函数中的恒成立问题

集
不等式 ax2+bx+c<0(a>0)的解
集
{x|x<x1或x>x2}
{x|x1<x<x2}
有两相等根 x1=x2=-b/2a
{x|x≠-b/2a}
没有实根
R
例1：若mx 2 6mx m 8 0恒成立，求 m的取值范围。
解：当m 0时，不等式可化为8 0，成立
当m
0时，由题意得m
0 0
2.若对于任意的 x [1,1]，函数f (x) (a 4)x 4 2a 的值总大于 0，求a的取值范围。
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由题意得： f (2) 0 g(x)
a 1
-2
2
法二：a x 3在x [2,2]上恒成立
设g(x) x 3
g(x) x 3在[2,2]上的最小值为 g(2) 1 a 1
变式1： 已知函数f (x) ax 3 a在x [2,2]上f (x) 0恒成立， 求a的取值范围。
变式2： 已知函数f (x) x2 x 3 a在x [1,2]上f (x) 0恒成立， 求a的取值范围。
m2
m
0
0
m
1
综上：0 m 1
变式1： 若函数y mx2 6mx m 8的定义域为R，求m 的取值范围。
变式2： 若函数f (x) x2 ax 3 a在R上f (x) 0恒成立，求a 的取值范围。
例2：已知x 3 a 0在x [2,2]上恒成立，求 a的取值范围。
解：设f (x) x 3 a
函数中的恒成立问题
一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0)的 解集与二次函数、二次方程的关系
二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图
象
△>0
△=0
△<0
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)的根
有两不等 x1,x2(x1<x2)
不等式 ax2+bx+c>0(a>0)的解
变式3： 若x2 x 3 a 0在x [1,2]上恒成立，求a的取值范围。
小结：恒成立问题的解决方法
1.判别式法:
ax2
bx
c
0恒成立
a
0 0
2.最值法：a f (x)恒成立 a fmin(x)
a f (x)恒成立 a fmax(x)
3.数形结合
作业： 1.已知函数y lg(x2 (a 1)x a2 )的定义域为R，求实数a 的取值范围。