14命题逻辑公理化PPT课件

定理2: | PP
(1) P (PQ)
A2
(2) P (PP)
(1)代入[Q/P]
(3) (PP)P
A1
(4) (QR ) ((PQ )(PR ))
定理1
(5) ((PP)P) ((P(PP))(PP)) (4)代入[Q/PP, R/P]
(6) (P(PP))(PP)
(3)(5)分离
(7) PP
换得出另一wff.
• 建立了形式系统,即可进行推理,从老wff产生新 的wff(定理).
– 不是所有wff都是定理.
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例:一个形式系统
• 形式系统:
– 初始符号:, ,
– 形成规则:, , 的任意有限序列都是wff.
– 初始公式:令x是任一串,系统有唯一公理(模式)
• 公理
A1. | (P P ) P A2. | P (P Q ) A3. | (P Q ) (Q P ) A4. | (Q R ) ((P Q ) (P R ))
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命题逻辑公理系统(续)
• 变形规则(推理规则)
R1. 代入规则:若| , 则| [p/ ]. (将公式中的某符号p处处代以公式, 称为 代入,结果记作 [p/ ].)
k < i )实施推理规则而得;
则称此公式序列是定理n 的一个证明.
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例:定理证明
定理1: | (QR ) ((PQ )(PR ))
(1) | (QR) ((PQ )(PR ))
A4
(2) | (QR) ((PQ )(PR )) (1)代入[P/P]
(3) | (QR ) ((PQ )(PR )) (2)置换D2
命题逻辑的公理化
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形式化与公理化
• 此前我们讨论命题逻辑,是从语义角度,非形式 化地、不严谨地进行解释性的讨论.
• 而数学传统追求的是严格的形式化、公理化系 统.
– 形式化:符号化,只有语法定义,并无语义解释.
– 公理化:从初始符号串(公理)出发,根据符号变换规则, 推导出其他符号串(定理).
具体的公理化系统:语法+语义 形式的公理化系统:语法.
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A1: xx
– 变形规则: 令x, y, z表示任意串.
R1: 若xyz是定理, 则 xyz也是定理.
• 在此系统里可以证明是定理.
证明:
(1)
A1[x/]
(2) . (1)R1
• 此系统有意义吗?
– 试试这个解释: 解释为+, 解释为=.
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命题逻辑的重言式公理系统
(2)(6)分离
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提问与解答环节
Questions And Answers
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谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
R2. 分离规则:若| , | , 则| .
R3. 置换规则:定义的左右方可互相替换.设对
公式施以置换后得到公式. 若| , 则| .
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定理的证明
• 设有公式序列1,2,…,n.如果每个i
(1in) (1) 或者是公理之一;
(2) 或者是由前面的一个或两个h和k (h,
– 欧氏几何就是一个经典的公理化系统.
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形式系统的组成
• 形式系统组成:
– 初始符号:可用符号的集合. – 形成规则(wff定义):规定如何构成合法的符号串
(wff). – 初始公式(公理):进行推导的出发点. – 变形规则(推理规则):规定如何从几个wff经过符号变
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命题逻辑公理系统
• 初始符号
– 命题符号: A,B,C,…… – 联结词: , – 辅助符号: (, ) – 可证符号: | (后接公式,表示该公式在系统
中是可证明的)
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命题逻辑公理系统(续)
• 形成规则
(1)命题符号是公式;
(2)若是公式, 则是公式; (3)若和是公式, 则 是公式;
• 命题逻辑的重言式可组成一个公理系统.
• 后面给出这个形式化公理系统.该系统的 语义可以是:
– 初始符号表示有真假的命题及真值联结词; – 初始命题是重言式; – 从公理出发,利用推理规则,可以推导出定理.
定理都是重言式
– 该系统推出的都是重言式,而且能推出所有重 言式.
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(4)公式仅限于此.
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命题逻辑公理系统(续)
• 定义
D1. 定义为( ) D2. 定义为 D3. 定义为( ) ( )
– 这是为了简化公式表达.也可将作为初 始符号,并增加相应形成规则.
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命题逻辑公理系统(续)