机械原理 西工大第八版第3.2节 用矢量方程图解法作运动分析

2
vB 2 B 3
②选π为极点，以加速度比例尺 μa=××m/s2/mm 画加速度矢量多边形；
n t n r k a B3 a B3 a B 2 a B3B 2 a B3B 2
方向 大小
作图顺序
B C
BC ?
5
B A
//BC ?
3
BC指向左（ v B 3 B 2 沿 2的方向转过 90 ） 2 3
a
k
B3B2
2vB3B22
无科氏加速度的四种情况 （1）1、3、4重合； （2）B处在最高、低点； （3）1、3垂直，
三、机构运动分析中应注意的若干问题
1.建立速度或加速度向量方程时，一定要从已知速度 或加速度的点开始列方程 重合点的选取原则 ——选已知参数较多的点 （一般为铰链点）
C A 1 2
C
D＝ A + B + C
大小：√ 方向：√ √ √ √ ？ √ ？
D＝ A + B + C
大小：√ ？ √ √
方向：√
√
？ √
B A D C A D
B C
(二)、同一构件上两点之间的运动关系
1. 速度关系Vc:
1)列速度矢量方程: 杆1运动已知,∴取B点为牵连运动点. VC = VB + VCB 大小 ? ω1LAB ? 方向 ∥AC ⊥AB ⊥CB 2）速度比例尺μv: μv = 实际速度大小（m/s）/ 图上长度（ mm） 3) 图解： 上述方程中共二个未知数，可解，这里用图解法求 解。

3lBC
1lAB
2
vB 2 B 3
③
t aB n 3 a 3 b3
ε3=aB3t /lBC 逆时针方向
科氏加速度 a
k
B 2 B1
当两构件以相同的角速度转动且有相对移动时，其 重合点处必有科氏加速度。
a
k
B2B1
2vB2B11
方向： 把 v B2B1 沿牵连构件角速度 ω1 方向转过 900
取μV，图解得：VC=ω3LCD=μv· PC 指向：P→C ω3= VC/LCD 转向：ccw VCB=ω2· LBC=μv· bC 指向：b→c ω2= VCB/LBC 转向：cw 加速度分析: anC + atC = anB + anCB + atCB 大小 ω32LCD ？ ω12LAB ω22LBC ？ 方向 C→D ⊥CD B→A C→B ⊥BC 取μa，图解得B、C的加速度影像点 bˊ,cˊ.
导杆机构
ω1
• 1）速度分析 • ①先以比例尺μl= m/mm画机构简图 • ②列矢量方程
ω ε
vB 3 vB 2 vB 3 B 2
方向 BC 大小 ? AB //BC ?
1lAB
③选p为极点，以速度比例尺μv= m/s/mm 画速度矢量多边形；
• ④ vB3 = μv pb3 • vB2B3 = μv b3b2 • ω2= ω3= vB3 /lBC • 顺时针方向
第三章 1. 复数矢量法
平面机构的运动分析
建立直角坐标系，将各构件表示为杆矢量，且用指数形式的 复数
riθ 表示，若构件长度为l , 方位角为θ ,即表示为l = le ，这样 就形
成由各杆矢量组成的封闭矢量多边形。通过建立封闭矢量 位置方
程式，可求解未知量。
坐标系和各杆矢量的方向 可自由确定，但杆矢量的方位 角θ 应从x轴开始，并以逆时针
1
2 B 3 有 ak
1
B
1
3 有ak
B2
1
三、机构运动分析中应注意的若干问题
例 题
3.进行凸轮等高副机构的运动分析时，可采用高副低代方法， 对相应的低副机构作运动分析，二者具有相同的运动特性
小结： （1）掌握瞬心法
（2）利用矢量图解法求速度、加速度
第三章
平面机构的运动分析
3-3 用解析法作机构的运动分析 1. 复数矢量法 2. 矩阵法 3. 用解析法作机构运动分析步骤
2.正确判别科氏加速度存在的条件
两构件以相同的角速度共同转动的同时，还必须作相对 运动，其重合点才存在科氏加速度 。
2.正确判断哥式加速度的存在及其方向 判断下列几种情况取B点为重合点时有无ak 无ak 1 2 2 3 有ak B 有ak B 3 2 1
3
2
B
3
无ak
1
1 B
2
3有ak
2
B 有a k 3
AB⊥BC ω2=ω3=0 A.B.C共线，VB3B2=0 2) 若牵连运动不是平动，但机构处于上述两位置之一时，ak=0 三．Ⅱ级平面机构的运动分析举例: 解题步骤: 1）计算机构自由度F，若F=原动件数，则题可解；否则无 解。 2）机构中如有高副，先高副低代。 3）从与原动件相连的Ⅱ级杆组开始分析,直至求出全部待求 量为止。 例 3-11 ：已知平面六杆机构的各杆长度， ω1= 常数。（ E 位于 BC中点）（P.34）
方向计量为正。
举例:已知四杆机构各杆长度和θ1，ω1，确定构件1在回转一周的过程中 每 隔30o 时构件2、3的方位角θ2、θ3 , 角速度ω2、ω3 , 角加速度α2、α3。
解：将封闭矢量方程式 :
i1
第三章
平面机构的运动分析
l1 l2 l3 l4 0 表示为复数形式，有
大小 方向
0
? ω12LAB α1LAB ω22LBC ？ ∥AC B→A ⊥AB C→B ⊥CB
2）加速度比例尺
实际加速度大小 (m/s 2 ) μa 图上长度(mm )
3）图解： 上述方程可解。 a. 任取一点pˊ,作为加速度的极点. b. 作 pˊn1∥BA → aBn Pˊn1=ω12LAB /μa c. 作 n1bˊ⊥AB，指向与α1一致 →aBt n1bˊ=α1 LAB /μa d. 作 bˊn2∥CB → aCBn bˊn2=ω22LBC /μa e. 作 n2cˊ⊥CB → aCBt 的方位线，作P’c’∥AC → aC 的方位线，两 线交于c’点 于是： aC =μa*p’c’ 指向：P’ →c’ aCBt=α2 LBC =μa*n2 c’ 指向：n2 →c’ α2 =aCBt /LBC =μa*n2 c’ /LBC 转向：逆时针(与aCBt一致)
D
4
t B t 2 A 3 1 B
3
不可解！
当取B点为重合点时: VB4 = VB3 + VB4B3 大小： ? √ ? 方向： √ √ √ 方程可解。 B点! 此机构，重合点应选在何处？
4
D
4
C
1
2 A
三、机构运动分析中应注意的若干问题
1.建立速度或加速度向量方程时，一定要从已知速度 或加速度的点开始列方程
2．加速度分析：
B3 点 的 aB3 由 B2 的 牵 连 加 速 度 aB2 、 相 对 加 速 度 arB3B2 、 科 氏 加 速 度 akB3B2
=2ω2×VB3B2组成。即 anB3 + atB3 = anB2 + atB2 + arB3B2 + akB3B2 大小 ω32LBC ？ ω12LAB 0 ？ 2ω2VB3B2 方向 B→C ⊥BC B→A ∥BC VB3B2 沿ω3转90 取定极点Pˊ及比例尺μa。图解如图得： arB3B2 = μa· kb3ˊ m/s2 方向 k→b3ˊ atB3 =α3LBC =μa· n3b3ˊ m/s2 方向 n3→b3ˊ α3 = atB3/LBC 1/s2 转向 ccw（按atB确定）
2
0

2
3 lBC 4
1lAB
1
2
vB 2 B 3
p
b3
k
b2

n3
n t n r k a B3 a B3 a B 2 a B3B 2 a B3B 2
方向 大小 B C BC ? B A //BC ?
0
BC指向左（ v B 3 B 2 沿 2的方向转过 90 ） 2 3
B为基点
求ω2、VC： a. 任取一点p，叫速度多边形的极点 b. 作pb = VB/μv. 指向： ⊥AB，并顺ω1方向 →VB c． 过b作VCB的方向线bc⊥CB，过p作VC的方向线pc，两 线交于c点： VC =μv pc m/s 指向：p→c 指向：b→c 转向：逆时针 p b c
VCB=ω2LBC=μv· bc m/s ω2=μv· bc/ LBC rad/s
n5 G 5 B ω1 A 6 1 D p c V E5E4 e5 e′ 5 c′ n2 k E 4 C 2 3 e 2 (e 4 ) e 2′ (e′ 4 ) n3 b′ b p′
解：1）取μL，画出机构图如图 2）计算F：F=3×5-2×7=1 等于原动件数，可解。 3）结构分析：机构由机架和原动件、Ⅱ级杆组2-3、Ⅱ级 杆组4-5组成。 4）Ⅱ级杆组2-3的运动分析： 速度分析： VC = VB + VCB 大小 ？ ω1LAB ？ 方向 ⊥CD ⊥AB ⊥CB
作业：
⑷Δbcd∽ΔBCD 叫构件BCD的速度影像。并且有： a. Δbcd与ΔBCD的字母顺序相同，只是前者相对后者沿 ω2转了90° b. 已知同构件上两点的速度，可用速度影像定出第三点的 速度。 注：速度影像只适用于构件
2．同一构件各点的加速度 1）加速度矢量方程： 按理论力学：
t n t n t ac an a a a a a c c B B CB CB
p
b3
b2
2）加速度分析 ①列矢量方程
n t n r k a B3 a B3 a B 2 a B3B 2 a 2
方向 大小 B C BC ? B A //BC ?
0
BC指向左（ v B 3 B 2 沿 2的方向转过 90 ） 2 3

3lBC
1lAB
。
pˊ
cˊ
n2
bˊ n1
二、两构件上重合点的速度和加速度：
2 ω1 A 3 4 C 1 B(B 1 ,B 2 ,B 3 ) p b3 b′ 2 b2 k b′ 3 n3 p′
设：机构各杆长已知，并已画出机构图如图，ω1也已知。 求：ω3和α3 1．速度分析： ∵ω1已知，∴VB1也已知，而VB2 =VB1=ω1LAB又按相对运动原理有： VB3 = VB2 + VB3B2 大小 ？ ω1LAB ？ 方向 ⊥BC ⊥AB ∥BC 取定P、μv ,图解如图，得： VB3B2 = μv· b2 b 3 m/s 指向：b2→b3 VB3 = ω3LBC =μv· pb3 m/s 指向：p→b3 ω3 = VB3/ LBC =ω2 rad/s 转向：cw（按VB3确定）
5) Ⅱ级杆组4-5的运动分析： 由速度影像及加速度影像得 E2 的影像点 e2 及 e2ˊ, 由于 E4 与 E2铰接，故e4 （即VE4）及e4ˊ（即aˊE4）已知 速度分析： VE5 = VE4 + VE5E4 大小 ？ √ ？ 方向 ⊥EG √ ∥EG 图解得： VE5=ω5LEG=μv· pe5 指向P→e5 ω5= VE5/LEG 转向cw 加速度分析： anE5 + atE5 = aE4 + arE5E4 + akE5E4 大小 ω52LEG ？ √ ？ 2ω4VE5E4 方向 E→G ⊥EG √ ∥EG VE5E4 ω4 于是： atE5 =α5LEG=μa· n5 e5ˊ m/s2 方向：n5 →e5ˊ α5=aE5/LEG 1/s2 转向：cw（按atE5确定）
当两构件以相同 的角速度转动且 有相对移动时， 其重合点处必有 科氏加速度。
注意：1）若牵连运动是平动，即ω 2=0，则ak=0
2 ω1 A 3 4 C 1 B(B 1 ,B 2 ,B 3 ) p b3 b′ 2 b2 k ′ b 3 n3 p′
2 1 A
B 3 2 4 C B 1 A 3 C 4
二、用矢量方程图解法作机构速度和加速度分析
(一)、基本原理和方法
矢量方程图解法 设有矢量方程：
D＝ A + B + C
每一个矢量有大小和方向两个参数， 根据已知条件的不同，有以下四种情况：
D＝ A + B + C
大小：？
方向：？
B D C
√
√
√
√
√
√
D＝ A + B + C
大小：√ 方向：√ A D ？ √ B ？ √ √ √
ω1
B (B1B2B3)
3
D 4
如： VC3 = VC4+VC3C4 大小： ? ? ? 方向： ? √ √
VB4 = VB3+VB4B3 ? √ ? √ √ √
t A 2 B 1 3 C t
应将构件扩大至包含B点！
下图中取C为重合点， 构件3上C、B的关系： 有: VC3=VC4+VC3C4 = VB3+VC3B3 大小： ? ？ ? √ ? C 方向： ? √ √ √ √