义，当 时，满足方程左、右两边都相等，由此判断方程的

一根必为 x= ． 【答案 】x=

【小结】 估算一元二次方程的根时，应结合根的意义，通过观察，比较得出．

类型四 判断一元二次方程根的范围

【 例 5】根据下列表格中的对应值，判断方程

（ 为常数）的一

A ．

B ．

C ．

D ．

【解析】 由表格中的数据发现：当 x=6. 18时，代数式 的值为－ 0.01；当 x=6. 19时，

代数式 的值为 0. 02，要从表格中判断 =0 的解，可发现未知数 x 的值应处于 6.

18 到 6. 19 之间．

【答案】C

【小结 】解决本题的关键在于理解根的意义，使方程左右两边相等的未知数的值就是该方程的解．

类型五 与一元二次方程的根有关的开放题

【例 6】已知关于 的一元二次方程的一个根是 1，写出一个符合条件的方程： ___________________________ ． 【解析 】答案不唯一，可先写出二次项，再写出一次项，最后写能使该方程有一根为

1的常数项．

【答案 】答案不唯一，如：

即

等．

二、实际问题与一元二次方程解题技巧

近几年有关一元二次方程的应用题在中考中经常出现，此类题大多以现实生活中的热点新闻、热点事 件为背景，形式多变．主要是考查分析问题、解决问题能力．

1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：

（ 1）审；（ 2）设；（ 3）列；（ 4）解；（ 5）检验；（ 6）答．

2．一元二次方程的应用

几何问题

类型一增长率、减少率问题

【例1】长沙市某楼盘准备以每平方米5000 元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050 元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；

（2）某人准备以开盘均价购买一套100 平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：

①打9.8 折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月 1. 5 元，请问哪种方案更优

惠？

分析】（1）设平均每次下调的百分率为x，根据第一次下调后为第二次下调后为列方程求解即可；2）从购房和物业费两方面，比较方案①、方案②即可．

解】（1）设平均每次下调的百分率为x，根据题意，得．解得=

10％，（不合题意舍去）．所以平均每次下调的百分率为10％．

（2）方案①的房款是：4050×100×0. 98=396900（元）；

方案②的房款是：4050×100－1. 5×100×12×2=401400（元）．

∵ 396900< 401400，

∴选方案①更优惠．

【小结】增长（降低）率是列方程解实际问题最常见的题型之一，对于平均增长率问题，正确理解有关“增长”问题的一些词语的含义是解答这类问题的关键，常见的词语有：“增加”“增加到”“增加了几倍”“增长到几倍” “增长率”等等．弄清基数、增长（减少）后的量及增长（减少）次数，平均增长

率公式为（为基数，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量）．同时解出未知数的值是否符合题意一定要考虑清楚．类型二病毒倍数传播问题

【例2】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制， 3 轮感染后，

被感染的电脑会不会超过700 台？

【分析】设一台每轮感染给x 台电脑，则第一轮后有（1+ x）台，经过第二轮感染后，共有．

解】设每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，依题意，得．

解得x=8 或－10（负值不合题意，舍去）．

∵>700，∴若病毒得不到有效控制，3 轮感染后，被感染的电脑会超过700 台．