2015高考总复习数学(文)课件：3.6 函数与方程

2π的偶函数，f′(x)是 f(x)的导函数，当 x∈[0，π]时，0<f(x)<1；
π π 当 x∈(0，π)，且 x≠2时，x－2f′(x)>0，则函数 y＝f(x)－sinx
在[－2π，2π]上的零点个数为(
A．2 个 C．5 个
B ) B．4 个 D．8 个
π π 解析：由当 x∈(0，π) ，且 x≠2时，x－2f′(x)>0，知当 π x∈0，2时， f′(x)<0， f(x)为减函数； 当 π x∈2，π时， f′(x)>0，
【方法与技巧】给定精度ε，用二分法求函数 y＝f(x)的零点 近似值的步骤如下： ①确定区间[m，n]，验证 f(m)· f(n)<0，给定精度ε； ②求区间[m，n]的中点 x1；
③计算f(x1)：ⅰ)若f(x1)＝0，则x1就是函数y＝f(x)的零点；
ⅱ)若f(m)· f(x1)<0，则令n＝x1[此时零点x0∈(m，x1)]；ⅲ)若
∴2a－5a＝－6，解得 a＝2.
∴f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x. 解法二：设 f(x)＝ax2＋bx＋c， ∵不等式 f(x)<0 的解集是(0,5)，
∴方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根为 0,5. ∴c＝0,25a＋5b＝0. ① ∵f′(x)＝2ax＋b.
又函数 f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线 6x＋y＋1＝0 平行，
第 6 讲
函数与方程
考情风向标 利用函数零点的存在性定理或函 数的图象，对函数是否存在零点进行判 1.结合二次函数的图 断或利用零点的存在情况求相关参数 象，了解函数的零点与 的范围，是高考中常见的题型．纵观近 方程根的联系，判断一 几年的高考试题，函数的零点、方程的 元二次方程根的存在 根的问题一直是高考的热点，题型既有 性及根的个数． 选择题、填空题，也有解答题(如 2007 2．根据具体函数的图 年广东高考压轴题)． 象，能够用二分法求相 预计 2015 年高考仍将以函数的零点、 应方程的近似解. 方程的根的存在问题为主要考点，重点 考查相应函数的图象与性质.
∴lnx1＋2x1－6<lnx2＋2x2－6. ∴f(x1)<f(x2)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数． (2)证明：∵f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3>0， ∴f(2)· f(3)<0.∴f(x)在(2,3)上至少有一个零点．
又由(1)知 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，因此 f(x)＝0 至多有
＋1＝0 平行．
(1)求 f(x)的解析式；
37 (2)是否存在 t∈N，使得方程 f(x)＋ x ＝0 在区间(t，t＋1)
内有两个不相等的实数根？若存在，求出 t 的值；若不存在， 说明理由．
(1)解法一：∵f(x)是二次函数，不等式 f(x)<0 的解集是(0,5)， ∴可设 f(x)＝ax(x－5)，a>0. ∴f′(x)＝2ax－5a. ∵函数 f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线 6x＋y＋1＝0 平行， ∴f′(1)＝－6.
x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4
…
y＝2x 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.063 8.0 10.556 …
y＝x2 0.04
0.36
1.0
1.96
3.24
4.84
6.76
9.0
11.56 …
那么方程 2x＝x2 的一个根位于下列区间中的(
1 g(0)＝－1，g2
f(x)的零点与 g(x)＝4x
＋2x－2 的零点之差的绝对值不超过 0.25，只有 f(x)＝4x－1 的 零点适合．
考点 3 利用导数讨论方程的根的分布 例 3：(2013 年广东广州一模)已知 f(x)是二次函数，不等式
f(x)<0 的解集是(0,5)，且 f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线 6x＋y
∴方程 h(x)＝0
10 10 在区间3， 3 ， 3 ，4内分别有唯一实数
根，在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根． 37 ∴存在唯一的自然数 t＝3， 使得方程 f(x)＋ x ＝0 在区间(t， t＋1)内有且只有两个不相等的实数根．
37 【方法与技巧】方程 f(x)＋ x ＝0 等价于方程 2x3－10x2＋ 37＝0. 设 h(x)＝2x3－10x2＋37， 则 h′(x)＝6x2－20x＝2x(3x－10)． 函数 调递增．
一般把这一结论称为零点存在性定理．
2．二分法 如果函数 y＝f(x)在区间[m，n]上的图象是一条连续不断的
f(m)· f(n)<0 ，通过不断地把函数 y＝f(x)的零点所在 曲线，且____________
区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零 二分法 ． 点近似值的方法叫做________
1．图 3-6-1 是函数 f(x)的图象，它与 x 轴有 4 个不同的公
共点．给出下列四个区间，不能用二分法求出函数 f(x)在区间 ( )上的零点．( B )
图 3-6-1 A．[－2.1，－1] C．[4.1,5] B．[1.9,2.3] D．[5,6.1]
2．(2012 年广东韶关一模)若函数 f(x)＝x3＋x2－2x－2 的一 个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
考纲要求
1．函数的零点 实根 ⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有 (1)方程 f(x)＝0 有________ ________ 交点 ⇔函数 y＝f(x)有零点； (2)如果函数 y＝f(x)在区间(a，b)上的图象是连续不断的，
f(a)· f(b)<0 ，那么函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有零点． 且有____________
A．(0,1] C．(10,100]
B．(1,10] D．(100，＋∞)
4．根据表格中的数据，可以判定函数 f(x)＝ex－x－2 的一 个零点所在的区间为(k，k＋1)(k∈Z)，则 k 的值为( C )
x
ex x＋2 A.－1
－1
0
1
2
3
0.37
1 B．0
1
2
2.72
3 C．1
7.39
4 D．2
1 解析：f(x)＝4x－1 的零点为 x＝4，f(x)＝(x－1)2 的零点为 x ＝1，f(x)＝e －1 的零点为
x x
1 x＝0，f(x)＝lnx－2的零点为
3 x＝2.
现在我们来估算 g(x)＝4 ＋2x－2 的零点，因为 ＝1，所以 g(x)的零点
1 x∈0，2，又函数
考点 2 二分法的应用
例 2：已知函数 f(x)＝lnx＋2x－6. (1)证明函数 f(x)在其定义域上是增函数； (2)证明函数 f(x)有且只有一个零点； (3)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过 1 . 4
(1)证明：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
设x1<x2，则lnx1<lnx2,2x1<2x2.
20.09
5
解析：由表可知当 k＝1 时 f(1)· f(2)<0，∴零点在(1,2)内．
5．关于 x 的一元二次方程 5x2－ax－1＝0 有两个不同的实 根，一根位于区间(－1,0)，另一根位于区间(1,2)，则实数 a 的
19 4， 2 取值范围为_________.
考点 1 判断函数零点所在的区间 例 1：(1)利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下 表：
令2－xlog0.5x－1＝0，可得2x＝log0.5x，方程有一个解，
所以函数f(x)＝2－x|log0.5x|－1的零点个数有1个．
故选 A.
图 D6 答案：A
【方法与技巧】判断函数 y＝f(x)在某个区间上是否存在零 点，常用以下三种方法：①当对应方程易解时，可通过解方程， 看方程是否有根落在给定区间上；②利用函数零点的存在性定 理进行判断；③通过函数图象，观察图象与 x 轴在给定区间上 是否有交点来判断.
10 1 ∵h 3 ＝－27<0, 10 h(x)在0， 3 上单调递减； 函数 10 h(x)在 3 ，＋∞上单
10 则 t 与 3 有关， 应该是 3，然后利用堪
根定理验证．
【互动探究】
3．(2012 年湖南)设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为
【互动探究】 1．(2011 年山东)已知函数 f(x)＝logax＋x－b(a>0，且 a≠1)．
当 2＜a＜3＜b＜4 时，函数 f(x)的零点 x0∈(n，n＋1)，n∈N*，
则 n＝2. 解析：f(2)＝loga2＋2－b<0，f(3)＝loga3＋3－b>0， ∴x0∈(2,3)．故所求的 n＝2.
f(1)＝－2 f(1.25)＝－0.984 f(1.438)＝0.165
f(1.5)＝0.625 f(1.375)＝－0.260 f(1.406 5)百度文库－0.052
那么方程 x3 ＋x2 －2x－2＝0 的一个近似根(精确到 0.1)为
( C ) A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
1 3．lgx－x ＝0 有解的区域是( B )
)
A．(0.6,1.0)
B．(1.4,1.8)
C．(1.8,2.2)
D．(2.6,3.0)
解析：由 f(0.6)＝1.516－0.36>0，f(1.0)＝2.0－1.0>0，排除 A；由 f(1.4)＝2.639－1.96>0，f(1.8)＝3.482－3.24>0，排除 B； 由 f(1.8)＝3.482－3.24>0，f(2.2)＝4.595－4.84<0，可确定方程 2x＝x2 的一个根位于区间(1.8,2.2)上． 答案：C
10 x∈0， 3 时， h′(x)<0， 函数 10 h(x)在0， 3 上单调递减； 10 h(x)在 3 ，＋∞上单
10 x∈ 3 ，＋∞时，h′(x)>0，函数
调递增．
10 1 ∵h(3)＝1>0，h 3 ＝－27<0，h4＝5>0，
f(x1)· f(n)<0，则令m＝x1[此时零点x0∈(x1，n)]．
【互动探究】 2．若函数 f(x)的零点与 g(x)＝4x＋2x－2 的零点之差的绝对 值不超过 0.25，则 f(x)可以是( A ) A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝ex－1
1 D．f(x)＝lnx－2
一个根，从而函数 f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．
(3)解：由(2)知 f(x)的零点 x0 在(2,3)上， 5 5 5 取 x1＝2，∵f 2 ＝ln2－1<0， 5 5 ∴f2· f(3)<0.∴x0∈2，3. 11 11 11 1 取 x1＝ 4 ，∵f 4 ＝ln 4 －2>0， 5 11 5 11 ∴f2· f 4 <0.∴x0∈2， 4 . 11 5 1 1 而 4 －2＝4≤4， 5 11 ∴2， 4 即为符合条件的区间．
(2)(2013年天津)函数f(x)＝2－x|log0.5x|－1的零点个数为 ( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
解析：函数f(x)＝2－x|log0.5x|－1，如图D6.
①当x>1时，函数化为f(x)＝2－xlog2x－1 令2－xlog2x－1＝0，可得2x＝log2x，方程没有解． ②当0<x<1时，函数化为f(x)＝2－xlog0.5x－1，
f(x)为增函数．又当 x∈[0，π]时，0<f(x)<1，在 R 上的函数 f(x)
∴f′(1)＝－6. ∴2a＋b＝－6. ② 由①②，解得 a＝2，b＝－10. ∴f(x)＝2x2－10x.
37 (2)解：由(1)知，方程 f(x)＋ x ＝0 等价于方程 2x3－10x2＋ 37＝0. 设 h(x)＝2x3－10x2＋37， 则 h′(x)＝6x2－20x＝2x(3x－10)． 当 当