五年级下册数学试题培优专题讲练：第12讲巧算面积(二)人教版

第12讲巧算面积（二）
巧点晴——方法与技巧
（1）等底等高的两个三角形面积相等。

（2）两个三角形如果有相等的底（或高），且其中一个三角形的高（或底）是另一个三角形高（或底）的若干倍，那么，这个三角形的面积是另一个三角形面积的若干倍。

巧指导——例题精讲
A级冲刺名校·基础点晴
【例1】边长为8厘米和4厘米的两个正方形拼在一起，如下图1，求阴影部分。

分析与解1 图中阴影部分的面积可以转化成两个正方形面积的各减去两个三角形的面积来计算。

即
S阴影= S正方形ABFG+ S正方形BCDE- S△ACG- S△CDE=4×4+8×8-（4+8）4÷2-8×8÷2=16+64-24-32=24（厘米2）
分析与解2 连接CE、GB，GB平行于EC，S△EGC=S△EBC（等底等高的三角形的面积相等，如图2）。

S阴影= S△EGC- S△EGF= S△EBC- S△EGF=82÷2-42÷2=24
分析与解3 连接CF（如图3）。

S△GFC=42÷2=8（厘米2），
S△EFC=（8-4）×8÷2=24（厘米2）
S阴影= S△GFC+ S =8+16=24（厘米2）。

分析与解4 延长GF，则GH与EC交于点O（如图4）。

易知S△FEO= S△CHO，把△EFO沿O点旋转，阴影面积转化为△GHC的面积。

S阴影= S△GHC=（8+4）×4÷2=24（厘米2）。

答：阴影部分的面积是24平方厘米。

做一做2 如右图，大正方形和小正方形的边长分别是4厘米和3厘米。

求阴影部分的面积。

【例2】在下图中，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知△AFH的面积为6平方厘米，求△CDH的面积。

分析与解由于这道题没有一条线段的长度是已知
的，所以我们只能通过创造“等积”来求出问题的解。

从图形中可以看出，把两个阴影三角形分别补上一个
梯形DEFH得到梯形DEFA和△ECF，它们的面积相等，
从而可知△CDH和△AFH的面积相等。

因此，△CDH
的面积也是6平方厘米。

做一做2 如右图，已知ABCD是直角梯形，AB长
6厘米。

阴影部分的面积是6平方厘米，△ABC的面积是
阴影部分面积的3倍。

求：直角梯形ABCD的面积是多少
平方厘米？
【例3】如图1，已知正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD的边长为10厘米，求：图中阴影部分（△BFD）的面积是多少平方厘米？
分析与解1 连接BG，CF，如图2所示。

S阴影= S△BGD+S△BGF+S△DGF
因为S△BGF= S△CGF（想一想为什么？）
所以S阴影= S△BGD+S△CGF+S△DGF= S△BGD+ S△CDF
因为S△CDF=CD×GF÷2，S△BGD=BC×CG÷2
而CD=BC，GF=CG
所以S△CDF= S△BGD
S阴影= S△BGD+ S△BCG= S△BCD=10×10÷2=50（厘米2）
分析与解2 因为梯形CDFE的面积等于△EFB的面积（都是大、
小两个正方形边长的和乘以小正方形的边长，再除以2），所以图中△BCO的面积等于△DOF的面积。

因此，阴影部分的面积正好等于大正方形的一半。

10×10÷2=50（厘米2）
分析与解3 同样借助极端思考法，假设正方形CEFG的边长大些，再大些……最后两个正方形的边长相等。

S阴影= S△BDF=10×10÷2=50（厘米2）
答：阴影部分的面积是50平方厘米。

做一做3 如右图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，EF长20厘米。

求图中阴影部分的面积。

B级培优竞赛·更上层楼
【例4】如图，四边形ABCD是直角梯形，AB=4厘米，AD=5厘米，DE=3厘米，那么△OBC的面积是多少？
C
D E O 3 5 A A B
D E C F 分析与解 本题即不知道△OBC 的底，也不知道它的
高，故无法直接计算其面积。

但由于四边形ABCD 是直 角梯形，故AD 可看做是△ABC 与△ABD 的高，从而 △ ABD 与△ABD 的面积相等且可求，而△AOD 的面积 也可求，故可解。

S △BOC = S △ABC -S △ABO =S △ABD -S △ABO = S △ADO =7.5（厘米2）
答：△OBC 的面积为7.5平方厘米。

做一做4 四边形ABCD 是直角梯形，两条对角线把梯形分为4个三角形。

已知其中两个三角形的面积分别为5平方厘米和8平方厘米，求直角梯形ABCD 的面积。

【例5】 如图，四边形ABCD 是边长为6厘米的正方形，△ADF 的面积比△CEF 的面积小6平方厘米。

求CE 的长。

分析与解 为了求得CE 的长，可以通过求△CEF
的面积，根据三角形的面积等于底乘以高再除以2，若
能求出CF 的长，即查求得CE 的长度。

但△CEF 的面
积和CF 的长都不容易求得，只有采用新的办法。

注意到△ADF 的面积比△CEF 的面积小6平方厘米，而正方形ABCD 的面积=6×6=36（厘米2），所以虽不易求△CEF 的面积，但可求得△ABE 的面积，且已知AB 长为6厘米，所以可在△ABE 中求得BE 的长，因而可由CE=BE-BC 求出CE 的长为8厘米。

S正方形ABCD=6×6=36（厘米2）S△ABC=36+6=42（厘米2）BE的长：42 ×2÷6=14（厘米）CE的长：14-6=8（厘米）答：CE的长是8厘米。

做一做5 如右图，ABCD是长8厘米、宽6厘米的长方形，AF 的长是4厘米，求阴影部分△AEF的面积（单位：厘米2）
【例6】如图1，正方形ABCD中，AB=4厘米，EC=10厘米，求阴影部分的面积。

解法1 如果先求出FD的长度，那么就可以求出AF的长度，也就可以求出阴影部分的面积。

如图2，连接FC。

△FEC的面积为10×4÷2-4×4÷2=12（厘米），FD的长度为12×2÷10=2.4（厘米），AF的长度为4-2.4=1.6（厘米），阴影部分的面积为4×1.6÷2=3.2（厘米2）。

解法2 可把辅助线添到图形的外面。

如图3，连
接AE。

在△ABF中，△AEF与△ABF同底，且△AEF
的高ED是△ABF的高AB的（10-4）÷4=1.5倍，又
△AEF的面积与△ABF的面积之和为4×4=8（厘米2），
所以，阴影部分的面积是8÷（1+1.5）=3.2（厘米2）。

答；阴影部分的面积3.2平方厘米
C 级（选学）决胜总决赛·勇夺冠军
【例7】 如下图，在平行四边形ABCD 中，AB=16，AD=10，BE=4，求FC 的长是多少？
分析与解 连接AF 、CE ，因为AB=4BE ，所以 S ABC =4×S BFE 。

S △ABC + S DFC =21 S 四边形ABCD S △CFE + S DFC =21 S 四边形ABCD 即S △CFE =4 S △BEF ，有CF=4BF ，所以FC=10÷（4+1）×4=8
做一做7 如右图，四边形ABCD 为平行四边形，△ABF 的面积是平方厘米，求△FCE 的面积（要求一题多解）。

巧练习——温故知新（十二）
1、已知正方形甲的边长5厘米，正方形乙的边长为4厘米，那么右图阴影部分的面积是多少？
2.在正方形ABCD 中，AB 长4厘米， BCF 比 DEF 的面积多2平方厘米，求DF 的长。

3.平行四边形ABCD中，AE=EF=FB，AG=2CG，GEF 的面积是6平方厘米，求平行四边形的面积。

4.长方形ABCD中，AB=8厘米，BC=15厘米，E，F分别是BC，CD的中点，连接BD，AF，AE，把右图分成六块。

求阴影部分的总面积。

5.正方形边长为10，点A、B在正方形的边上，并且AB=9，A 下移3，B左移2，然后作水平线和垂直得点C，D，求四边形ABCD 的面积。

B级培优竞赛·更上层楼
6.有两个边长是2厘米的正方形，其中一个正方形的一个顶点在另一个正方形的中心上。

问：两个正方形不重合部分的面积之和是多少平方厘米？
7.右图中，观察画在方格纸上的图形，计算阴影部分的面积（每
小格为一个面积单位）。

8.右力是两个一样的直角三角形重叠在一起，按照图上标出的数值，计算阴影部分的面积。

9.右图中，ABCD是长方形，长为7.2，宽为5，四边形CDEF 是平行四边形，BH的长为3，求图中阴影部分的面积。

10.如右图，三个边长分别为10，12，8的正方形并放在一起。

已知直线CB将整个图形的面积平分，求线段AB的长度。

C级（选学）决胜总决赛·勇夺冠军
11.如图1，ABCD是长方形纸片，把它的左下角沿虚线EC折叠
1。

CDE的面积是27，AHE 成图2的形状，AE恰好是AD的
4
的面积是3，BCG的面积是16，问：DGH（阴影部分）的面积是多少？
12.已知一个三角形的三条边a，b，c满足如下关系：a2=109，b2=85，c2=356，求此三角形的面积。

13.如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是平方厘米。

14.如图，三个正方形ABCD，BEFG，HKPF放置在一起，正方形BEFG的周长等于14厘米。

巧总结
本节我的收获是：
不足之处：
知慧泉
海岸线、雪花与数学问题
英国《科学》杂志在20世纪60年代刊载过曼德布鲁特（B.B.Mandelbrot）的文章《英国海岸线有多长？》引起从头的广泛兴趣，既引起人们的广泛争论，更让人们大吃一惊：人们除了能给出如何估算的方法性描述外，却得不出准确的答案——海岸线长会随着变量（或步长）的变化而变化。

人们在测量海岸线长时，总是先假定一个标度，这个标度又是因人而异的，显然由于先取的不同，沿海岸线步测一周的多边形的周长也是因人而异的。

于是人们头脑中冒出一个又一个的问号：海岸线到底有多长？
小朋友，雪花是什么形状？有人会说是六角
星形，对吗？
用放大镜仔细观察六角雪花会发现它并非呈一个简单的六角星形（如右图所示）。

数学家科赫（H.von Koch）在1906年提出了如何构造能够描述雪花的曲线——科赫曲线。

1，而用等边三角形的两条边（它的长将一条线段去掉其中间的
3
1）去代替，不断重复上述步骤可得所谓的科赫曲线。

为所给线段的
3
如果将所给线段换成一个等边三角形，然后在等边艳阳天角形每条边上实施上述变换，便可得到科赫雪花图案。

这是一个极有特色的图开，设原正三角形边长为a，数学家们计算出上面每步变换后的科赫（曲线）雪花的周长和它所围的面积分别是：
这就是说，科赫雪花不断实施变换，其周长趋于无穷大，而其面积趋于定值。

……
这些理论经过加工、提炼、抽象、概括，创立了一个新的数学分支——分形。

有兴趣的同学可以查阅相关文献。