高中数学解不等式方法+练习题

不等式
要求层次 重难点
一元二次不等式
C
解一元二次不等式
（一） 知识容
1．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式．
一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以0a >为例）：
有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解．
判别式
24b ac ∆=-
0∆> 0∆= 0∆<
二次函数
2y ax bx c =++
(0)a >的图象
一元二次方程
20ax bx c ++= (0)a ≠的根
有两相异实根
12,x x =
242b b ac
a
-±-
12()x x <
有两相等实根
122b
x x a
==-
没有实根
一元二次不等式的解集
2
0ax bx c ++>
(0)a > {1
x x x <
或}2x x >
{R x x ∈，且
2b x a ⎫≠-
⎬⎭
实数集R
20ax bx c ++<
(0)a >
{}1
2x x
x x <<
∅ ∅
例题精讲
高考要求
板块一：解一元二次不等式
解不等式
（二）主要方法
1．解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间； 2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理； 3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解．
（三）典例分析：
1.二次不等式与分式不等式求解
【例1】 不等式
1
12
x x ->+的解集是 ．
【变式】 不等式2230x x --+≤的解集为（ ）
A ．{|31}x x x -或≥≤
B ．{|13}x x -≤≤
C ．{|31}x x -≤≤
D ．{|31}x x x -或≤≥
【变式】 不等式
25
2(1)x x +-≥的解集是（ ） A ．132⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦
，
B ．132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，
C ．(]11132⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭
，，
D ．(]11132
⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭
，，
2.含绝对值的不等式问题
【例2】 已知n *∈N ，则不等式
220.011
n
n -<+的解集为（ ） A ．{}|199n n n *∈N ≥， B ．{}|200n n n *∈N ≥， C ．{}|201n n n *∈N ≥，
D ．{}|202n n n *∈N ≥，
【例3】 不等式
1
11
x x +<-的解集为（ ） A ．{}{}|01|1x x x x <<>
B ．{}|01x x <<
C ．{}|10x x -<<
D ．{}|0x x <
【变式】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集，则实数a 的取值围是 _．
【例4】 若不等式1
21x a x
+
-+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________．
【例5】 若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123，，，则b 的取值围为 ．
3.含参数不等式问题
【例6】 若关于x 的不等式22840x x a --->在14x <<有解，则实数a 的取值围是（ ）
A ．4a <-
B ．4a >-
C ．12a >-
D ．12a <-
【变式】 ⑴已知0a <，则不等式22230x ax a -->的解集为 .
⑵若不等式897x +<和不等式220ax bx +->的解集相同，则a b -=______．
【例7】 若不等式220ax x ++>的解集为R ，则a 的围是（ ）
A ．0a >
B ．18a >-
C ．1
8
a > D ．0a <
【例8】 若关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1)-∞，，则关于x 的不等式
02
ax b
x +>-的解集为（ ）
A ．()()12-∞-+∞，
，
B ．(12)-，
C ．(12)，
D ．()()12-∞+∞，，
【例9】 01b a <<+，若关于x 的不等式22()()x b ax ->的解集中的整数恰有3个，则（ ）
A ．10a -<<
B ．01a <<
C ．13a <<
D ．36a <<
【例10】 ⑴要使满足关于x 的不等式2290x x a -+<(解集非空)的每一个x 至少满足不等式
2430x x -+<和2680x x -+<中的一个，则实数a 的取值围是 ；
⑵已知不等式20ax bx c ++>的解集是{}|x x αβ<<，其中1βα>>，则不等式
()()220a ax bx c cx bx a ++++<的解集是 ．
4.解不等式与分类讨论
【例11】 设m ∈R ，解关于x 的不等式22230m x mx +-<．
【变式】 解关于x 的不等式()()3110()m x x m +-+>∈⎡⎤⎣⎦R ．
【点评】 解含参数的不等式,进行讨论时要注意对所含字母的分类要做到不重不漏.
【例12】 求不等式22(1)40ax a x -++>的解集．
【例13】 解关于x 的不等式
(1)
1(1)2
a x a x ->≠-
【变式】 解关于x 的不等式223()0x a a x a -++>．
【例14】 解不等式()21410m x x +-+≤.
【点评】 对于二次项系数也含有参数的一元二次不等式，首先应判定二次项系数是否为零，分别加以
讨论，然后在二次项系数不为零的条件下，求出判别式0∆=的零点，分类进行讨论.
5.与二次方程或可化为二次方程的解的问题结合，
【例15】 关于x 的方程2210ax x +-=至少有一个正的实根，则a 的取值围是（ ）
A ．a ≥0
B ．10a -≤≤
C ．0a >或10a -<<
D ．1a -≥
【例16】 已知关于x 的方程2(3)4210m x mx m +-+-=的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实
数m 的取值围是（ ）
A ．30m -<<
B ．03m <<
C ．3m <-或0m >
D ．0m <或3m >
【例17】 有如下几个命题：
①如果1x ，2x 是方程20ax bx c ++=的两个实根且12x x <，那么不等式20ax bx c ++<的解集为12{|}x x x x <<；
②当240b ac ∆=-<时，二次不等式20ax bx c ++>的解集为∅；
③0x a x b --≤与不等式()()0x a x b --≤的解集相同； ④2231
x x x -<-与223(1)x x x -<-的解集相同．
其中正确命题的个数是（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
【例18】 若关于x 的方程9(4)340x x a +++=有解，数a 的取值围.
【例19】 已知a ∈R ，若关于x 的方程21
04
x x a a ++-
+=有实根，则a 的取值围是 ．
6.恒成立问题
【例20】 若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对x ∈R 恒成立，则a 的取值围是______．
【变式】 2()1f x ax ax =+-在R 上恒满足()0f x <，则a 的取值围是（ ）
A ．0a ≤
B ．4a <-
C ．40a -<<
D ．40a -<≤
【变式】 若对于x ∈R ，不等式2230mx mx ++>恒成立，数m 的取值围．
【点评】 对于有关二次不等式20ax bx c ++>（或0<）的问题，可设函数2()f x ax bx c =++，由a 的符
号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与x 轴的交点，由判别式进行解决．
【例21】 ⑴不等式210x ax ++≥对一切102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
，成立，则a 的最小值为（ ）
A ．0
B ．2-
C ．5
2
- D ．3-
⑵不等式2|3||1|3x x a a +---≤对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值围为（ ） A ．(][)14-∞-+∞，，
B ．(]
[)25-∞-+∞，，
C ．[12]，
D ．(][)12-∞∞，
，
【变式】 对任意[11]a ∈-，，
函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零，则x 的取值围为_________．
【例22】 若不等式
lg 21lg()
ax
a x <+在[1,2]x ∈时恒成立，试求a 的取值围．
【点评】 将参数a 从不等式
lg 21lg()
ax
a x <+中分离出来是解决问题的关键．
【例23】 若(]1x ∈-∞-，，()21390x x a a ++->恒成立，数a 的取值围.
【例24】 设()222f x x ax =-+，当[)1x ∈-+∞，时，都有()f x a ≥恒成立，求a 的取值围.
【例25】 设对所有实数x ，不等式()()2
2
2
222
4112log 2log log 014a a a
x x a a a ++++>+恒成立，求a 的取值围.
【例26】 已知不等式22412ax x x a +---≥对任意实数恒成立，数a 的取值围．
【例27】 已知关于x 的不等式20x x t ++>对x ∈R 恒成立，则t 的取值围是 ．
【例28】 如果|1||9|x x a +++>对任意实数x 恒成立，则a 的取值围是（ ）
A ．{|8}a a <
B ．{|8}a a >
C ．{|8}a a ≥
D ．{|8}a a ≤
【例29】 在R 上定义运算⊗：)1(y x y x -=⊗．若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，
则（ ）
A ．11<<-a
B ．20<<a
C ．2
3
21<<-
a D ．2
1
23<<-
a
【例30】 设不等式2220x ax a -++≤的解集为M ，如果[1,4]M ⊆，数a 的取值围．
【点评】 若将本题改为：[1,4]M ⊆，求a 的取值围，则本题等价于：
当[1,4]x ∈时，2220x ax a -++≤恒成立，求a 的取值围．
可以通过讨论对应二次函数的对称轴，或者在不等式中将a 解出，通过求出对应的代数式的
取值围解决此问题．
仅用第二种方法略解如下：
2222(12)20x ax a x a x -++=-++≤，故2(21)2x a x -+≥，
∵[1,4]x ∈，∴2110x ->≥，从而要满足题意，只需22
21x a x +-≥，对[1,4]x ∈恒成立即可．
故要求22
21
x x +-在[1,4]x ∈时的最大值，令21[1,7]t x =-∈，
则22
2
1
(1)22291194()21424t x t t t x t t t
+++++===++-， 由对勾函数的单调性知：上式在1t =或7t =时取到最大值． 比较知：当1t =时，上式有最大值3，
故当3a ≥时，有2220x ax a -++≤对[1,4]x ∈恒成立． 即a 的取值围为[3,)+∞．
（一）典例分析：
1.利用函数单调性解不等式
【例31】 解不等式：21log (6)2x x x --->．
【变式】 解关于x 的不等式：23log (34)0x x x ---<．
2.解不等式与函数综合问题
【例32】 已知函数32()()f x x ax b a b =-++∈R ，
⑴若函数()f x 图象上任意一点处的切线的斜率小于1，求证：33a <
⑵若[]01x ∈，，函数()y f x =图象上任意一点处的切线的斜率为k ，试讨论1k ≤的充要条件．
【备注】 为了缩小讨论围，本题可以一开始将1x =代入2321x ax -+≤中，解得12a ≤≤，再进行讨
论．本题讨论过程中的充要条件的得出结合二次函数的图象会比较容易理解，配图略．
【例33】 ⑴ 求函数22()123lg(1521)f x x x x x =--+-的定义域．
⑵ (省上杭二中08－09学年单元质量检查必修5数学试题)
如果关于x 的不等式23
208
kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值围是 ．
⑶ (省上杭二中08－09学年单元质量检查必修5数学试题)
设()321f x ax a =-+，若存在0(1,1)x ∈-，使0()0f x =，则实数a 的取值围是（ ）
板块二：解不等式综合问题
A ．115a -<<
B ．1a <-或15a >
C ．1a <-
D ．1
5
a >
【例34】 已知函数()1)f x x g x =+，若不等式(3)(392)0x x x f m f ⋅+--<对任意x ∈R 恒成立，
数m 的取值围．
【例35】 已知不等式
()11112
log 112
2123
a a n n n +++
>-+++对于一切大于1的自然数n 都成立，试数a 的取值围.
【例36】 已知二次函数2()f x ax x =+，如果[0,1]x ∈时|()|1f x ≤，数a 的取值围．
【点评】 在闭区间[0,1]上使|()|1f x ≤分离出a ，然后讨论关于
1
x
的二次函数在[1,)+∞上的单调性．
【例37】 设二次函数()()20f x ax bx c a b c a =++∈≠R ，
，，满足条件： ⑴ 当x ∈R 时，()()42f x f x -=-，且()f x x ≥；
⑵ 当()02x ∈，时，()2
12x f x +⎛⎫
⎪⎝⎭
≤ ⑶ ()f x 在R 上的最小值为0.
求最大的()1m m >，使得存在t ∈R ，只要[]1x m ∈，，就有()f x t x +≤.
【点评】 本题所用方法为先根据已知条件求出m 小于某个数，再验证m 是否可取到此值，若能取到，
则此值为m 的最大值．
【例38】 设a 为实数，函数()()22f x x x a x a =+--．
⑴若()01f ≥，求a 的取值围； ⑵求()f x 的最小值．
【变式】 设函数()()()h x f x x a =∈+∞，，，直接写出．．．．（不需给出演算步骤）不等式()1h x ≥的解集．
【备注】 本题是卷的文理科必做题的最后一题，文理不分卷，但根据学生的不同有些学生另有选做题，
包括选考容与排列组合、空间向量等． 本题⑶问相当有难度，思路分析如下：
22()32()h x x ax a x a =-+>，22()13210h x x ax a ⇔-+-≥≥．
对应的一元二次方程223210x ax a -+-=的判别式24(32)a ∆=-，
①当0∆≤
，即6a ⎛⎡⎫
∈-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦
⎣
⎭
，，时，不等式的解集为
()a +∞，； ②当0∆>
，即a ⎛∈ ⎝⎭
时，记小根1x =，大根
2x =， 当2a x ≥，即a
()a +
∞，； 当12x a x <≤，即a
<
时，不等式的解集为2[)x +∞，； 当1a x <，即a <时，不等式的解集为12(][)a x x +∞，，． 综上可得答案．
【例39】 已知集合(){}121212|00D x x x x x x k =>>+=，，，(其中k 为正常数).
⑴ 设12u x x =，求u 的取值围；
⑵ 求证：当1k ≥时不等式2
12121122k x x x x k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤对任意()12x x D ∈，恒成立；
⑶ 求使不等式2
12121122k x x x x k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭≥对任意()12x x D ∈，恒成立的2k 的围.
【例40】 如果()f x 在某个区间I 满足：对任意的12x x I ∈，，都有12121
[()()]2
2x x f x f x f +⎛⎫+ ⎪⎝⎭
≥
，则称()f x 在I 上为下凸函数；已知函数1
()ln f x a x x
=
-． ⑴证明：当0a >时，()f x 在(0)+∞，上为下凸函数；
⑵若()f x '为()f x 的导函数，且122x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，时，|()|1f x '<，数a 的取值围．
【例41】 在R 上定义运算()()1
:43
p q p c q b bc ⊗⊗=-
--+（b 、c 为实常数）
．记()212f x x c =-，()22f x x b =-，x ∈R ．令()()()12f x f x f x =⊗．
⑴如果函数()f x 在1x =处有极值4
3
-，试确定b 、c 的值；
⑴求曲线()y f x =上斜率为c 的切线与该曲线的公共点；
⑵令()()g x f x '=，记函数()g x 在区间[]11-，
上的最大值为M ．若1b >，证明对任意的c ，都有2M >．
【例42】 设()()20f x ax bx c a =++≠，若(0)1f ≤，(1)f ≤1，(1)1f -≤，
试证明：对于任意11x -≤≤，有()5
4
f x ≤．。