学而思初二数学秋季班第12讲.几何综合.尖子班.学生版
学而思初二数学秋季班第13讲.几何综合.提高班.学生版
43初二秋季·第13讲·提高班·学生版全等三角形是初中几何学习中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。
判断三角形全等的公理有SAS 、ASA 、AAS 、SSS 和HL （直角三角形），如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件，引出相应的辅助线然后再证明。
一、常见辅助线的作法有以下几种：1. 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对称”；2. 若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；3. 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对称”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；思路导航13名校期末试题点拨——几何部分题型一：全等三角形与轴对称44 初二秋季·第13讲·提高班·学生版4. 过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；5. 截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。
这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
二、常见模型1.最值问题：“将军饮马”模型；2. 全等三角形经典模型：三垂直模型、手拉手模型、半角模型以及双垂模型等。
三、尺规作图部分地区会考察尺规作图，难点在于构造轴对称图形解决几何问题。
【例1】 ⑴如下左图，把△ABC 沿EF 对折，叠合后的图形如图所示．若∠A =60°，∠1=95°，则∠2的度数为（ ）A ．24°B ．25°C ．30°D ．35°⑵长为20，宽为a 的矩形纸片（10＜a ＜20），如上右图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作停止．当n =3时，a 的值为 ． 典题精练21C'B'FE CBA 第二次操作第一次操作45初二秋季·第13讲·提高班·学生版【例2】 ⑴如图所示，在长方形ABCD 称轴l 上找点P ，使得△P AB 、△PBC 均为等腰三角形，则满足条件的点P 有（ ）．A ．1个B ．3个C ．5个D ．6个⑵已知，横线和竖线相交的点叫做格点，P 、A 、B 为格点上的点，A 、B 的位置如图所示，若此三点能够构成等腰三角形，P 点有 种不同的位置？【例3】 ⑴ 如图1，在等边三角形ABC 中，AB =2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP +PE 的值最小；⑵ 如图2，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，在AC 上找一点P ，使PB +PE 的值最小；⑶ 如图3，⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB ，∠AOC =60°，P 是OB 上一动点，求P A +PC 的最小值；⑷ 如图4，在四边形ABCD 的对角线AC 上找一点P ，使∠APB =∠APD ．保留作图痕迹，不必写出作法．图4图3图2图1P DCB AOP C BAP E D CB AP E D CBA【例4】 如图1，在ABC △中，2ACB B ∠=∠，BAC ∠的平分线AO交BC 于点D ，点H 为AO 上一动点，过点H 作直线l AO ⊥于H ，分别交直线AB AC BC 、、于点N E M 、、. ⑴当直线l 经过点C 时（如图2），证明：BN CD =； ⑵当M 是BC 的中点时，写出CE 和CD 之间的等量关 系，并加以证明； lD CBA46 初二秋季·第13讲·提高班·学生版⑶请直接写出BN CE CD 、、之间的等量关系.一、直角三角形的性质 1. 直角三角形的两个锐角互余；2. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；3. 直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，即ab =c h ；4. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即222c b a =+；5. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半（或含30°的直角三角形三边之比为1：3：2）；6. 含45°角的直角三角形三边之比为1：1：2． 思路导航题型二：直角三角形与勾股定理47初二秋季·第13讲·提高班·学生版二、直角三角形的判定1. 有一个角为90°的三角形是直角三角形；2. 两个锐角互余的三角形是直角三角形；3. 勾股定理的逆定理：在以a 、b 、c 为边的三角形中，若222c b a =+，则这个三角形是以c 为斜边的直角三角形；4. 一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．【例5】 在给定的图形内作一条折线AB 1C 1D 1E ，使AB 1⊥AB ，B 1C 1⊥BC ，C 1D 1⊥CD ，D 1E ⊥DE ，且A ，B ，C ，D ，E ，B 1，C 1，D 1都是格点．EDCBA【例6】 如图，AC =AB ，DC =DB ，∠CAB =60°，∠CDB =120°，E 是AC 上一点，F 是AB 延长线上一点，且CE =BF ．图1C AEG BFD图2DA BCE思考验证：⑴求证：DE =DF ；典题精练48 初二秋季·第13讲·提高班·学生版⑵在图1中，若G 在AB 上且∠EDG =60°，试猜想CE 、EG 、BG 之间的数量关系并证明； 探究应用：⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，∠ABC =90°，∠CAB =∠CAD =30°，E 在AB 上，DE ⊥AB ，且∠DCE =60°，若AE =3，求BE 的长．【例7 已知等腰三角形ABC 中，∠ACB =90°，点E 在AC 边的延长线上，且∠DEC =45°，点M 、N 分别是DE 、AE 的中点，连接MN 交直线BE 于点F ．当点D 在CB 边的延长线上时，如图1所示易证：MF +FN =12BE ．⑴当点D 在CB 边上时，如图2所示，上述结论是否成立？若成立，请给与证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由．⑵当点D 在BC 边的延长线上时，如图3所示，请写出你的结论，并说明理由．49初二秋季·第13讲·提高班·学生版M 图3图2图1NEDEMBFC AF N D CBAEF NMDBC A50 初二秋季·第13讲·提高班·学生版NMDC BA训练1. ⑴如图所示，EFGH 是一个台球桌面，有黑白两球分别置于A B 、两点的位置上，试问怎样撞击黑球A ，经桌面HE EF 、连续反弹后，准确击中白球B ？（写出作法并画图）HGF EAB⑵如图，在锐角△ABC 中，4245AB BAC =∠=，°，BAC ∠的平分线交BC于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是___________．训练2. 如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°. 将△ABC 绕点C 逆时针旋转α角，得到△A 1B 1C ，连结BB 1，设B 1C 交AB 于D ，A 1B 1分别交AB 、AC 于E 、F .⑴ 当090︒<α<︒时，如图1，请在不添加任何线段的情况下，找出一对全等三角形，并加以证明（△ABC ≌△A 1B 1C 除外）；⑵ 在⑴的条件下，当△BB 1D 是等腰三角形时，求α； ⑶ 当90180︒<α<︒时，如图2，求证：△A 1CF ≌△BCD .图2图1ABCA 1B 1E F DDFEB 1A 1CBA训练3. 已知如图，AB=AC ，PB=PC ，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、思维拓展训练(选讲)PEDC B A51初二秋季·第13讲·提高班·学生版E .⑴ 求证：PD=PE ；⑵ 若BP AB =，o 45=∠DBP ,2=AP ,求四边形ADPE 的面积.训练4. ⑴如图，等腰直角三角形ABC 分别沿着某条直线对称得到图形b 、c 、d ．若上述对称关系保持不变．平移ABC ∆，使得四个图形能够拼成一个重叠且无缝隙的正方形，此时点C 的坐标和正方形的边长为（ ）A ．11222⎛⎫- ⎪⎝⎭，， B ．(11)2-，，C ．(11)2-，，D ．11222⎛⎫- ⎪⎝⎭，，⑵如图，△ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝120°，AB 的垂直平分线交AC 于D . 试猜想AD 与DC 间的数量关系，并证明.DECAB 图 311-1-1OABC d c ba y x52 初二秋季·第13讲·提高班·学生版【练习1】 ⑴如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M ，N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使点A 落在MN 上，落点记为A '，折痕交AD 于点E ．若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点， 则A N '=_________；若M 、N 分别是AD 、BC 边上距DC 最近的n 等 分点（2n ≥，且n 为整数），则A N '=_________（用含有n 的式子表示）⑵如图，D 为ABC △内一点，CD 平分ACB ∠， BD CD ⊥，A ABD ∠=∠， 若5AC =，3BC =，则BD 的长为（ ） A ．1 B ．1.5 C ．2 D ．2.5【练习2】 如图，ABC △是等腰三角形，AB AC =，AD 是角平分线，以AC 为边向外作等边三角形ACE ，BE 分别与AD 、AC 交于点F 、点G ，连接CF ．⑴ 求证：FBD FCD ∠=∠；⑵ 若1FD =，求线段BF 的长．复习巩固DCB AGFEDCBA第十五种品格：创新创新的力量20世纪40年代，美国有许多制糖公司向南美洲出口方糖，因方糖在海运中会有受潮现象，这给公司带来巨大损失。
学而思八年级数学培优讲义
学而思八年级数学培优讲义学而思八年级数学培优讲义旨在帮助学生巩固课堂所学知识，提高数学素养，为初中阶段的学习打下坚实基础。
以下是八年级数学培优讲义的部分内容：一、有理数及其运算1. 有理数的分类：整数、分数、正有理数、负有理数、零。
2. 有理数的加法：同号相加，异号相减；绝对值相加，符号决定和的大小。
3. 有理数的减法：减法转化为加法，被减数、减数与差的的关系。
4. 有理数的乘法：符号规律，绝对值相乘。
5. 有理数的除法：除法转化为乘法，商的变化规律。
6. 有理数的乘方：乘方的意义，乘方运算规则。
二、几何知识1.点、线、面的基本概念：点的坐标，线段的平行、垂直，平面的性质。
2.三角形的基本概念：三角形的分类，三角形的边角关系，三角形的判定。
3. 四边形的基本概念：四边形的分类，四边形的对边、对角线、内角和。
4.平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分，平行四边形的判定。
5.矩形、菱形、正方形的性质：矩形的对角线相等，菱形的对角线垂直，正方形的性质。
三、函数与方程1.函数的基本概念：函数的定义，函数的图像，函数的性质。
2.一次函数：一次函数的解析式，一次函数的图像，一次函数与直线。
3.方程的基本概念：方程的定义，方程的解法，方程的应用。
4. 一元一次方程：一元一次方程的解法，一元一次方程的应用。
5. 一元二次方程：一元二次方程的解法，一元二次方程的应用。
四、三角形和四边形的几何证明1.三角形的证明：全等三角形的判定，相似三角形的判定。
2. 四边形的证明：平行四边形的判定，矩形、菱形、正方形的判定。
3.几何证明的方法：综合法、分析法、反证法。
五、统计与概率1.统计的基本概念：数据的收集、整理、分析。
2.频数与频率：频数分布表，频率分布表，概率的基本概念。
3.事件的概率：等可能事件的概率，条件概率，独立事件的概率。
4.统计的应用：平均数、中位数、众数，概率的应用。
通过学习八年级数学培优讲义，学生可以系统地回顾和巩固课堂所学知识，提高自己的数学能力，为初中阶段的学习打下坚实基础。
学而思初一数学秋季班第2讲.有理数综合运算.尖子班.学生版
11初一秋季·第2讲·尖子班·学生版如何计算？实数7级 实数初步实数6级 绝对值 实数5级 有理数综合运算 满分晋级阶梯漫画释义2有理数综合运算12 初一秋季·第2讲·尖子班·学生版知识点切片（4个） 7+2+1+1知识点目标有理数综合运算（7） 1、有理数加减法则；2、有理数加法的运算律；3、有理数减法法则；4、有理数乘法法则；5、有理数除法法则；6、有理数乘方；7、有理数混合运算的运算顺序 裂项技巧（2） 1、分数裂项；2、整数裂项 连锁约分（1） 1、连锁约分，简便运算 整体思想（1）1、整体思想，化繁为简题型切片（6个）对应题目题型目标 乘法分配律的应用 例1、练习1 连续自然数的加减交替 例2、练习1 有理数综合运算 例3、练习2裂项 例4、例5、练习3、练习4 连锁约分例6、练习5 整体思想例7、练习6有理数综合运算1．有理数加法法则：① 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．② 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③ 一个数同0相加，仍得这个数．2．有理数加法的运算律：①两个加数相加，交换加数的位置，和不变．a b b a +=+（加法交换律） ②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． ()()a b c a b c ++=++（加法结合律）.3．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，()a b a b -=+-.4. 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 任何数同0相乘，都得0.5. 有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.1a b a b÷=⋅，(0b ≠)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0. 6. 有理数乘方 知识导航知识、题型切片13初一秋季·第2讲·尖子班·学生版概念：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在n a 中，a 叫做底数，n 叫 做指数.含义：n a 中，a 为底数，n 为指数，它表示a 的个数，n a 表示有n 个a 连续相乘. 特别注意:负数及分数的乘方，应把底数加上括号.7. 有理数混合运算的运算顺序： ① 先乘方，再乘除，最后加减； ② 同级运算，从左到右进行；③ 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方（以后学）称为三级运算.同级运算，按从左到右的顺序进行；不同级运算，先算三级运算，然后二级，最后一级； 如果有括号，先算括号里的，有多重括号时，先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的.④ 在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数.【例1】 计算：⑴735(1)(36)1246⎡⎤-+---⨯-⎢⎥⎣⎦⑵11171110()71110⨯⨯⨯++⑶111(0.25)(5)( 3.5)()2244-⨯-+⨯-+-⨯⑷371(8)32-⨯-乘法分配律的应用14 初一秋季·第2讲·尖子班·学生版⑸112571113623461236⎛⎫⎛⎫-÷+---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【例2】⑴填空：12344950-+-++-= ；123499100101-+-++-+= ； ⑵计算：()112341n n +-+-++-⨯.连续自然数加减交替问题15初一秋季·第2讲·尖子班·学生版【例3】 计算：⑴()216123113284 2.5242523412⎛⎫-÷-⨯+++--⨯ ⎪⎝⎭⑵()22213111112190.75242222⎡⎤⎛⎫⎛⎫÷÷-+÷--⨯--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⑶()()3220132231313 1.20.33⎛⎫--⨯-÷--⨯÷ ⎪⎝⎭⑷()()231814511722851755⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯-+-⨯----⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦有理数综合运算16 初一秋季·第2讲·尖子班·学生版⑸()2323510.3534124111159650.52-÷⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-÷-⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦÷1.分数裂项技巧：⑴()11111n n n n =-++； ⑵()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；⑶()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦；⑷()()()()()1111222n n k n k k n n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦.2.整数裂项技巧：⑴()()()()()()()()111121121133n n n n n n n n n n n n +=++--=++--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦； ⑵()()()()()()()()()()()()1112123112311244n n n n n n n n n n n n n n n n ++=+++--=+++--++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.3.连锁约分多个分数相乘通过约掉分子分母中的相同因数简便运算.思路导航分数裂项运算17初一秋季·第2讲·尖子班·学生版【例4】 计算：⑴11111161111161621212626313136+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯； ⑵2310011(12)(12)(123)(1299)(12100)----⨯++++++++++.【例5】 计算：⑴12233499100⨯+⨯+⨯++⨯；整数裂项运算18 初一秋季·第2讲·尖子班·学生版⑵1335579799⨯+⨯+⨯++⨯；⑶123234484950⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯.【例6】 计算：⑴11111111111111241035911⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++---- ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭连锁约分运算19初一秋季·第2讲·尖子班·学生版⑵11111111111113243546979998100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【例7】 ⑴已知1111111112581120411101640+++++++=，111111112581120411101640---+--++的值为 .⑵计算：11111111111111232006232005232006232005⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯++++-++++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭整体思想20 初一秋季·第2讲·尖子班·学生版学案1. 计算：1111111261220304256⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-++--+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦学案2. 计算：1111113243517191820+++++⨯⨯⨯⨯⨯学案3. 33221129234+==⨯⨯；33322112336344++==⨯⨯；33332211234100454+++==⨯⨯；……．⑴ 若n 为正整数，猜想3333123n ++++= ；⑵ 利用上题的结论来比较3333123100++++与()25000-的大小．学案4. 设三个互不相等的有理数，既可分别表示为1a b a +，，的形式，又可分别表示为0bba，，的形式，则20042001a b +=初一秋季·第2讲·尖子班·学生版乘法分配律的应用、连续自然数的加减交替【练习1】 ⑴ 计算：()()(){}()34|15|73-+---+-----⎡⎤⎣⎦；⑵ 计算：1111181232⎛⎫⎛⎫-÷-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；⑶ 计算： 135********++++-----.有理数综合运算【练习2】 计算：4343(27)(2)(2)3⎡⎤⎛⎫-÷---⨯-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦裂项【练习3】 计算：1111112612203042-----= ．【练习4】 计算：2446688101012⨯+⨯+⨯+⨯+⨯.复习巩固连锁约分【练习5】计算：11111111 11111111 22334420132013⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-+-⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭整体思想【练习6】计算：()()()() 222222222222 123492350123502349+++++++-+++++++.初一秋季·第2讲·尖子班·学生版1+1=2吗？ 皮亚诺（Peano,Giuseppe ） 意大利数学家。
八年级数学第4讲.四边形综合.尖子班.教师版.doc
4四边形综合满分晋级阶梯四边形 5级四边形 4级典型中点构造四边形 3 级四边形综合梯形寒季班春季班春季班第五讲第四讲第五讲漫画释义壮壮玩拼图知识互联网题型切片题型切片（两个）对应题目题动手操作题例 1，练习1；例 2，练习 2；例 3，练习 3；型目例 4，例 5，例 6，练习 4，练习 5．标四边形性质与判定综合编写思路本讲内容主要分为两个题型，题型一的动手操作题，近年来考查频率较高，并且对学生综合掌握所学几何部分的能力要求较高，三道例题分别代表了动手操作题的三大题型——折叠、分割、剪拼，并在练习部分各搭配一习题，在思路导航部分对这三类题型进行了总结，希望老师将此类题目的核心思路进行重点强调及讲解；题型二是在中考新大纲的要求下增加的新题型，寒假时已经进行了预热，旨在锻炼学生们综合运用四边形中各特殊图形之间的关系来进行解题的能力，这部分内容对学生的要求较高，每个题几乎都不只考查一种四边形的知识，本讲也可以看成在后几讲分块练习专题课之前的一个小结课．本讲的最后一道例题是2013 年 101 中学的一道期末考试题，此题根据2011 年大兴一模进行改变，增加了最后一问，近年改变题目之风盛行，老师们也可借此题进行发挥，比如训练 4 是首师大二附的期末考试题，此题也是根据2008 年北京中考题改编的，全面考查了特殊四边形的性质、判定等相关知识点．题型一：动手操作题思路导航在近年的中考试题中，几何内容的考查在不断推陈出新，但经典题型——动手操作题却经久不衰，大量出现在各地的中考试卷上．这种题型充分考查了学生的想象能力、构图能力及动手操作能力，主要有以下三个考查方式：1图形折叠图形的折叠是指某个图形或其部分沿某直线翻折，这条直线为对称轴．图形的折叠问题分两大类题型：⑴ 考查图形折叠的不变性：只需抓住不变量，既对应边相等，对应角相等；⑵ 考查图形折叠的折痕：只需抓住折痕垂直平分对应点所连成的线段且平分对应边所形成的夹角．2图形分割近年中考中图形分割的基本类型有：⑴把图形分割成面积相等的几部分（等面积）；⑵把图形分割成形状相同的几部分（相似或全等）；⑶把图形分割成轴对称或中心对称图形（等腰三角形或特殊四边形）；⑷把图形分割成满足特定要求的几部分．思路：只要抓住分割后图形的特殊性即可．3图形剪拼图形剪拼是一种常见的几何题目，“剪”就是将整体的图形分割为各个部分；而“拼”则是把若干分散的图形组合成为一个整体图形．思路：此类问题一般只需根据剪拼过程中面积不变即可．典题精练【例 1】如图，将边长为8cm 的正方形 ABCD 折叠，使点D落在 BC 边的中点E处，点A落在F处，折痕为 MN ，求折痕 MN 的长度．A DMA D A DM FM HF FKNN NB E CB EC B E C图 1 H图 2【解析】方法一：如图1，作 MH ∥BC， MN 是折痕，则MN DE只需证明△ MHN ≌△ DCE 得出 MN DE ，由勾股定理求出DE 4 5 ，所以 MN 4 5 ．方法二：延长 NE 交 AB 延长线于点 H ，由题意可知 NC 3， CE 4，NE 5∴△NEC ≌△ HEB ， HE 5，HN 10∵ DNMENM ，AB ∥ CD，∴ MH NH 10，MH 10 作NK AH ，KB BH3，MK 4，KN8∴ MN 45【点评】 此题是一道非常典型的考察折痕的问题，方法一是应用折痕垂直平分对应点连线段， 应用正方形的一个经典模型，将 MN 转化，方法二是折痕平分对应边所成的夹角，和平行线一起构成等腰三角形，建议老师仔细讲解此题．【例 2】 阅读下列材料：小明遇到一个问题： AD 是 △ ABC 的中线， 点 M 为 BC 边上任意一点 （不与点 D 重合），过点 M 作一直线，使其等分 △ ABC 的面积．ANBMDC图1他的做法是：如图 1，连结 AM ，过点 D 作 DN ∥ AM 交 AC 于点 N ，作直线 MN ，直线 MN 即为所求直线． 请你参考小明的做法，解决下列问题：⑴如图 2，在四边形 ABCD 中，AE 平分 ABCD 的面积， M 为 CD 边上一点，过 M 作一直线 MN ，使其等分四边形 ABCD 的面积（要求：在图2 中画出直线 MN ，并保留作图痕迹） ；⑵如图 3，求作过点 A 的直线 AE ，使其等分四边形 ABCD 的面积（要求：在图 3 中画出直线AE ，并保留作图痕迹） ．（ 2013 西城期末）ADBA CCM EDB 图2图 3【解析】 ⑴ 连接 AM ，过 E 作 EN ∥ AM ，交 AD 于 N ，再做直线MN 即可，如图．AB NCMED⑵ 取对角线 BD 的中点 M ，连接 AM 、 CM 、 AC ，过点 M 作 ME ∥ AC 交 CD 于 E ，直线 AE 就是所求直线，如图．DMEACB【例 3】 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为 a （ a>2 ）的正方形 ABCD 各边上分别截取AE=BF=CG=DH =1，当∠ AFQ=∠ BGM =∠ CHN=∠ DEP=45 °时，求正方形 MNPQ 的面积． 小明发现，分别延长 QE ，MF ， NG ， PH 交 FA ，GB ， HC ， ED 的延长线于点 R ， S ， T ， W ， 可得△ RQF ，△ SMG ，△ TNH ，△ WPE 是四个全等的等腰直角三角形（如图 2）请回答：⑴若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为；⑵求正方形 MNPQ 的面积；⑶参考小明思考问题的方法，解决问题：如图 3，在等边△ ABC 各边上分别截取 AD=BE=CF ，再分别过点 D ，E ， F 作 BC ，AC ，AB 的垂线，得到等边△ RPQ ，若△3 ，则 AD 的长为．S RPQ3（ 2013 北京中考 ）RAEDAEDW A QQH DMHMRPFPFPQF NNS BGB EBG CCC图 1图 2T图 3【解析】 ⑴ 四个等腰直角三角形的斜边长为a ，则斜边上的高为1a ，2每个等腰直角三角形的面积为：1 a 1 a 1 a 2，2 24则拼成的新正方形面积为：4 1a 2 a 2 ，即与原正方形 ABCD 面积相等，4∴ 这个新正方形的边长为 a⑵∵ 四个等腰直角三角形的面积和为 a 2 ，正方形 ABCD 的面积为 a 2 ， ∴S 正方形 MNPQ S △ ARE S △ DWH S △ GCT S △ SBF 4S △ ARE 4 1 12 22⑶ 如答图 1 所示，分别延长 RD ，QF ， PE ，交 FA ， EC ， DB 的延长线于点 S ， T ， W ．由题意易得： △RSF ，△ QET ，△ PDW 均为底角是 30°的等腰三角形，其底边长均等于 △ ABC 的边长． 不妨设等边三角形边长为a ，则 SF=AC=a ．如答图 2 所示，过点 R 作 RM ⊥ SF 于点 M ，则 MF = 1 SF= 1a ，2 2SADRPQFB EC TW答图 1MF 1 3 3 S 在 Rt △ RMF 中， RM=32aa36AN1 3 3D M∴S △ RSFa a a 2R2 6 12过点 A 作 AN ⊥ SD 于点 N ，设 AD=AS=x ，则 AN= 1x ， SD=2ND= 3x ，2 PQFBEC TW答图 2∴ S △ ADS111 32AD AN3 x x4 x22 2∵ 三个等腰三角形 △ RSF ， △ QET ， △ PDW 的面积和 = 3S △ RSF 33 a 23 a 2 ，正 △ ABC124的面积为3a 2 ，4∴ S △ RPQS △ ADS S △ CFT S △ BEW3S △ ADS ，∴ 33 322434 x ，解得 x 9解得 x 2 或 x 23 （舍去负数）3∴ x 2 ，即 AD 的长为 2，故答案为： a2 ．3 33题型二：四边形性质与判定综合思路导航特殊四边形之间的关系：从属关系 :四边形平行四边形梯形正等腰直角矩形梯形梯形方菱形形演变关系：一个角是直角一组邻边相等矩形两组对边分别平行平行四边形正方形一组邻边相等一个角是直角菱形两腰相等一组对边平行等腰梯形四边形另一组对边不平行梯形一个角是直角直角梯形两组对边都不平行任意四边形典题精练【例 4】如图 1，矩形 MNPQ 中，点 E、F、G、H 分别在 NP、PQ、QM 、MN 上，若∠ 1=∠ 2=∠ 3=∠ 4，则称四边形 EFGH 为矩形 MNPQ 的反射四边形．在图 2、图 3 中，四边形 ABCD 为矩形，且 AB=4 ，BC=8．M G Q A G D A D1FF3 2 HF HN4P B E CB E CE图 3图 1图 2⑴在图 2、图 3 中，点 E、F 分别在 BC、CD 边上，图 2 中的四边形 EFGH 是利用正方形网格在图上画出的矩形ABCD 的反射四边形．请你利用正方形网格在图 3 上画出矩形 ABCD 的反射四边形 EFGH ；⑵图 2、图 3 中矩形 ABCD 的反射四边形 EFGH 的周长是否为定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出图2、图 3 中矩形 ABCD 的反射四边形EFGH 的周长各是多少；⑶图 2、图 3 中矩形 ABCD 的反射四边形 EFGH 的面积是否为定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出图2、图 3 中矩形 ABCD 的反射四边形EFGH 的面积各是多少．（ 2013 门头沟区二模）【解析】⑴如图 3 所示：利用正方形网格在图 3 上画出矩形 ABCD 的反射四边形EFGH ．AGD HF⑵∵图2中 HE=2 5，EF 2 5 ，GF= 2 5 ，HG=2 5 ， B E C ∴四边形 EFGH 的周长为： 2 5 4 8 5 ，图3中HE=3 5，EF 5,GF 3 5,HG 5 ,∴四边形 EFGH 的周长为： 3 5 5 2 8 5∴图 2、图 3 中矩形 ABCD 的反射四边形EFGH 的周长是定值，定值是8 5⑶∵图 2 中四边形 EFGH 的面积为：14 8 16 ，211 213 6 2 12，图 3 中四边形 EFGH 的面积为： 4 8 22 2∴图 2、图 3 中矩形 ABCD 的反射四边形EFGH 的面积不是定值，它们的面积分别是16、12．【例 5】操作：如图①在正方形ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，将△ ABE 沿 AE 折叠后得到△ AFE ，点F 在正方形 ABCD 内部，延长 AF 交 CD 于点 G．易知 FG=GC．探究：若将图①中的正方形改成矩形，其他条件不变，如图②，那么线段GF 与 GC 相等吗？请说明理由．拓展：如图③，将图①中的正方形ABCD 改为平行四边形，其他条件不变，若AB=3， AD=4，A D A D A DFF GFGGCB EC B E B E C图①图②图③【解析】探究： GF =GC，理由是：连接CF ，∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ B=∠ ECG=90°，∵△ ABE 沿 AE 折叠后得到△ AFE ，∴BE=EF，∠ GFE=∠AFE=∠B=90°，∵ BE=CE，∴EF=EC，∴∠ EFC=∠ ECF ，∴∠ GFC=∠ GCF，∴GF=GC．拓展：连接CF，∵△ ABE 沿 AE 折叠后得到△AFE ，B=∠AFE，边形 ABCD 是平行四边形，（ 2013 长春一模）A DFGB E CA D∴ ∠F∵ 四∴ AB∥ CD，G ∴ ∠BE CB+∠C=180 °，∵ ∠AFE+∠GFE =180 °，∴ ∠C=∠ GFE ，∵∠ EFC=∠ ECF ，∴∠ GFC=∠ GCF，∴ GF=GC．∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=3=AF ，∵ AD=4 ，∴△ AGD 的周长是 AD +DG+AF=4+DG +AF+FG=4+ DG +CG+AF=4+3+3=10 ．真题赏析【例 6】已知：如图1，在四边形ABCD 中， AD=BC，∠ A、∠ B 均为锐角．⑴当 A B 时，如图2， CD 与AB的位置关系是 CD AB ，大小关系是 CD AB ；⑵当A≠ B 时，CD与 AB 的大小关系是否还成立，证明你的结论．求证： AGC DAG ．D D FC D C CHA B A B A E图 1 图 2 图 3 【解析】⑴如图 1，作 DE 平行于 BC 交 AB 于点 E，∴∠ B=∠ AED ，∵∠ A=∠ B，∴∠ A=∠ AED ，∴AD=DE，∵ AD=CB，∴DE=CB，∵ DE∥ BC，∴四边形 CBED 为平行四边形，∴DC 平行且等于 EB，∵EB＜ AB，∴CD∥AB ，CD ＜ AB；⑵CD＜AB 还成立证明：如图2，分别过点 D 、 B 作 BC、 CD 的平行线，两线交于 F 点，作∠ ADF 的平分线交AB 于 G 点，连接GF．∴四边形 DCBF 为平行四边形∴FD =BC， DC=FB∵AD=BC∴AD=FD∴∠ ADG=∠ FDG ．在△ADG 和△FDG 中GB（2013 年 101 中学期末）D CA E B图 1DCFA G B图 2AD FDADG FDG ，DG DG∴△ ADG≌△ FDG （ SAS）∴AG=FG，∵在△BFG 中， FG +BG＞ BF，∴AG+BG＞ DC，∴DC＜AB ．⑶连接 AC，取 AC 中点 P，连接 PE、 PF， PE 交 AG 于 Q，延长 AD 、 EF 交于 R则 PF 1AD， PE1BC ，∵AD =BCR 2 2∴PF=PE，∴∠ PEF=∠ PFE ∵PE∥ BC， AG⊥ EF∴∠ AGC=∠ PQA=90°－∠ PEF ∵PF∥ AD ， AG⊥EF∴∠ DAG=90°－∠R=90°－∠ PFE ∴∠ AGC=∠ DAGD FCPGQHAE B图 3思维拓展训练 ( 选讲 )训练 1. 如图，小明将一块边长为 6 的正方形纸片折叠成领带形状，其中 D CF 30 ，B点落在 CF 边上的 B 处，则 AB 的长为______________．（海淀一模）A AAF E FB D BD′B′C C C【解析】 3 3 ．提示：将图形还原，将AB放在四边形AEBF 或△AEB中AF EB′计算 . 四边形 AEB F 是一个经典的基本模型.将它放大，如图所示， B D EAF EBF 90 ,AE AF,延长BE至M,使得EM BF,易证△ B AM 是等腰直角三角形，则B F B E.2 AB 在原图中可以计算得到：BF 2 26,BE 2 ,所以 2 AB 326，C AB 3 3 .训练 2. 如图，矩形纸片 ABCD 中， AB 26 厘米， BC 18.5 厘米，点点 P 是 AB 边上一动点．按如下操作：步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕 MN步骤二，过点 P 作 PT AB ，交MN所在的直线于点Q ，连接E 在 AD上，且AE6厘米，（如图①）；QE （如图②）．DMC DC TQ 10E EA N PB A P20B图①图②图③⑴无论点 P 在 AB 边上任何位置，都有PQ QE （填“”、“ ”、“ ”）；⑵如图③所示，将矩形纸片①当点 P 在 A点时， PT②当 PA 6 厘米时，PTABCD 放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：与 MN 交于点Q1 ， Q1 点的坐标是（，）；与 MN 交于点Q2 ， Q2 点的坐标是（，）；③当 PA a 厘米时，在图③中用尺规作出MN （不要求写作法，要求保留作图痕迹），PT与 MN 交于点Q3，Q3点的坐标是（，）．DCDC10 10 EEA 20BA20B备用图备用图（崇文一模）【解析】 ⑴ 无论点 P 在 AB 边上任何位置，都有 PQ QE ；⑵ ①当点 P 在 A 点时， PT 与 MN 交于点 Q 1 ， Q 1 点的坐标是 0 ，3 ； ②当 PA 6 厘米时， PT 与 MN 交于点 Q 2 ， Q 2 点的坐标是 6 ，6 ；③当 PAa 厘米时，在图 ③ 中用尺规作出 MN （连接 EP ，作中垂线，作图略） ，连接 EP ，作中垂线， Q 3 点的坐标是设 Q 3 a ，y ，过 Q 3 作 Q 3 F AD 于 ∴ Q 3 F AP a ， Q 3 P y∵ Q 3 P Q 3 E ， ∴ Q 3 E y2 aa ， 3 ．12F ,∴ EFAF AEy62EF 22∵ Q 3EQ 3 F2y 6 221 2∴ ya ， ∴ y a 312∴ Q 3 点的坐标是 a ，a 23 ． 12【点评】 此题是一道考察折叠不变性的题，题目看似很难，其实只需要按照要求作图，再按照折叠不变性，列出方程．训练 3. 将矩形纸片 ABCD 分别沿两条不同的直线剪两刀， 使剪得的三块纸片恰能拼成一个三角形（不能有重叠和缝隙） . 图 1 中提供了一种剪拼成等腰三角形的示意图.APDAD①③EF②④BCBC图1 图2⑴ 请提供另一种剪拼成等腰三角形的方式，并在图2 中画出示意图；y yD D A AB C x B Cx图3 备用图⑵以点 B 为原点，BC所在直线为x 轴建立平面直角坐标系（如图），点D的坐标为8，5 ．若剪拼后得到等腰三角形MNP ，使点M、 N 在y轴上（M在 N 上方），点P在边 CD 上（不与C 、D重合）.设直线PM的解析式为y kx b（k0 ），请写出所有符合条件的k 的取值及相应的 b 的取值范围（不要求写解题过程）.（海淀期中统考）【分析】图形的拼接实质就是全等变换，抓住边的平行关系和线段的中点构造“8”形字.【解析】⑴答案不唯一，例如：ADA DADB CB CB C.⑵结论： k 5， 5 b 10 ；k3， b 8 ；k1， b 7 ．8 4 2提示：由题意，△ MNP 与矩形 ABCD 的面积相等，且P到MN的距离为8 ，故 MN 10 ．要使得拼接得到的△ MNP 为等腰三角形，三种情况：①PM PN ，如图给出了一种特殊的分割方法，P为CD中点，AM BN 2.5 ，P 8，2.5 ，M 0，7.5 ，此时直线 PM 的解析式满足k 5．若 P 不是CD中点，只需保持与刚才的分8割线平行即可，仍然可以拼接成符合条件的等腰三角形，所以 5 b 10 ；②PM MN ；因为P、M的水平距离为8， PM 10 ,所以P、M的竖直距离为 6 ，考虑到拼接前后部分是全等形，所以只需要AM DP 3 即可，如图所示.此时直线PM的解析式为y 3x 8 ，故 k34， b 8 .4③ PN MN ,实际就是M 、N互换位置，与上一种情况一样，此时直线PM 的解析式为y 1x 7 ，故 k1， b 7 .y y yM MMA D A D A DP PPB C x B C x B CxN N N【点评】此题比较新，是一道很好的试题，还有拓展空间．确定这个图形的关键点就是 D 点，我们可以一般化，如设 D m，n ， m，n为正实数，这将是一道比较难的数形结合的综合题．当然还可以这样进行改编，取 D 24，13 ，其他条件不变 .训练 4. 请阅读下列材料：问题：如图 1，在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中，点A、B、E在同一条直线上，P 是线段 DF 的中点，连结PG、PC．若ABCBEF 60 ，探究 PG 与 PC 的位置关系及数量关系．小聪同学的思路是：延长GP 交 DC 于点H构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：C D C D CDP F P P FF GGGA B E A B EA B E图 1 图 2 图 3⑴直接写出上面问题中线段PG 与 PC 的关系及PG的值；PC⑵如图 2，在正方形 ABCD 和正方形 BEFG 中，点A、B、E在同一条直线上，P 是线段 DF 的中点，连结PG 、 PC ，探究 PG 与 PC 的位置关系及数量关系．⑶将图 2 中的条件“正方形 ABCD 和正方形 BEFG ”改为“矩形 ABCD 和矩形 BEFG ”其它条件不变，（如图 3），你在⑵中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（2013 首师大二附期末）【解析】⑴如图 1，延长 GP 交 CD 于 H，∵P 是 DF 的中点，∴ DP=FP．∵四边形 ABCD 和四边形BEFG 是菱形，DH CP FG点 A， B， E 在同一条直线上，∴ DC∥GF ，∴∠ HDP =∠ GFP．∴△ DHP ≌△ FGP （ ASA ），∴ HP=GP DH =FG∵ CD=CB， FG=GB∴CD-DH =CB -FG A B E图 1即： CH=CG∴△ HCG 是等腰三角形，∴ PC ⊥ PG ，∠ HCP =∠ GCP （等腰三角形三线合一） ∴∠ CPG=90°．∵∠ ABC=60°， ∴∠ DCB =120°，∴∠ GCP= 1∠ DCB =60°，2∴ Rt △CPG 中：PG3 ．PC故 PG ⊥PC ，PG=PC ，PG3 ．PC⑵ PG ⊥ PC 且 PG=PC ；理DHC由：如图 2，延长 GP 交 DC 于点 H ，四边形 ABCD 和 BEFG 是正方形，DC=BC ， BG=GF ，∠ FGB =∠GCD =∠ DCB =90°，∵PGF∴∴ABECD ∥ GF ，∠ CDP=∠ GFP ．是线段 DF 的中点，∴ DP=FP ．∴△ DHP ≌△ FGP （ ASA ），∴ DH =FG ， PH=PG ，∴ HC=GC ，∴△ HCG 是等腰直角三角形，∵ PH=PG∴ PG ⊥ PC 且 PG=PC ．⑶如图 3，延长 GP 交 DC 于点 H ， ∵ 四边形 ABCD 和 BEFG 是矩形，∴ FGB=∠ GCD=∠ DCB=90°，∴ CD ∥GF ， ∴∠ CDP=∠ GFP ． ∵ P 是线段 DF 的中点，∴ DP=FP ． ∴△ DHP ≌△ FGP （ ASA ），∴ PH=PG= 1HG ，2图 2∴∵ PD H CP F ∴△ HCG 是直角三角形，∴CP= 1HG，2∴PG=PC；GA B E图 3复习巩固题型一动手操作题巩固练习【练习 1】如图，矩形纸片ABCD 中， AB 8 ，将纸片折叠，使顶点 B 落在边 AD 上的点为E，折痕的一端 G 点在边 BC 上（ BG＜ GC），另一端 F 落在矩形的边上，BG10 ．⑴请你在备用图中画出满足条件的图形；⑵求出折痕 GF 的长．A D A D A DB G CB G CB G C备用图 1 备用图 2 备用图 3（平谷二模）【解析】⑴正确画出图⑴、图⑵⑵如图 1，当点 F 在 AB 上时，过点 G 作 GH⊥ AD，则四边形ABGH 为矩形，∴GH=AB=8， AH=BG=10，设 BF=x,由图形的折叠可知△BFG≌△ EFG，∴EG=BG=10，BF=EF=x,在 Rt△GEH 中，由勾股定理，得EH =6，∴ AE=4. ∵∠ A=90°， AF= 8x,EF x ,EF2AF2AE2 A EH D FB CG图1∴ x2 8 x 242解方程，得x 5. ∴ BF=5 ，2 2∵ BG=10，∴ FGBG BF 5 5.如图 2，当点 F 在 AD 边上时，连接 HG 、BE、 FG 因为四边形 HFGE 由四边形 ABGF 折叠得到，由折叠可知 ,BG=EG，AB =EH，∠ BGF =∠EGF ，∵EF∥ BG，∴∠ BGF =∠ EFG ，∴∠ EGF =∠ EFG，∴ EF=EG，∴ BG=EF，∴四边形 BGEF 为平行四边形又∵EF=EG，∴平行四边形BGEF 为菱形∴ BE，FG 互相垂直平分，在 Rt△EFH 中， EF=BG=10 ， EH=AB =8，由勾股定理可得 FH =AF=6 ，∴ AE=16，∴ BE=2AB 25 ，∴ BO=4 5 ，AE =8 ∴ FG=2OG=2 BG225BO =4【练习 2】⑴如图 1， AD 为 △ ABC 的中线，点E 在边 AC 上，过点 E 作一直线平分 △ ABC 的面积 .⑵如图 2，点 E 为平行四边形 ABCD 边 AD 上一点， 过点 E 作一直线平分平行四边形ABCD 的面积 .⑶如图 3，点 E 为梯形 ABCD 上底 AD 上一点，过点E 作一直线平分梯形 ABCD 的面积 .ADAEEDA EDAEBDCBCBCBC图1图 2图 3图【解析】 ⑴如图 1，连接 DE ，作 AF ∥DE 交 BC 于 F , EF 为所求 .⑵ 如图 2，连接 AC 和 BD 交于点 O ，直线 OE 为所求 .⑶如图 3，取 AB ， CD 的中点 M ， N,取 MN 中点 F ,直线 EF 为所求 .ADAEDAEEDMAEOMNFNBF DC BCBCBC图 1图2图 3图【练习 3】已知 : 如图， △ ABC 中， ACAB BC⑴在 BC 边上确定点 P 的位置，使 APCC ．请画出图形，不写画法；⑵在图中画出一条直线 l ，使得直线 l 分别与 AB 、 BC 边交于A点 M 、 N ．并且沿直线 l 将△ ABC 剪开后可拼成一个等腰梯形， 请画出直线 l 及拼接后的等腰梯形，并简要说明你的剪拼方法．说明：本题只需保留画图痕迹，无需尺规作图．BC（西城一模）【分析】 第一问比较简单．若抓住梯形中的常见辅助线以及第一问的提示作用，第二问就不难了．等腰梯形可以通过平移腰出现等腰三角形，那么等腰三角形也可以平移腰出等腰梯形就可以轻松找到裁剪线，问题就圆满解决了．【解析】 ⑴ 答案见图 4（任选一种即可） ．⑵ 答案见图 5．剪拼方法：取 AB 的中点 M ，过点 M 作 AP 的平行线 l ，与 BC 交于点 N ，过点 A 作 BC 的平A A H A行线，与 l 交于点 H ，将 △ BMN 绕点 M 顺时针旋转 180 到 △ AMH ，则四边形 ACNH 为拼接后的等腰梯形．题型二四边形性质与判定综合 巩固练习【练习4】如图，在线段 AE 的同侧作正方形 ABCD 和正方形 BEFG B EA B ，连接 EG 并延长交 DC 于点 M ，作M NA B ，垂足为点 N ， MN 交 BD 于点 P ，设正方形ABCD 的边长为 1．⑴ 证明：四边形 MPBG 是平行四边形；⑵ 设 BEx ，四边形 MNBG 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；⑶ 如果按题设作出的四边形BGMP 是菱形，求 BE 的长．【解析】 ⑴ ∵ 四边形 ABCD 、 BEFG 是正方形∴ ∠DBA ∠FEB 90 ， ∠ABD ∠BEG45 ，D MCGFPANBE（ 2013 东城区南片期末）∴ DB ∥ ME ．∵ MN AB ，CB AB ，∴ MN ∥CB ．∴ 四边形 MPBG 是平行四边形；⑵∵ 正方形 BEFG 中，设 BG BE x ．∵ CMGBEG 45 ，∴CGCMBN 1- x ．111 1 2x 1 ；∴ y （ GB MN ） BN1 x 1 x2 2 x ， 022⑶ 由四边形 BGMP 是菱形，则有 BG MG ，即 x2 1 x ．解得 x2- 2，∴ BE 2- 2 ．【练习 5】△ ABC 是等边三角形，点 D 是射线 BC 上的一个动点（点 D 不与点 B 、 C 重合），△ ADE 是以 AD 为边的等边三角形， 过点 E 作 BC 的平行线， 分别交射线 AB 、AC 于点 F 、G ，连接 BE ．⑴如图（ a ）所示，当点 D 在线段 BC 上时．探究四边形 BCGE 是怎样特殊的四边形？并说明 理由；⑵如图（ b ）所示，当点 D 在 BC 的延长线上运动到什么位置时，四边形 BCGE 是菱形？并说明理由．（ 2013 年十三分期中）AAE F GB DCB D C图 (a) F E G图 (b)【解析】⑴ ∵△ ABC 和△ ADE 都是等边三角形，∴AE=AD ， AB=AC，∠ EAD=∠ BAC=60°，又∵∠ EAB=∠ EAD -∠ BAD，∠ DAC=∠ BAC-∠ BAD，∴∠ EAB =∠ DAC ，∴△ AEB ≌△ ADC （SAS），∴∠ ABE =∠ C=60°．又∵∠ BAC=∠ C=60°，∴∠ ABE =∠ BAC ，∴EB∥ GC，又∵ EG∥BC，∴四边形 BCGE 是平行四边形；⑵当 CD =CB 时，四边形 BCGE 是菱形．理由：同⑴，△AEB≌△ ADC，∴BE=CD ，又∵四边形 BCGE 是菱形，∴BE=CB，∴CD =CB，即 CD=CB 时，四边形 BCGE 是菱形．第十六种品格：感恩子路借米孝敬父母中国有句古语：“ 百善孝为先” 。
学而思初二数学秋季班第2讲.倍长中线与截长补短.提高班.教师版
1初二秋季·第2讲·提高班·教师版三角形9级 全等三角形的经典模型（二）三角形8级全等三角形的经典模型（一） 三角形7级倍长中线与截长补短倍长中线与截长补短满分晋级漫画释义2倍长中线 与截长补短2初二秋季·第2讲·提高班·教师版定 义示例剖析倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶的全等三角形； 其本质是转移边和角．EDABC其中BD CD =，延长AD 使得DE AD =，则BDE CDA △≌△．【例1】 已知ABC △中，AD 平分BAC ∠，且BD CD =，求证：AB AC =． 【解析】 延长AD 到E ，使DE AD =，连接CE ．则CDE BDA △≌△，∴CE AB =，CED BAD ∠=∠， ∵AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠=∠， ∴CED CAD ∠=∠，∴CE AC =， ∴AB AC =．思路导航例题精讲知识互联网题型一：倍长中线EABCDABCD3初二秋季·第2讲·提高班·教师版【教师备选】教师可借用例1对等腰三角形三线合一性质的逆命题进行简单归纳：已知角平分线+中线证等腰三角形，如例1； 已知角平分线+高证等腰三角形，如拓展1； 已知中线+高证等腰三角形，如拓展2．【拓展1】已知△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且AD ⊥BC ，求证：AB =AC ． 【解析】∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC =90° ∴△ABD ≌△ACD (SAS) ∴AB =AC ．【拓展2】已知△ABC 中，AD ⊥BC ，且BD CD =，求证：AB =AC ． 【解析】∵AD ⊥BC ，且BD CD =∴AD 所在直线是线段BC 的垂直平分线 根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 故AB =AC ．【例2】 ⑴如图，已知ABC △中，AB AC =，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，使BD AB =．给出下列结论：①AD =2AC ；②CD =2CE ；③∠ACE =∠BCD ；④CB 平分∠DCE ，则以上结论正确的是 ． 【解析】 ①正确．∵AB AC =，BD AB =，∴AD =2AC ．②、④正确．延长CE 到F ，使EF CE =，连接BF ． ∵CE 是AB 的中线，∴AE EB =． 在EBF △和EAC △中 AE BEAEC BEF CE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩典题精练ABDEDCBA4初二秋季·第2讲·提高班·教师版∴EBF EAC ≌△△∴BF AC AB BD ===，EBF EAC ∠=∠ ∴FBC FBE EBC A ACB DBC ∠=∠+∠=∠+∠=∠ 在FBC △和DBC △中 FB DB FBC DBC BC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴FBC DBC ≌△△∴2CD CF CE ==，∠FCB =∠DCB 即CD =2CE ，CB 平分∠DCE ．③错误．∵∠FCB =∠DCB ，而CE 是AB 边上中线而不是∠ACB 的角平分线故∠ACE 和∠BCD 不一定相等．⑵如图，在△ABC 中，点D 、E 为边BC 的三等分点，给出下列结论：①BD =DE =EC ；②AB +AE ＞2AD ；③AD +AC ＞2AE ；④AB +AC ＞AD +AE ，则以上结论正确的是 ．NM ED CBAEDCBA【解析】 点D 、E 为边BC 的三等分点，∴BD =DE =CE 延长AD 至点M ，AE 至点N ，使得DM =AD ，EN =AE ，连接EM 、CN ，则可证明△ABD ≌△MED ，进而可得AB +AE ＞2AD ，再证明△ADE ≌△NCE ，进而可得AD +AC ＞2AE ，将两式相加可得到AB +AE +AD +AC ＞2AD +2AE ，即AB +AC ＞AD +AE ． ∴①②③④均正确．【例3】 如图，已知在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．FCAEBD5初二秋季·第2讲·提高班·教师版【解析】 延长AD 到G ，使DG AD =，连接BG∵BD CD =，BDG CDA ∠=∠，AD GD = ∴ADC GDB △≌△， ∴AC GB =，G EAF ∠=∠ 又∵AF EF =，∴EAF AEF BED ∠=∠=∠ ∴G BED ∠=∠，∴BE BG =，∴AC BE =．【例4】 在正方形ABCD 中，PQ ⊥BD 于P ，M 为QD 的中点，试探究MP 与MC 的关系．NABCDMPQ Q PMDCBA【解析】 延长PM 至点N ，使PM =MN ，连结CP 、CN 、DN ．易证△PMQ ≌△NMD ， ∴PB =PQ =DN ，∠PQD =∠NDM ∴PQ ∥DN ，又∵∠BPQ =∠BDN= 90° ∴∠PBQ =∠BDC=∠NDC =45° 再证△BPC ≌△DNC (SAS) 易证△PCN 为等腰直角三角形， 又∵PM =MN ，∴PM ⊥MC ,且PM =CM ．GFEDCBA FE D CBA6初二秋季·第2讲·提高班·教师版定 义示例剖析截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段DCBA在线段AB 上截取AD AC =补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等AB C D延长AC ，使得AD AB =【例5】 在ABC △中，A ∠的平分线交BC 于D ，AB AC CD =+，40B ∠=︒，求C ∠的大小．（希望杯培训题）D C B AED CB A【解析】 在AB 上截取AE AC =，连接DE ．∵AE AC =，BAD CAD ∠=∠，AD AD =，∴ACD AED △≌△， ∴C AED ∠=∠，CD DE =，∵AB AC CD =+，AE AC =，∴CD BE DE == ∴40EBD EDB ∠=∠=︒，80C AED ∠=∠=︒例题精讲思路导航题型二：截长补短7初二秋季·第2讲·提高班·教师版D CB AEDCB AD CEBAE DCB A【例6】 如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ．求证：AB BD AC +=． 【解析】方法一：（截长）在AC 上截取AB AE =，连接DE ．在ABD △和AED △中AB AE =，BAD EAD ∠=∠，AD AD =∴ABD AED △≌△∴BD ED =，B AED ∠=∠又∵2AED EDC C B C ∠=∠+∠=∠=∠ ∴EDC C ∠=∠，∴ED EC =∴AB BD AC +=． 方法二：（补短）延长AB 到点E 使得AC AE =，连接DE ． 在AED △和ACD △中，AE AC =，EAD CAD ∠=∠，AD AD = ∴AED ACD △≌△，∴C E ∠=∠ 又∵22ABC E BDE C BDE ∠=∠+∠=∠=∠ ∴E BDE ∠=∠∴BE BD =，∴AB BD AC +=．方法三：（补短）延长DB 到点E 使得AB BE =，连接AE 则有EAB E ∠=∠，2ABC E EAB E ∠=∠+∠=∠ 又∵2ABC C ∠=∠，∴C E ∠=∠ ∴AE AC = EAD EAB BAD E DAC ∠=∠+∠=∠+∠C DAC ADE =∠+∠=∠∴AE DE =，∴AB BD EB BD ED AE AC +=+=== ∴AB +BD=AC若题目条件或求证结论中含有“a b c =+”的条件，需要添加辅助线时多考虑“截长补短”.建议教师此题把3种解法都讲一下，方便学生更加深刻理解这种辅助线添加方法.【例7】 已知：在ABC △中，AB CD BD =-，AD BC ⊥，求证：2B C ∠=∠．【解析】 方法一：在DC 上取一点E ，使BD DE =，如图1，在ABD △和AED △中，AD BC ⊥，BD ED =，AD AD =．典题精练DC BA8初二秋季·第2讲·提高班·教师版∴ABD AED △≌△． ∴AB AE =，B AED ∠=∠．又∵AE AB CD BD CD DE EC ==-=-= ∴C EAC ∠=∠，∴2C EAC AED C ∠+∠=∠=∠ ∴2B C ∠=∠．图1E AB CD图2EAB CD方法二：延长DB 到点E ，使BE AB =，如图2， ∴E EAB ∠=∠．∵AB CD BD =-，∴ED CD =．在AED △和ACD △中，AD BC ⊥，ED CD =，AD AD =． ∴AED ACD △≌△． ∴E C ∠=∠． ∵2ABD E ∠=∠ ∴2B C ∠=∠．【探究对象】截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系，常见做辅助线方法有： 截长法：⑴过某一点作长边的垂线；⑵在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
【20寒】初二数学直播目标班(全国版)讲义
解直角三角形 / 第 02 讲
011
例7
第
如图，在海面上产生了一股强台风，台风中心 (记为点 M) 位于滨海市 (记作点 A) 的南
偏西
15◦，距离为
√ 61 2
千米，且位于临海市
(记作点
B)
正西方向
√ 60 3
千米处．台风
02
中心正以 72 千米/时的速度沿北偏东 60◦ 的方向移动 (假设台风在移动过程中的风力
2
016
学而思数学目标班·初二（全国版）「寒」
( 2 ) 已知二次函数解析式为 y = mx2 − (m − 1) x − 2m + 3，当 x > 2 时，函数值随着 x 的
增大而减小，求 m 的取值范围．
第
03
讲
( 3 ) 已知抛物线 y = ax2 + 2ax + 4 (0 < a < 3)，A (x1, y1)、B (x2, y2) 是抛物线上两点，若
第 04 讲
p.023
二次函数的解析式和图象变换
模块 01 二次函数的解析式 模块 02 二次函数的图象变换 模块 03 函数中的绝对值变换
第 05 讲
p.031
二次函数的应用
模块 01 用函数观点看方程与不等式 模块 02 实际应用问题
第 06 讲
p.039
一元二次方程区间根的分布
模块 01 一元二次方程区间根的分布
i（i
=
h ）；坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作
l
α
（tan α
=
i
=
h ）．
l
二、解直角三角形实际问题的一般解法
1. 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； 2. 适当选用锐角三角比去解直角三角形； 3. 得到数学问题的答案； 4. 得到实际问题的答案．
20学而思教材讲义高二数学秋季秋季 第12讲 空间向量与立体几何综合 教师版
当前形势空间向量与立体几何在近五年北京卷（理）考查14分高考要求内容要求层次具体要求A B C证明平行与垂直√运用向量的数量积证明直线与直线的平行与垂直直线的方向向量√灵活掌握共线向量性质平面的法向量√利用向量的数量积来计算平面的法向量线、面位置关系√运用空间向量的性质判断线面之间的平行与垂直线线、线面、面面的夹角√运用空间向量的数量积计算线线角线面角面面角北京高考解读2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年（新课标）2013年（新课标）第16题14分第16题14分第16题14分第16题14分第17题14分新课标剖析满分晋级第12讲空间向量与立体几何综合立体几何9级点面距离与动点问题立体几何10级空间向量与立体几何综合立体几何11级折叠问题与最值问题考点1：空间向量的运算1．向量的加法、减法与数乘向量运算与平面向量类似； 2．空间向量的基本定理：共线向量定理：对空间两个向量a ，b （0b ≠），a b ∥的充要条件是存在实数x ，使a xb =．共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x ，y ，使c xa yb =+． 空间向量分解定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一一个有序实数组x ，y ，z ，使p xa yb zc =++．表达式xa yb zc ++，叫做向量a ，b ，c 的线性表示式或线性组合．上述定理中，a ，b ，c 叫做空间的一个基底，记作{}a b c ，，，其中a b c ，，都叫做基向量． 由此定理知，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 四点共面定理：设点P 满足等式：OP xOA yOB zOC =++，其中x y z ∈R ，，，则P A B C ，，，四点共面的充要条件是1x y z ++=．<教师备案>四点共面定理的证明．充分性即证：若1x y z ++=，则P A B C ，，，四点共面，必要性即证：若P A B C ，，，四点共面，则有1x y z ++=． 先证充分性：∵1x y z ++=， ∴1z x y =--，∴(1)OP xOA yOB x y OC =++--()()x OA OC y OB OC OC =-+-+xCA yCB OC =++． 即CP xCA yCB =+，由共面向量定理知P A B C ，，，四点共面． 再证必要性：设x y z k ++=， 由条件OP xOA yOB zOC =++， 得：()OP xOA yOB k x y OC =++--()()x OA OC y OB OC kOC =-+-+()()(1)x OA OC y OB OC OC k OC =-+-++-，∴()()(1)OP OC x OA OC y OB OC k OC -=-+-+-， 即(1)CP xCA yCB k OC =++-，∵P A B C ，，，四点共面，而点O 为空间任意一点， ∴只能1k =，即1x y z ++=． 综上知，命题成立．知识点睛12.1空间向量的概念与运算3．两个向量的夹角：已知两个非零向量a b ，，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作a b 〈〉，．通常规定0πa b 〈〉≤，≤． 在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且a b b a 〈〉=〈〉，，． 如果90a b 〈〉=︒，，则称a 与b 互相垂直，记作a b ⊥． 4．两个向量的数量积：已知空间两个向量a ，b ，定义它们的数量积（或内积）为：cos a b a b a b ⋅=〈〉， 空间两个向量的数量积具有如下性质： ⑴ 0ab a b ⇔⋅=；⑵ 2a a a =⋅；⑶ ab a b ⋅≤．空间两个向量的数量积满足如下运算律：⑴ ()()a b a b λλ⋅=⋅；⑵ a b b a ⋅=⋅；⑶ ()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．<教师备案>空间向量的运算法则与平面向量大致一样，只不过是从二维平面转到三维空间．空间向量主要是用来解决立体几何问题．空间向量在暑期没有预习课程，只有这一讲同步讲义．提高班学案1【铺1】 ⑴ 给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同；②若空间向量a ，b ，满足a b =，则a b =； ③在正方体1111ABCD A B C D -中，必有11AC A C =；④若空间向量m ，n ，p 满足m n =，n p =，则m p =； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中不正确的命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 ⑵ 如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD的交点，若11A B a =，11A D b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的是（ ） A ．111222a b c -++ B ．111222a b c ++C ．1122a b c -+D ．1122a b c -++⑶ 设1e ，2e 是空间两个不共线的向量，已知122AB e ke =+，123CB e e =+，122CD e e =-，且A B D ，，三点共线，则k =＿＿． ⑷ 若ABC △中，90C ∠=︒，()123A k -，，，()210B -，，，()402C k -，，，则k =＿＿．【解析】 ⑴ C当两向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，却不一定有起点相同，终点相同，故①错；根据向量相等的定义，不仅模相等，而且方向相同，故②经典精讲c b a MD 1C 1B 1A 1DCBA错；根据正方体1111ABCD A B C D -中，向量AC 与11A C 的方向相同，模也相等，应有11AC A C =，故③正确；命题④显然正确；空间中任意两个单位向量模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错． ⑵ D∵()12AM AB AD =+，∴()12AM a b =+，又∵11B A a =-，1A A c =，1111B M B A A A AM =++，∴()1111222B M a c a b a b c =-+++=-++．⑶ 8-∵123CB e e =+，122CD e e =-，∴()()121212234BD CD CB e e e e e e =-=--+=-，∵A B D ，，三点共线，∴AB xBD =，∴()121212244e ke x e e xe xe +=-=-，∵1e ，2e 是不共线向量，∴24xk x =⎧⎨=-⎩，∴8k =-． ⑷ 10±()612CB k =-，，，()32CA k =--，，，则()()()263222200CB CA k k k ⋅=-⨯-++⨯-=-+=，∴10k =±．【例1】 ⑴已知A B C ，，三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点 A B C ，，一定共面的是（ ）A ．OM OA OB OC =++ Ｂ．2OM OA OB OC =--Ｃ．1123OM OA OB OC =++ Ｄ．111333OM OA OB OC =++⑵设a b ⊥，π3a c =，，π6b c =，，且1a =，2b =，3c =，则a b c ++=（ ）A ．1763+ Ｂ．1743+ Ｃ．63Ｄ．932⑶若()213a x =，，，()129b y =-，，，如果a 与b 为共线向量，则（ ） A ．11x y ==，Ｂ．1122x y ==-， Ｃ．1362x y ==-， Ｄ．1362x y =-=，⑷已知空间三点()111A ，，，()104B -，，，()223C -，，，则向量AB 与CA 的夹角θ的大小是_______．【解析】 ⑴ D由向量四点共面的充要条件，只有D 选项中OA OB OC ，，系数和为1，所以选D ⑵ A∵2222ππ2221496cos 12cos 176336a b c a b c a b a c b c ++=+++⋅+⋅+⋅=++++=+∴1763a b c ++=+；⑶ C∵()213a x =，，与()129b y =-，，共线，故有213129x y ==-，∴1362x y ==-，．⑷ 120︒()213AB =--，，，()132CA =--，，，()()()()2113321cos 21414AB CA -⨯-+-⨯+⨯-==-⋅，，∴120AB CA θ==︒，．【例2】 ⑴如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别在1B B 和1D D 上，且113BE BB =，123DF DD =，①证明1A E C F ，，，四点共面；②若1EF xAB y AD z AA =++，求x y z ++． F E ABC DA 1B 1C 1D 1⑵已知空间四边形OABC 中，AOB BOC AOC ∠=∠=∠，且OA OB OC ==，M N ，分别是OA BC ，的中点，G 是MN 的中点，求证：OG BC ⊥．【解析】 ⑴①∵11111233AC AB AD AA AB AD AA AA =++=+++111233AB AA AD AA ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭AB BE AD DF =+++AE AF =+，∴1A E C F ，，，四点共面 ②()EF AF AE AD DF AB BE =-=+-+112133AD DD AB BB =+--113AB AD AA =-++，∴1113x y z =-==，，，∴13x y z ++=．⑵ 如图，连接ON ，设AOB BOC AOC θ∠=∠=∠=，OA a =，OB b =，OC c =，则a b c ==，又()12OG OM ON =+()111222OA OB OC ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦()14a b c =++，BC c b =-，所以()()14OG BC a b c c b ⋅=++⋅- ()2214a c ab bc b c b c =⋅-⋅+⋅-+-⋅()22221cos cos 04a a a a θθ=--+=， 所以OG BC ⊥．12.2平行垂直问题GN MO CBA考点2：用空间向量证明平行垂直1．直线的方向向量与平面的法向量的概念； 2．线、面平行与垂直：（设直线12l l ，的方向向量分别为12v v ，，平面αβ，的法向量分别为12n n ，） ⑴线线的平行关系：1l ∥2l （或1l 与2l 重合）1v ⇔∥2v ；线面的平行关系：1l ∥α或1l α⊂⇔存在实数x y ，，使1v xm yn =+110v n ⇔⋅=（其中m n ，为平面α内的两个不共线的向量） 面面的平行关系：α∥β（α，β重合）⇔1n ∥2n ； ⑵线线垂直：12l l 12120v v v v ⇔⇔⋅=；⑶线面垂直：1l α⊥11v n ⇔∥；⑷面面垂直：12120n n n n αβ⇔⇔⋅=；<教师备案>上面的证明线、面平行或垂直的结论不是绝对的，有其它的等价条件，需要灵活运用．一般来讲，证明平行或垂直用纯粹的立体几何更简便，涉及到稍微复杂的求角度时，适合用空间向量无脑算．提高班学案2【铺1】如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，PC AD ⊥．底面ABCD 为梯形，AB DC ∥，AB BC ⊥．PA AB BC ==，点E 在棱PB 上，且2PE EB =．求证：PD ∥平面EAC ．EDCBAP【解析】 证法一：以A 为原点、AB 、AP 所在直线分别为y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设PA AB BC a ===，则(000)A ，，，(00)B a ，，，(0)C a a ，，，(00)P a ，，，2033a a E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，．设(0)D a y ，，，则()PC a a a =-，，，(0)AD a y =，，， ∵PC AD ⊥，∴20PC AD a ay ⋅=+=，解得y a =-； 则有(0)D a a -，，，()PD a a a =--，，， 经典精讲知识点睛z yPEB A2033a a EA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，，33a a EC a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，；∵2PD EA EC =+，PD ⊄平面EAC ，∴PD ∥平面EAC ．（或者求出平面EAC 的法向量(112)n =-，，得出PD 与n 垂直也可证明结论） 证法二：AB BC =，AB BC ⊥，∴ABC △是等腰直角三角形；PA ⊥平面ABCD ⇒PA AD ⊥，又AD PC ⊥，∴AD ⊥平面PAC ；∴AD AC ⊥．又AB DC ∥，∴DAC △也是等腰直角三角形； ∴22DC AC AB ==．连接BD ，交AC 于点M ，则2DM DC MB AB==． 在BPD △中，2PE DMEB MB==，∴PD EM ∥．又PD ⊄平面EAC ，EM ⊂平面EAC ， ∴PD ∥平面EAC ．【例3】如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA =，45PDA ∠=︒，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点．⑴求证：AF ∥平面PCE ；⑵求证：平面PCE ⊥平面PCD ；【追问】PC 上是否存在一点H ，使得AC ⊥面EFH ？【解析】 以A 为坐标原点，建立如图所示的坐标系A xyz -．⑴ ()002P ，，，()020D ，，，()200B ，，，()220C ，，， 则()011F ，，，()100E ，，， 于是，()011AF =，，，()102EP =-，，，()120EC =，， 因为()12AF EP EC =+，所以AF 与EP EC ，共面． 又AF ⊄面ECP ，所以AF ∥平面PCE ．⑵ 因为()022PD =-，，，所以0AF PD ⋅=，即AF PD ⊥； 又()200DC =，，，所以0AF DC ⋅=，即AF DC ⊥． 于是AF ⊥面PCD ，由⑴AF ∥平面PCE ， 则面PCE ⊥面PCD ．【追问】设22H x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，则()220AC =，，，()111EF =-，，，212EH x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，， 易知0AC EF ⋅=，由()121202AC EH x x x ⋅=-+=⇒=．于是点112222H ⎛ ⎝⎭，，满足AC ⊥面EFH ． MPEBA DP FEDBAHz yx P FE DCBAMz yxPED CB A 【点评】证明线面平行问题，可以有三个途径，一是在平面PCE 内找一向量与AF 共线；二是说明AF能用平面PCE 内的两不共线向量线性表示，三是证明AF 与平面的法向量垂直．证明面面垂直，也可以转化证明它们的法向量垂直，或者其中一个面的法向量平行于另一个面．尖子班学案1【拓2】 如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，ABE △是等腰直角三角形，AB AE =，FA FE =，45AEF ∠=︒． ⑴求证：EF ⊥平面BCE ；⑵设线段CD 的中点为P ，在直线AE 上是否存在一点M ，使得∥PM 平面BCE ？若存在，请指出点M 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；PFEDCBA【解析】 ⑴ ∵ABE △为等腰直角三角形，AB AE =，∴AE AB ⊥．又∵面ABEF ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABEF ，平面ABEF 平面ABCD AB =，∴AE ⊥平面ABCD ．∴AE AD ⊥．因此，AD ，AB ，AE 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系A xyz -． 设1AB =，则1AE =，(010)B ，，，(100)D ，，，(001)E ，，，(110)C ，，．∵FA FE =，45AEF ∠=︒，∴90AFE ∠=︒．从而，11022F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，．∴11022EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，，(011)BE =-，，，(100)BC =，，．110022EF BE ⋅=+-=，0EF BC ⋅=．∴EF BE ⊥，EF BC ⊥．∵BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BC BE B =，∴EF ⊥平面BCE ．⑵ 存在点M ，当M 为AE 中点时，PM ∥平面BCE ．设(00)M m ，，，1102P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，．从而112，，PM m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 由11111002222，，，，PM EF m m ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅--=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即M 为AE 中点时，PM FE ⊥，又EF ⊥平面BCE ，直线PM 不在平面BCE 内， 故PM ∥平面BCE ．目标班学案1【拓3】 如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点． ⑴ 求证：AC SD ⊥；⑵ 若SD ⊥平面PAC ，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC ．若存在，求:SE EC 的值；若不存在，试说明理由．【解析】 ⑴ 连BD ，设AC 交BD 于O ，连接SO ，由题意知SO ⊥平面ABCD ．以O 为坐标原点，OB ，OC ，OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如图．设底面边长为a ， 则高()222622SO aa a ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭． 于是600S a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，200D a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，200C a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，， 200OC a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，260SD a a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，， 0OC SD ⋅=，故OC SD ⊥．从而AC SD ⊥．⑵ 在棱SC 上存在一点E 使BE ∥平面PAC ．由题设知，260DS a a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，是平面PAC 的一个法向量， 设CE tCS =，则由260CS a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，200B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，220BC a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，可得： ()2261BE BC CE BC tCS a a t at ⎛⎫=+=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，． 而22661003BE DS a a a at t ⎛⎫⋅=⇔⨯-+⨯=⇔= ⎪ ⎪⎝⎭． 即当21SE EC =∶∶时，BE DS ⊥．而BE 不在平面PAC 内，故BE ∥平面PAC ．考点3：用空间向量求异面直线所成角和点面距离12.3角度与距离问题OPC BA Sx y z EPDBA S1．设直线12l l ，的方向向量分别为12v v ，，则12l l ，所成角θ满足：121212cos cos v v v v v v θ⋅=〈〉=，，π02θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 2．空间中的点面距离⑴体积法⑵空间向量法：定点A 到平面α的距离，可设平面α的法向量为n ，面α内一点B ，则点A 到平面α的距离为AB n n⋅<教师备案>空间两条直线所成角的范围是π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，异面直线所成角的范围是π02⎛⎤⎥⎝⎦，，而两个向量之间的夹角范围是[]0π，，这些是求空间中两条直线所成角时需要注意的地方．尖子班学案2【铺2】如图，正四棱锥P ABCD -的底面边长与侧面棱长都是2，M 是PC 的中点．⑴ 求异面直线AD 和BM 所成角的大小． ⑵ 求异面直线AM 和PD 所成角的余弦值． 【解析】 ⑴ 解法一：∵AD BC ∥，∴AD 和BM 所成的角就是BC 和BM 所成的角； ∵PBC △是正三角形，∴30MBC ∠=︒； ∴AD 和BM 所成的角为30︒． 解法二：设P 在底面的射影为O ，由于P ABCD -为正四棱锥， 所以O 为底面正方形的中心；以O 点为原点，DA 方向为x 轴正方向，DC 方向为y 轴正方向，OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -； 由于四棱锥侧面都是边长为2的正三角形， ∴斜高3PH =，2PO =；∴(110)A -，，，(110)B ，，，(110)C -，，，(110)D --，，，()002P ，，；∴11222M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，(200)AD =-，，，31222BM ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，； ∴3cos 23AD BM AD BM AD BM⋅===⋅，； 经典精讲知识点睛Oz yxMPD BAH AB CDPM1第12讲·提高-尖子-目标·教师版∴向量AD 与向量BM 所成的角为30︒，即直线AD 和BM 所成的角为30︒． ⑵ 由⑴解法二得()112PD =---，，，33222AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，；∴5cos AM PD AM PD AM PD⋅==-⋅，； 而直线AM 和PD 所成角只能在0︒至90︒之间，∴直线AM 和PD 所成角的余弦值为5．【例4】如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的菱形，π4ABC ∠=，OA ⊥底面ABCD ，2OA =，M 为OA 的中点，N 为BC的中点．⑴ 证明：直线MN ∥平面OCD ；⑵ 求异面直线AB 与MD 所成角的大小； ⑶ 求点B 到平面OCD 的距离．【解析】 作AP CD ⊥于点P ，如图，分别以AB 、AP 、AO 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．()000A ，，，()100B ，，，220D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，()002O ，，，()001M ，，，200P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，2210C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，2210N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，． ⑴ 2211MN ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，202OP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，222OD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，． 设平面OCD 的法向量为()n x y z =，，， 则00n OP n OD ⋅=⋅=，， 即2202220z y z ⎧-=⎪⎨⎪-=⎪⎩，，取2z =解得(042n =，，．∵(22110420MN n ⎛⎫⋅=--⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，，，， ∴MN ∥平面OCD ． ⑵ 设AB 与MD 所成的角为θ，∵()221001AB MD ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭，，，，， ∴1cos 2AB MDAB MD θ⋅==⋅，∴π3θ=，即AB 与MD 所成角的大小为π3．PNM O D CB AxyzNM ODCBA24 第12讲·提高-尖子-目标·教师版⑶ 设点B 到平面OCD 的距离为d ，则d 为OB 在平面OCD 的法向量(042n =，，上的投影的绝对值；由()102OB =-，，，得23OB n d n⋅==， 所以点B 到平面OCD 的距离为23．目标班学案2【拓3】 如图，已知棱锥S ABCD -的底面是边长为4的正方形，S 在底面的射影O 落在正方形ABCD内，且O 到AB 、AD 的距离分别是2、1．⑴ 求证：AB SC ⋅是定值；⑵ 已知P 是SC 的中点，且3SO =，问在棱SA 上是否存在一点Q ，使异面直线OP 与BQ 所成的角为90︒？若不存在，说明原因；若存在，则求AQ 的长．O SPCD 解析图xyzOD ABCPS【解析】 ⑴ 以点O 为坐标原点，OS 所在的直线为z 轴，过点O 且与AD 平行的直线为x 轴，过点O 且与AB 平行的直线为y 轴，建立如图的空间直角坐标系． 设高OS h =，则由已知得()()()000210230O A B -，，，，，，，，，()()23000C S h -，，，，，，()()04023AB SC h ==--，，，，，，则()()0243012AB SC h ⋅=⨯-+⨯+⨯-=，即AB SC ⋅是定值．⑵ 在棱SA 上任取一点()000Q x y z ，，，使01AQ AS λλ=，≤≤．由已知得()3333003112222S P OP ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，()213AS =-，，． 由AQ AS λ=得()()00021213x y z λ-+=-，，，，， 从而022x λ=-，01y λ=-，03z λ=，()00023BQ x y z =--，，． 假设OP BQ ⊥，则0OP BQ ⋅=，即()()0003323022x y z --+-+=， ∴()()392400122λλλλ+-+=∈，，，∴34λ=． 故在棱SA 上存在点119244Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，使OP BQ ⊥．1第12讲·提高-尖子-目标·教师版此时()22233321314444AQ AS ==-++=．考点4：用空间向量求线面角设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为n ，则l 与α所成角θ满足： sin cos v nv n v nθ⋅=〈〉=，（π02θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，）；<教师备案> 用空间向量求角度时很多都不是直接求的角度本身的三角函数值，而是相关联的其它值，需要注意根据角度的范围定出所求角度的具体值．【例5】如图，已知点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，60PDA ∠=︒． ⑴ 求DP 与1CC 所成角的大小； ⑵ 求DP 与平面11AA D D 所成角的大小．【解析】 如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系D xyz -．则(100)DA =，，，1(001)CC =，，．连结BD ，11B D ． 在平面11BB D D 中，延长DP 交11B D 于H ． 设(1)(0)DH m m m =>，，， 由已知60DH DA 〈〉=︒，， 由cos DA DH DA DH DA DH ⋅=〈〉， 可得2221m m =+．解得2m =，所以221DH ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，． ⑴ 因为1220011222cos 12DH CC ⨯+⨯+⨯〈〉==⨯，， 所以145DH CC 〈〉=︒，． 即DP 与1CC 所成的角为45︒．⑵ 平面11AA D D 的一个法向量是(010)DC =，，． 因为220110122cos 212DH DC ⨯+⨯+⨯〈〉==⨯，， 所以60DH DC 〈〉=︒，． 可得DP 与平面11AA D D 所成的角为30︒．经典精讲知识点睛D 1C 1B 1A 1D C BAPP D 1C 1B 1A 1D CB AH x y z24 第12讲·提高-尖子-目标·教师版尖子班学案3【拓2】 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上的一点，且CP m =，⑴试确定m ，使得直线AP 与平面11BDD B 所成角的正切值为32 ⑵在线段11A C 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，1D Q 在平面1APD 上的射影垂直于AP ？并证明你的结论．【解析】 ⑴ 建立如图所示的空间直角坐标系，则()100A ，，，()110B ，，， ()01P m ，，，()010C ，，，()000D ，，，()1111B ，，，()1001D ，，，所以()110BD =--，，，()1001BB =，，，()11AP m =-，，，()110AC =-，，，又由0AC BD ⋅=，10AC BB ⋅=知AC 为平面11BB D D 的一个法向量，设AP 与平面11BB D D 所成的角为θ，则2πsin cos 222AP AC AP AC mθθ⋅⎛⎫=-==⎪⎝⎭⨯⨯+， ()223222132m =⨯++，解得13m =，故当13m =时，直线AP 与平面11BDD B 所成的角的正切值为32⑵若在11A C 上存在这样的点Q ，设此点的横坐标为x ，则()11Q x x -，，，()110D Q x x =-，，，依题意，对任意的m 要使1D Q 在平面1APD 上的射影垂直于AP ，等价于()1110102D Q AP AP D Q x x x ⊥⇔⋅=⇔-+-=⇔=，即Q 为11A C 的中点时，满足题设要求．目标班学案3【拓3】如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB BB =，D 为AC 的中点，1AC ⊥平面1A BD ．⑴ 求证：11B C ⊥平面11ABB A ；⑵ 设E 是1CC 的中点，试求出1A E 与平面1A BD 所成角的正弦值．E A 1B 1C 1ABCD【解析】 ⑴ 连接1AB ，∵1AB B B =，∴四边形11ABB A 为正方形，∴11A B AB ⊥．yz Q PD 1C 1B 1A 1DCBAz EC 1B 1A 1AB C D A 1B 1C 1D 11第12讲·提高-尖子-目标·教师版又∵1AC ⊥面1A BD ，∴11AC A B ⊥，∴1A B ⊥面11AB C ， ∴111A B B C ⊥．又111BB B C ⊥，∴11B C ⊥平面11ABB A ． ⑵ 在矩形11ACC A 中，由11AC A D ⊥可知11~A AD ACC △△，则11112CC CC AC AA AD AC==，故12AC AA =，从而AB BC =． 建立如图的空间直角坐标系，不妨设2AB =， 则()200A ，，，()1202A ，，，()1022C ，，，()021E ，，， 可得()1222AC =-，，，()1221A E =--，，． 由题意可知1AC 即为平面1A BD 的一个法向量， 设1A E 与平面1A BD 所成的角为θ， 则1111113sin cos 233AC A E AC A E AC A Eθ⋅====⨯⨯，．考点5：用空间向量求二面角设平面αβ，的法向量分别为12n n ，，则αβ，所成的二面角θ满足：121212cos cos n n n n n n θ⋅=〈〉=，（θ为平面α，β所生成的二面角，[]0πθ∈，）<教师备案> 利用空间向量求二面角的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．【例6】如图，在三棱锥P ABC -中，PA PB =，PA PB ⊥， AB BC ⊥，30BAC ∠=︒，平面PAB ⊥平面ABC ．⑴ 求证：PA ⊥平面PBC ；⑵ 求二面角P AC B --的余弦值；⑶ 求异面直线AB 和PC 所成角的余弦值．【追问】在线段PC 上有一点E ，PE PC λ=，求λ的值，使得二面角C AB E --的大小为60︒？【解析】 在平面PAB 中作PO AB ⊥于点O ，∵平面PAB ⊥平面ABC ，∴PO ⊥平面ABC ．过点O 作BC 的平行线，交AC 于点D ．经典精讲知识点睛PBA24 第12讲·提高-尖子-目标·教师版如图，以O 为原点，直线OD OB OP ，，分别为x 轴， y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设6PA PB ==．∵PA PB ⊥， ∴233AB PO BO AO ===． ∵30AB BC BAC ⊥∠=︒，， ∴tan302BC AB =⋅︒=．∴()000O ，，，()030A ，，()030B ，， ()230C ，，，(003P ，，，()100.D ，， ⑴ ∵(033PA =-，，()200BC =，，， ∴0PA BC ⋅=，∴PA BC ⊥． 又∵PA PB ⊥， ∴PA ⊥平面PBC ．⑵ 由⑴知，(003OP =，，为平面ABC 的一个法向量，设()n x y z =，，为平面PAC 的一个法向量，∵()2230AC =，，则3302230n PA y z n AC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y =得，31x z ==-，则()311n =--，，， ∴35cos 35n OP n OP n OP⋅-===⨯⨯，由图象知，二面角P AC B --为锐角，故二面角P AC B --5． ⑶ ∵()(0230233AB PC ==，，，，-，∴30cos AB PC AB PC AB PC⋅〈〉==，， ∴异面直线AB 和PC 30． 【追问】由PE PC λ=，可得点((2313E λλλ-，，，平面ABC 的法向量为()003OP =，， 可以算出平面ABE 的一个法向量为)()13102n λλ=--，，，于是11πcos 3OP n OP n ⋅=，解得13λ=（1-舍）．提高班学案3【拓1】如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动．AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为π4？PBOM DCxyz D 1C 1B 1A 11第12讲·提高-尖子-目标·教师版【解析】 以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设AE x =，则()1101A ，，，()1001D ，，，()10E x ，，，()100A ，，，()020C ，，．由题意可知1DD 为平面ECD 的一个法向量，设平面1D EC 的法向量为()n a b c =，，，∵()120CE x =-，，，()1021D C =-，，，()1001DD =，，， ∴()120020.0b c n D C a b x n CE ⎧-=⋅=⎧⎪⎪⇒⎨⎨+-=⎪⋅=⎪⎩⎩，令1b =，得2c =，2a x =-， ∴()212n x =-，，． 依题意()121π22cos425n DD n DD x ⋅===⋅-+ ∴123x =+，223x =-∴23AE =1D EC D --的大小为π4．【备选】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，13AC AA ==60ABC ∠=︒．⑴ 证明：1AB AC ⊥； ⑵ 求二面角1A ACB --的余弦值． 【解析】 方法一：⑴ ∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴1AB AA ⊥在ABC △中，1AB =，3AC ，60ABC ∠=︒， 由正弦定理得30ACB ∠=︒， ∴90BAC ∠=︒，即AB AC ⊥．∴AB ⊥平面11ACC A ，又1A C ⊂平面11ACC A ，∴1AB AC ⊥． ⑵ 如图，作1AD AC ⊥交1A C 于点D 点，连结BD ， 由三垂线定理知1BD AC ⊥∴ADB ∠为二面角1A ACB --的平面角． 在1Rt AAC △中，113366AA AC AD AC ⋅⋅== 在Rt BAD △中，6tan AB ADB AD ∠==∴15cos ADB ∠=， 即二面角1A ACB --15． 方法二：⑴∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴1AA AB ⊥，1AA AC ⊥．在ABC △，1AB =，3AC =，60ABC ∠=︒，由正弦定理得30ACB ∠=︒，∴90BAC ∠=︒，即AB AC ⊥． 如图，建立空间直角坐标系，则(000)A ，，，(100)B ，，，()030C ，，(1003A ，，DCBA C 1B 1A 1CB AC 1B 1A 1AB C DA 1B 1C 1D 1Ez y x24 第12讲·提高-尖子-目标·教师版∴(100)AB =，，，()1033AC =-，，∵()11003030AB AC ⋅=⨯+⨯+⨯-= ∴1AB AC ⊥． ⑵ 如图可取(100)m AB ==，，为平面1AAC 的法向量， 设平面1A BC 的法向量为()n x y z =，，，则0BC n ⋅=，10A C n ⋅=，又()130BC =-，，，∴30330x y y z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩∴3x y =，z y = 不妨取1y =，则()311n =，，()22222231101015cos 311100m n m n m n⋅⨯+⨯+⨯===⋅++⋅++，，结合图象知二面角1A ACB --为锐二面角， ∴二面角1A ACB --的余弦值为15．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为B 点，且12AB AC A B ===． ⑴ 分别求出1AA 与底面ABC 、棱BC 所成的角；⑵ 在棱11B C 上确定一点P ，使14AP =并求出二面角1P AB A --的平面角的余弦值．【解析】 ⑴ 因1A 在底面ABC 上的射影恰为B 点，则1A B ⊥底面ABC ．所以1A AB ∠就是1AA 与底面ABC 所成的角．因112AB A B A B AB ==⊥，，故1π4A AB ∠=，即1AA 与底面ABC 所成的角是π4．如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则()200C ，，，()020B ，，，()1022A ，，，()1042B ，，，()1222C ，，，()1022AA =，，，()11220BC B C ==-，，，则1111cos 288AA BC AA BC AA BC⋅===-⨯⋅，，故1AA 与棱BC 所成的角是π3．⑵ 设()111220B P B C λλλ==-，，，则()2422P λλ-，，． 于是()2214424142AP λλλ=+-+=（32λ=舍去），则P 为棱11B C 的中点，其坐yzxC B AC 1B 1A 1Pyx A B CC 1B 1A 1A 1B 1C 1CBA1第12讲·提高-尖子-目标·教师版标为()132P ，，． 设平面PAB 的法向量为()1n x y z =，，，则11032022000n AP x y z x z y y n AB ⎧⋅=++==-⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨==⋅=⎩⎩⎪⎩，，，， 不妨取1z =，得()1201n =-，，． 而平面1ABA 的法向量为()2100n =，，，则121212225cos 55n n n n n n ⋅-===-⋅，， 故二面角1P AB A --的平面角的余弦值是255．【演练1】⑴ 设空间四点O A B P ，，，满足OP mOA nOB =+，其中1m n +=，则（ ）A ．P AB ∈ B ．P AB ∉C ．点P 不一定在直线AB 上D ．以上都不对⑵ 已知a b ，是空间两个向量，若2a =，2b =，7a b -=，则cos a b =，＿ 【解析】 ⑴ A已知1m n +=，则1m n =-，()1OP n OA nOB OA nOA nOB =-+=-+()OP OA n OB OA ⇒-=-AP nAB ⇒=，0AB ≠∵，AP ∴和AB 共线，即点A P B ，，共线 ⑵18将7a b -=化为()27a b -=，求得12a b ⋅=，再由cos a b a b a b ⋅=，求得1cos 8a b =，【演练2】在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为棱1AA 和1BB 的中点，则异面直线CM 与1D N夹角的正弦值为（ ）A ．19B ．459C ．259D ．23 实战演练24 第12讲·提高-尖子-目标·教师版NMA 1B 1C 1D 1AB CD解析图：zyxA 1B 1C 1D 1ABC DMN【解析】 B设正方体棱长为2，以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系，可知()221CM =-，，，()1221D N =-，，， 1111cos 999CM D N CM D N CM D N⋅===-⨯⨯，，∴145sin CM D N =，【演练3】三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，90BAC ∠=︒，1A A ⊥平面ABC ，13A A =1122AB AC AC ===，D 为BC 中点．⑴ 证明：平面1A AD ⊥平面11BCC B ； ⑵ 求二面角1A CC B --的余弦值．【解析】 ⑴ 如图，建立空间直角坐标系，则()()()000200020A B C ，，，，，，，，， ((11003013A C ，，，，，．∵D 为BC 的中点，∴D 点坐标为()110，，． ∴()()()1110003220AD AA BC ===-，，，，，，，，， ∵()1212000AD BC ⋅=⨯-+⨯+⨯=， ()10202300AA BC ⋅=⨯-+⨯+=．∴1BC AD BC AA ⊥⊥，，又1AA AD A =，∴BC ⊥平面1A AD ，又BC ⊂平面11BCC B ，∴平面1A AD ⊥平面11BCC B ． ⑵ ∵AB ⊥平面11ACC A ，如图，可取()200m AB ==，，为平面11ACC A 的法向量， 设平面11BCC B 的法向量为()n x y z =，，，则0BC n ⋅=，10CC n ⋅=． ∵(1013CC =-，，，∴22030x y y z -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 可取1y =，则311n ⎛= ⎝⎭，，． DABCA 1B 1C 1z yA 1B 1C 1ABDC1第12讲·提高-尖子-目标·教师版222222321010213cos 3200113m n ⨯+⨯+〈〉==⎛⎫++⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭，． ∴二面角1A CC B --21．【演练4】如图，已知长方体1AC 中，112AB BC BB ===，，连接1B C ，过B 点作1B C 的垂线交1CC 于E ，交1B C 于F ．⑴ 求证：1AC ⊥平面EBD ； ⑵ 求点A 到平面11A B C 的距离；⑶ 求直线ED 与平面11A B C 所成角的正弦值．【解析】 如图建立空间直角坐标系．∵1B BC BCE ∆∆∽，故2112BC CE BB ==； ⑴ ()()1000002A A ，，，，，， ()()()100010110B D C ，，，，，，，，，1112E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，∴()111112011022AC BE DE ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，， ∵()111011202AC BE ⋅=⨯+⨯+-⨯=， ()111110202AC DE ⋅=⨯+⨯+-⨯=． ∴1A C BE ⊥，1A C DE ⊥，即1AC BE ⊥，1AC DE ⊥， ∵BEDE E =，所以1A C ⊥平面EBD ．⑵ 设平面11A B C 的一个法向量为()m x y z =，，由11(100)A B =，，，1(012)B C =-，，，而1110A B m B C m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴02x y z =⎧⎨=⎩，令1z =，得()021m =，，；而()1002AA =，，， ∴所求的距离为12555AA m d m⋅===⑶ 由⑵知，()021m =，，；而1102ED ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，， ∴设ED 与m 所成角为θ，则1cos 5m ED m EDθ⋅==-⋅所以直线ED 与平面11A B C 所成角的正弦值为15．【演练5】如图，已知长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1BC =，12AA =，棱1DD 上是否存在点P ，使平面1APC ⊥平面1ACC ，证明你的结论．A 1D 1B 1C 1A BCD E F F E D 1C 1B 1A 1D CBA x y z24 第12讲·提高-尖子-目标·教师版【解析】 如图建立空间直角坐标系，则()100A ，，，()120B ，，，()020C ，，，()1022C ，，，假设P 点存在，且DP a =，则∵平面1APC ⊥平面1ACC ，()00P a ，，， 法一：∴在平面1ACC 中作1CH AC ⊥，垂足为H 1A H C ∵，， 三点共线，∴()11CH CA CC λλ=+-()()()1201002λλ=-+-，，，， ()222λλλ=--，，，1CH AC ⊥∵，()()12221220CH AC λλλ⋅=--⋅-=∴，，，，， 49λ=∴，4810999CH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴，，，∵面1APC ⊥面1ACC ，1CH AC ⊥，CH ⊥∴面1APC CH AP ⇒⊥， ()4810100999CH AP a ⎛⎫⋅=-⋅-= ⎪⎝⎭∴，，，，，25a =∴，∴存在点2005P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，使面1APC ⊥面1ACC ．法二：()10,0,2CC =，()11,2,2AC =-，()1,0,AP a =-，设平面1ACC 的法向量为(),,m r s t =，平面1APC 的法向量为(),,n x y z =， 则1120220m CC t m AC r s t ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，10220n AP x az n AC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ 即可取()2,1,0m =，2,,12a n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以平面1ACC ⊥平面1APC ⇔0m n m n ⊥⇔⋅=，即2202a a -+=，解得25a =．∴存在点2005P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，使平面1APC ⊥平面1ACC ．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别为AD 、1AA 、11A B 中点， ⑴ 求B 到平面EFG 的距离；⑵ 求二面角1G EF D --的余弦值．大千世界ABC DA 1B 1C 1D 1P zyxHP D 1C 1B 1A 1D C B AD 1C 1B 1A 1DCBAE FG1第12讲·提高-尖子-目标·教师版【解析】 以A 为原点，AB 、AD 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的坐标系．则(010)E ，，，()200B ，，，(001)F ，，，(102)G ，，； 于是向量(011)FE =-，，，(101)FG =，，； 设面EFG 的法向量为()n x y z =，，，则0n FE n FG ⋅=⋅=， 即00y z x z -=⎧⎨+=⎩，于是可取(111)n =-，，； ⑴ (210)EB =-，，，设B 到面EFG 的距离为h ；则33n EB h n⋅===⑵ 平面11ADD A 的法向量可取成(100)m =，，；于是3cos 3m n m n m n⋅===， 由图象知二面角1G EF D --3G EA C D1B 1C D 1xy。
学而思寒假八年级尖子班讲义第1讲平行四边形性质、判定
1 平行四边形性质、判定目标1 掌握平行四边形的性质掌握平行四边形的性质目标2 掌握平行四边形的判定掌握平行四边形的判定目标3 应用平行四边形的性质、判定、三角形全等解决综合问题应用平行四边形的性质、判定、三角形全等解决综合问题【专题简介】【专题简介】与三角形一样，平行四边形也是一种基本的几何图形，宏观的建筑物、开关自如的栅拦门、别具一格的灵柩••••••现实世界中很多物体都有平行四边形的形象。
从本讲开始，我们将依次学习平行四边形、举行、菱形、正方形的概念，并在理解她们的基础上，利用已有的几何知识和方法，搜索并证明他们的性质定理和判定定理:进一步体会研究图形的几何性质的思路和方法，进一步体会研究图形的几何性质的思路和方法，即通过观、即通过观、即通过观、类比、类比、类比、特殊化等途径和方法发特殊化等途径和方法发现图形的几何性质，在通过逻辑推理证明他们现图形的几何性质，在通过逻辑推理证明他们模块一 平行四边形的性质 知识导航知识导航 定义定义示例剖析示例剖析平行四边形:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（如图）:平行四边形的表示：一般按照一定的方向依次表示各项点:如右图的平行四边形不能表示平行四边形ACBD ，也不能表示平行四边形ADBC叫做平行四边形四边形ABCD ÞþýüBC // AD CD // AB 记作□ABCD性质性质示例剖析示例剖析①平行四边形的对边平行；①平行四边形的对边平行；四边形ABCD 为平行四边形ÞAB ∥DC ， AD ∥ BC ．②平行四边形的对边相等：②平行四边形的对边相等：四边形ABCD 为平行四边形ÞAB ∥DC ， AD ∥ BC ．③平行四边形的对角相等③平行四边形的对角相等四边形ABCD 为平行四边形Þ∠A=∠C ，∠B=∠D④平行四边形的对角线互相平分④平行四边形的对角线互相平分四边形ABCD 为平行四边形ÞOA=OC ，OB=OD【例1】如图，D 为平行四边形ABCD 的对角线的交点：过O 点作直线EF 分别交CD 、AB 于点E 、F ． (1)求证：OE= OF ；(2)若AB =5，BC =4，OE= 1.5，求四边形EFBC 的周长。
学而思初中数学班型难易度排序
学而思初中数学班型难易度排序学而思是一家专注于K12教育的培训机构，提供了多种不同难易度的初中数学班型供学生选择。
对于初中生来说，数学是其中一门重要的学科，也是学生们普遍认为较难的科目之一。
因此，学而思根据学生的学习水平和能力，设计了不同难易度的数学班型，以满足学生的需求。
本文将对学而思初中数学班型的难易度进行排序并进行介绍。
一、提高班提高班是学而思初中数学班型中难度最高的一种。
提高班主要面向数学基础较好的学生，他们已经具备了一定的数学思维能力和解题技巧。
在提高班中，学生将学习到更加深入和复杂的数学知识，包括代数、几何、概率等高级数学概念和方法。
提高班通常会涉及到一些高中数学的内容，对学生的数学能力提出了更高的要求。
参加提高班的学生需要具备较强的数学基础和学习能力，才能够适应这个较高难度的班型。
二、进阶班进阶班是学而思初中数学班型中难度居中的一种。
进阶班主要面向数学基础一般的学生，他们对数学的理解和掌握程度还有一定的提升空间。
在进阶班中，学生将学习到相对深入和具体的数学知识，包括一些常见的代数、几何、概率等数学概念和方法。
进阶班的课程内容相对于提高班来说会相对简单一些，但对学生的数学能力和解题能力仍然提出了一定的要求。
参加进阶班的学生需要具备一定的数学基础，并能够在老师的指导下逐步提高自己的数学能力。
三、基础班基础班是学而思初中数学班型中难度最低的一种。
基础班主要面向数学基础较差的学生，他们对数学的理解和掌握程度较低。
在基础班中，学生将学习到最基础和最基本的数学知识，包括一些简单的数学概念和方法。
基础班的课程内容相对于提高班和进阶班来说会非常简单，主要是帮助学生建立起对数学的初步认识和兴趣，并逐步提高他们的数学能力和解题能力。
参加基础班的学生不需要具备太高的数学基础，只需要有一定的学习意愿和动力即可。
总结起来，学而思初中数学班型的难易度可以从高到低分为提高班、进阶班和基础班。
对于初中学生来说，根据自己的数学基础和学习能力选择适合自己的班型非常重要。
学而思初中数学课程规划
学而思初中数学课程规划初中数学的学习不同于小学小学是课内知识过于简单，课外的奥数较难，而且整个社会没有统一的教材，基本上都是各自研发，比如学而思的十二级体系。
而初中最终目标是中考，有明确的方向性，同时有统一规划的课本，知识体系非常完整。
因此整个初中的学习更适合在一个合理而科学的体系下学习，唯一不同就在于不同的孩子可以选择不同的进度和难度。
初中班型设置介绍初一年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛班，联赛班初二年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛班，联赛班初三年级：基础班，提高班，尖子班，目标班联赛班走联赛体系，一年半学完初中数学知识；竞赛班走竞赛体系，两年学完初中数学知识；基础班，提高班，尖子班走领先中考培优体系，两年半学完初中数学知识。
到初三不再设竞赛班和联赛班，统一回归到目标班，冲击中考。
下面就各个班型的定位和适合什么样的学生做一个对比说明：2015年学而思初中教学体系体系联赛体系竞赛体系领先中考培优体系班型定位数学超常发展冲击竞赛一等奖中考满分兼顾竞赛同步提高冲击中考满分学制设计一年半学完初中内容两年学完初中内容两年半学完初中内容课程容量每节课的课程容量与难度比竞赛班大1.2-1.5倍每节课的容量与难度比尖子班大1.5-1.8倍每节课的容量是校内课程的3-5倍难度比校内课程高1.5-2倍适合学生课内知识掌握非常扎实，发展方向为冲击初中数学联赛，希望在数学方面有独特发展，例如未来参加IMO或CMO比赛，高中数学联赛冲击一等奖。
课内知识学习轻松，在保证中考路径的同时兼顾拔高与竞赛。
未来目标为冲击中考满分，同时参加一些数学竞赛，激发兴趣，锻炼思维。
从课内知识上夯实基础、同步提高，同时拓宽视野，系统化学习，目标冲击中考满分入学体系10次课学完初一----预备班选拔考试----联赛竞赛预备班----参加入学选拔考试----通过后选择联赛体系---开始学习10次课学完初一----预备班选拔考试----联赛竞赛预备班----参加入学选拔考试----通过后选择竞赛体系---开始学习10次课学完初一----入学测试题----领先中考培优体系---开始学习班次安排联赛1班、联赛2班竞赛班基础班、提高班、尖子班，初三加开目标班学而思的初中数学有一套非常成熟的教学体系，既能满足我们的终极目标——中考，同时还能兼顾一些希望走竞赛路线的孩子。
最新3学而思-小升初第12讲-方程解应用题
小升初名校真题专项测试-----方程解应用题测试时间：15分钟 姓名_________ 测试成绩_________ 1、10名同学参加数学竞赛，前4名同学平均得分150分，后6名同学平均得分比10人的平均分少20分，这10名同学的平均分是________分. （06年清华附中入学测试题）【解】：设10人的平均分为a 分，这样后6名同学的平均分为a-20分，所以列方程：[ 10a-6×（a-20）]÷4=150解得：a=120。
2、某商店想进饼干和巧克力共444千克，后又调整了进货量，使饼干增加了20千克，巧克力减少5%，结果总数增加了7千克。
那么实际进饼干多少千克？ （02年人大附中入学测试题）【解】：设饼干为a ，则巧克力为444-a ，列方程：a+20+（444-a ）×（1+5%）-444=7解得：a=184。
3、某文具店用16000元购进4种练习本共6400本。
每本的单价是：甲种4元，乙种3元，丙种2元，丁种1．4元。
如果甲、丙两种本数相同，乙、丁两种本数也相同，那么丁种练习本共买了_________本。
（06年试验中学入学测试题）【解】：设甲、丙数目各为a ，那么乙、丁数目为226400a -，所以列方程 4a+3×226400a -+2a+1．4×226400a -=16000 解得：a=1200。
4、六年级某班学生中有161的学生年龄为13岁，有43的学生年龄为12岁，其余学生年龄为11岁，这个班学生的平均年龄是_________岁。
（03年圆明杯试题）【解】：因为是填空题，所以我们直接设这个班有16人，计算比较快。
所以题目变成了：1个学生年龄为13岁，有12个学生年龄为12岁，3个学生学生年龄为11岁，求平均年龄？(13×1+12×12+11×3)÷16＝11.875，即平均年龄为11.875岁。
学而思-朱韬+初二数学2021年秋季+讲义
学而思-朱韬+初二数学2021年秋季讲义一、引入感谢大家参加学而思-朱韬老师的初二数学课程，本讲义将为大家详细介绍2021年秋季的课程内容和教学安排，希望能够帮助同学们更好地学习数学知识，提高学习成绩。
二、课程介绍1. 课程名称：初二数学2021年秋季课程2. 授课老师：朱韬老师3. 课程目标：通过系统的学习，帮助学生掌握初二数学的基本知识和解题技巧，为日常学习和考试打下坚实的基础。
4. 教学内容：包括代数、几何、函数等多个模块，共分为十个单元。
三、教学安排1. 课程时间：每周三下午14:00-16:002. 上课方式：线下授课3. 课程安排：每个单元分为理论讲解和练习两部分，通过讲解巩固理论知识，然后进行实战练习，加深对知识点的理解和掌握。
四、教学方式1. 讲授：朱韬老师结合教材和题库，通过清晰的讲解和丰富的例题，帮助学生理解数学知识点的本质和应用方法。
2. 练习：课程安排大量的练习题，鼓励学生思考、独立解题，并逐步提高解题能力和速度。
3. 互动：课堂上鼓励同学们提问、讨论，老师会及时给予解答和指导。
五、课程特色1. 知识点全面：课程内容涵盖初二数学的各个模块，全面提高学生的数学素养。
2. 实战训练：通过大量的实战练习来加深对知识点的理解和记忆。
3. 解题技巧：老师将共享解题技巧和方法，帮助学生提高解题效率和准确度。
六、考核评价1. 平时作业：每个单元结束后，会布置相应的作业，以巩固所学知识。
2. 期中考试：进行期中考试，全面检验学生对前期知识的掌握情况。
3. 期末考试：结课前进行期末考试，成绩将作为学生学业水平的一项重要评价指标。
七、总结通过学而思-朱韬老师的初二数学2021年秋季课程，相信同学们将能够全面提高自己的数学水平，为未来的学业打下坚实的基础。
希望同学们能够认真对待学习，积极参与课堂讨论和练习，相信付出的努力一定会有所收获。
以上就是初二数学2021年秋季课程的讲义，希望能够对大家的学习有所帮助，祝愿同学们取得优异的成绩！八、教学资源1. 教学教材：本课程将以专业的初二数学教材为主线，兼顾相关辅助教材，保障学生的学习效果。
12.2三角形全等的判定教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角形全等判定相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。学生将使用模型或工具来演示全等三角形的基本原理。
（3）直角三角形全等的判定：HL（Hypotenuse-Leg）；
（4）通过实际操作，让学生体会全等三角形在实际生活中的应用，培养几何直观和空间想象能力。
二、核心素养目标
《12.2三角形全等的判定教案》
1.培养学生的逻辑推理能力：通过学习全等三角形的判定方法，让学生掌握严谨的逻辑推理过程，提高解决问题的能力。
五、教学反思
在本次教学活动中，我重点关注了学生对三角形全等判定方法的理解和应用。从整个教学过程来看，我发现以下几个方面值得反思：
1.学生对全等三角形定义的理解：在授课过程中，我发现部分学生对全等三角形的定义理解不够深刻。为了避免这种情况，我应该在讲解定义时，通过更多的实例和直观演示，让学生充分理解全等三角形的内涵。
4.学生小组讨论的引导：在小组讨论过程中，我发现部分学生参与度不高，依赖性强。为了提高学生的参与度和独立思考能力，我需要在讨论环节设计更具启发性和开放性的问题，激发学生的思考兴趣。
5.教学难点的把握：在本次教学中，我尝试通过举例和比较来突破难点。但从学生的掌握情况来看，效果并不理想。在今后的教学中，我需要更加关注学生的认知规律，采用更加生动、形象的教学方法，帮助学生克服难点。
6.教学评价的改进：在课后，我将对学生的课堂表现和作业完成情况进行评价。在评价过程中，我要关注学生的全面发展，既要关注知识的掌握，也要关注学生的思考过程和创新能力。
人教版八年级数学上册第十二章全等三角形章末复习课件共58张
章末复习
例3 如图12-Z-7, 在△ABC和△DEF中, 点B,E, C, F在同一直线上, 下面 有四个条件, 请你从中选三个作为题设, 余下的一个作为结论, 写出 一个正确的命题, 并加以证明. ①AB=DE；②AC=DF；③∠ABC=∠DEF；④BE=CF.
章末复习
分析
条件 结论 是否正确
章末复习
例2 如图12-Z-4, ∠B=∠C=90°, E是BC的中点, DE平分∠ADC. 求证：AD=AB+CD.
章末复习
分析
角平分线 的性质
作EF⊥AD
EC=EF
E是BC的中点
EF=EB Rt△AFE≌Rt△ABE
AF=AB
CD=DF
AD=AB+CD
同理
章末复习
证明：如图 12-Z-4, 过点 E 作 EF⊥AD 于点 F. ∵∠C=90°, DE 平分∠ADC, ∴EC=EF. ∵E 是 BC 的中点, ∴EC=EB, ∴EF=EB. 在 Rt△AFE 与 Rt△ABE 中, AE=AE, EF=EB, ∴Rt△AFE≌Rt△ABE,∴AF=AB. 同理可得 FD=CD, ∴AD=AF+FD=AB+CD.
全等三角 形的性质
应用
角的平 分线
全等三角形
章末复习
全等三 角形
角的平 分线
全等三角形
边边边(SSS)
一般三 角形
直角三 角形
性质
边角边(SAS) 角边角(ASA) 角角边(AAS)
角的平分线上 的点到角的两 边的距离相等
SSS, SAS, ASA, AAS
HL(只适用于判定两 个直角三角形全等)
∴△AOD≌△BOC(SAS)．
学而思八年级数学上1-10讲
第一节勾股定理专题第二讲二次根式乘除法第三讲二次根式专题第四讲二次根式专题 2第五讲二次根式测试题第六讲非负数的性质第七讲二元一次方程组第八讲二元一次方程组复习题第九讲二元一次方程组解应用题专项1 第十讲二元一次方程组应用题2【知识要点：】1.勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方， （即： 222c b a =+）。
2.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c += 那么这个三角形是直角三角形。
3.利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①．先找出最大边（如:c ） ②．计算2c 与22a b +，并验证是否相等。
若2c =22a b +，则△ABC 是直角三角形。
若2c ≠22a b +，则△ABC 不是直角三角形。
4.勾股数：（1）满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数．（2）勾股数中各数的相同的正整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数．（3）常见的勾股数有：①．3、4、5 ②．5、12、13； ③．8、15、17；④．7、24、25； ⑤．10、24、26； ⑥．9、40、41．5．直角三角形相关性质：（1）直角三角形中，如果两条直角边分别为a 、b,斜边为 c ，斜边上的高为h ，那么它们存在的关系：面积：ch ab s 2121==（即：c abh =.）周长：c b a l ++=（2）直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的 直角边等于斜边的一半；（反之，如果在直角三角形中有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°）（即：2:3:1::=AB AC BC ）（3）在等腰直角三角形中，斜边是等于直角边的2倍（等腰直角三角形斜边上的高正好是斜边的一半。
）（即：2:1:1::=AB BC AC ）【课堂练习题：】a bch ab=3a30°c=2aC ABCABBA不正确的是（）（A）222cba=+（B）222bac=-（C）22bca-=（D）222cba=-2.一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边的长为（）（A） 4 （B） 8 （C） 10 （D） 123.如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为1S、2S、3S，则1S、2S、3S的关系是（）（A）321SSS=+（B）232221SSS=+（C）321SSS>+（D）321SSS<+4.若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（）．（A）3cm2（B）32cm2（C）33cm2（D）4cm25.点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走最短路程是（）（A）40 cm （B）220 cm （C）20 cm （D）210 cm6.在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）（A）a=9 、b=41 、c=40 （B）a=11 、b=12 、c=15（C）a∶b∶c=3∶4∶5 （D） a=b=5 、c=257.在△ABC中，AB=12cm， BC=16cm， AC=20cm，则△ABC的面积是( )（A）96cm2 (B) 120cm2 (C) 160cm2 (D) 200cm28.锐角三角形的三边长分别是2、3、x，则x的取值范围是（）（A）5<x<13（B）13<x<5 （C）1<x<13（D）1<x<59.已知如图，水厂A和工厂B、C正好构成等边△ABC，现由水厂A和B、C两厂供水，要在A、B、C间铺设输水管道，有如下四种设计方案，（图中实线为铺设管道路线），•其中最合理的方案是（）10.如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x2-10的立方根为（）（A）2-10 （B） -2-10 （C） 8 （D） -12二＞填空题:●●AB(第5题图)架设了一条缆车线路到另一山峰C 处，若在A 处测得∠EAC=30°， 两山峰的底部BD 相距900米，则缆车线路AC 的长为____米．14.命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是： ，它是 （填入“真”或“假”）命题。
学而思初一数学春季班第12讲 全等三角形的认识.目标满分班 教师版
三角形4级全等三角形的认识三角形5级全等中的基本模型三角形6级特殊三角形之等腰三角形暑期班第五讲春季班第十三讲买玻璃漫画释义满分晋级阶梯12全等三角形的认识一、概念全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形． 对应顶点：完全重合时，互相重合的顶点为对应顶点． 对应角：完全重合时，互相重合的角为对应角． 对应边：完全重合时，互相重合的边为对应边．如图，若ABC △与A B C '''△全等，记作“ABC A B C '''△≌△”，其中顶点A 、B 、C 分别与顶点A '、B '、C '对应．注意：寻找全等三角形的对应角，对应边的一般规律是：⑴ 把其中一个图形通过旋转、翻转或平移，能与另一个图形完全重合，则重合的边就是对应边，重合的角就是对应角，表示两个三角形全等时，要把对应字母写在对应位置上.⑵ 有公共边时，则公共边为对应边；有公共角时，则公共角为对应角（对顶角为对应角）；最大边与最大边（最小边与最小边）为对应边；最大角与最大角（最小角与最小角）为对应角.思路导航知识互联网题型一：全等三角形的概念和性质C BA B'A'二、全等三角形的性质1. 全等三角形的对应边相等2. 全等三角形的对应角相等3. 全等三角形的周长相等，面积相等【引例】 如图，已知ABC ADE △≌△，且10CAD ∠=︒，25B ∠=︒，120EAB ∠=︒，求DFB ∠的度数.【解析】 ∵ABC ADE △≌△∴25D B ∠=∠=︒，DAE BAC ∠=∠又∵10120CAD EAB ∠=︒∠=︒，∴11()(12010)5522DAE BAC EAB CAD ∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒∴10552590DFB BAF B FAC CAB B ∠=∠+∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒【例1】 ⑴ 如果ABC DEF △≌△，则AB 的对应边是_______，AC 的对应边是_______ ，C ∠的对应角是_______ ，DEF ∠的对应角是__________．两个三角形的周长ABC C △_______DEF C △，两个三角形的面积ABC S △_______DEF S △（填“>”、“=”、“<”）．⑵ 如图所示，若ABC AEF △≌△，AB AE =，B E ∠=∠，则对应结论①AC AF =；②FAB EAB ∠=∠；③EF BC =； ④EAB FAC ∠=∠中 正确结论共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（东城区期末检测）⑶ 已知下图中的两个三角形全等，则α∠的度数是（ ）A.72°B.60°C.58°D.50°（实验中学期中）【解析】 ⑴DE ，DF ，F ∠，ABC ∠，=，=；⑵C ；⑶D.c ba 72°58°50°ca α典题精练例题精讲FEC B AF G EDCA全等三角形的判定方法：1. 如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SSS ．2. 如果两个三角形的两边及这两边的夹角对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SAS ．3. 如果两个三角形的两个角及这两个角的夹边对应相等，那么这两个三角形全等，简记为ASA ．4. 如果两个三角形的两个角及其中的一个角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等，简记为AAS ．5. 如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记为HL ．两个三角形中对应相等的边或角是否全等全等：√ 不全等：×公理或推论（简写）三条边√ SSS 两边一角 两边夹角√ SAS 两边与其中一边对角 × 两角一边两角和夹边 √ ASA 两角与其中一角对边 √ AAS 三角×特殊：直角三角形中，常用“HL ”．1. 全等三角形的判定（一）——SSS作图：已知ABC △，画一个A B C '''△，使A'B'AB A'C'AC B'C'BC ===，，． 并判断A B C '''△和ABC △是否全等．【点评】 学生版方框内需要填充.C BAC'B'A'思路导航题型二：全等三角形的判定【引例】 已知：如图，AB DE AC DF BE CF ===，，．求证：AC DF ∥．分析：要证AC DF ∥，需证ACB DFE ∠=∠，只要证__________≌___________．证明：∵BE CF =（ ）∴BE EC CF EC +=+（ ） 即BC =_____． 在ABC △和DEF △中，()()()__________________AB BC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴__________≌___________（ ）∴ACB DFE ∠=∠（ ）∴AC DF ∥（ ）【解析】 分析：只要证ABC DEF △≌△．证明：∵BE CF =（已知）∴BE EC CF EC +=+（等量加等量和相等） 即BC EF =．在ABC △和DEF △中， AB DEBC EFAC DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知） ∴ABC DEF △≌△（SSS ）．∴ACB DFE ∠=∠（全等三角形的对应角相等）．∴AC DF ∥（同位角相等，两直线平行）【点评】 此题非常基础，就是要给学生呈现一个标准的书写格式，每一步都要有利有据，老师们一定要给学生强调到位，突出证明过程的重要性.【例2】 如图，已知AB DC AC DB ==，．求证：12∠=∠．（东城区一模考试）【解析】 证明：在ABC △和DCB △中，AB DCAC DB BC BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ABC DCB △≌△． ∴A D ∠=∠．典题精练例题精讲FEDCBAA DBCO12又∵AOB DOC ∠=∠， ∴12∠=∠．【点评】 该模型为共边模型，是以后讲轴对称变换的基础，在这里老师们需给学生强调“公共边”的意义.2. 全等三角形的判定（二）——SAS作图：已知ABC △，画一个A B C '''△，使A'B'AB A'C'AC A'A ==∠=∠，，． 并判断A B C '''△和ABC △是否全等．【点评】 学生版方框内需要填充.【例3】 已知:如图，A 、F 、C 、D 四点在同一直线上，AF CD =，AB ∥DE ，且AB DE =．求证：⑴ABC DEF △≌△；⑵CBF FEC =∠∠．【解析】 ⑴ ∵AF CD =，∴AC DF =．又∵AB DE ∥， ∴EDA BAD =∠∠．在ABC △和DEF △中， AB DEEDA BAD AC DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，∴(SAS)ABC DEF △≌△．⑵ 在ABF △和DEC △中， AB DE EDA BAD AF DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，C BAEDA'B'C'典题精练思路导航ADF CBE∴ABF △≌DEC △(SAS )． ∴ABF DEC ∠=∠又∵由⑴知ABC DEF ∠=∠， ∴ABC ABF DEF DEC -=-∠∠∠∠， ∴CBF FEC =∠∠．3. 全等三角形的判定（三）——ASA &AAS作图：已知ABC △，画一个A B C '''△，使B'C'BC B'B C'C =∠=∠∠=∠，，． 并判断A B C '''△和ABC △是否全等．思考：若将C'C ∠=∠改成A'A ∠=∠呢？画出的A'B'C'△和ABC △全等吗？ 【点评】 学生版方框内需要填充.【例4】 如图，AB CD ，相交于点O ，OA OB =，E 、F 为CD 上两点，AE BF ∥，CE DF =．求证：AC BD ∥．【解析】 ∵AE BF ∥，∴AEO BFO ∠=∠在AEO △和BFO △中 AOE BOF AEO BFO OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(AAS)AEO BFO △≌△， ∴OE OF =∵CE DF =，∴OC OD = 在AOC △和BOD △中C BAED C'B'A'典题精练思路导航OF E DBAOA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)AOC BOD △≌△， ∴C D ∠=∠， ∴AC BD ∥4. 全等三角形的判定（四）——HL作图：已知Rt ABC △，画一个Rt A B C '''△，使B'C'BC A'B'AB ==，． 并判断A B C '''△和ABC △是否全等．【点评】 学生版方框内需要填充.【例5】 已知：如图，DE AC BF AC AD BC DE BF ⊥⊥==，，，．求证：AB DC ∥．【解析】 ∵DE AC BF AC ⊥⊥，，∴90AED CFB ∠=∠=︒， 在Rt ADE △和Rt CBF △中， AD BCDE BF =⎧⎨=⎩∴()Rt Rt HL ADE CBF △≌△， ∴DAE BCF ∠=∠， 在ACD △和CAB △中，C BAB'A'N C'M典题精练思路导航FEDCBAAD BC DAC BCA AC CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ACD CAB △≌△， ∴ACD CAB ∠=∠， ∴AB CD ∥.【例6】 ⑴ 小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块 ，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）A ．带①去B ．带②去C ．带③去D ．带①和②去（师大实验月测试题）⑵ 如图在ABD △和ACD △中，90C B ∠=∠=，要使ABD ACD △≌△，需增加的条件是． （写出其中一个答案即可）【解析】 ⑴ C ；⑵ AC AB =或CD BD =或CAD BAD ∠=∠或ADC ADB ∠=∠.【例7】 已知ABC △中，AB BC AC =≠，作与ABC △只有一条公共边，且与ABC △全等的三角形，这样的三角形一共能作出 个．【解析】 7【教师备选】为什么SSA 不能判定全等③②①DCBA 典题精练题型三：全等三角形判定的应用作图：已知线段a b ，和角α，求作ABC △，使得BC a AC b A α==∠=，，，这样的三角形有几个？训练1. 已知：如图，AC 与BD 交于O 点，AB DC ∥，AB DC =．⑴ 求证：AC 与BD 互相平分；⑵ 若过O 点作直线l ，分别交AB DC 、于E F 、两点， 求证：OE OF =．【解析】 ⑴ ∵AB DC ∥，∴A C ∠=∠，在AOB △和COD △中， A CAOB COD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS AOB COD △≌△， ∴AO CO BO DO ==，， 即AC 与BD 互相平分． ⑵由⑴可知AO CO =， 在AOE △和COF △中， AOE COF A C AO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS AOE COF △≌△， ∴OE OF =另：证明BOE DOF △≌△也可．训练2. 如右图所示，AB CD ∥，AC DB ∥，AB CD =，AD 与BC 交于O ，AE BC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ，那么图中全等的三角形有哪几对？ 并简单说明理由．【解析】 7对：AOB △≌DOC △；AOC △≌DOB △；AEO △≌DFO △；a bαAFEO D C BlOF EDCBA思维拓展训练（选讲）AEC △≌DFB △；ABC △≌DCB △；ABD △≌DCA △； AEB △≌CFD △．理由略．训练3. 请分别按给出的条件画ABC △（不写画法），并说明所作的三角形是否唯一；如果有不唯一的，想一想，为什么？⑴ 1202cm 4cm B AB AC ∠=︒==，，；⑵ 902cm 3cm B AB AC ∠=︒==，，； ⑶ 302cm 3cm B AB AC ∠=︒==，，； ⑷ 302cm 2cm B AB AC ∠=︒==，，； ⑸ 302cm 1cm B AB AC ∠=︒==，，； ⑹ 302cm 1.5cm B AB AC ∠=︒==，，； 【解析】 只有⑹所作的三角形不唯一．训练4. 我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等？⑴ 请你画图举例说明两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不全等； ⑵ 阅读与证明：对于两个三角形均为锐角三角形，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形 它们全等. 可证明如下：已知：ABC △、111A B C △均为锐角三角形，11AB A B =，11BC B C =，1C C ∠=∠．求证：111ABC A B C △≌△．（先把文字语言转化成符号语言）证明：分别过点B ，1B 作BD AC ⊥于D ，1111B D AC ⊥于1D ，则11190BDC B D C ∠=∠=︒， （如果需要添加辅助线，先说明辅助线做法）∵在BCD △和111B C D △中，11111190BDC B D C C C BC B C∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴111()BCD B C D AAS △≌△∴11BD B D =∵在ADB △和111A D B △中，111111190BD B D AB A B ADB A D B =⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴ 111()ADB A D B HL △≌△，∴ 1A A ∠=∠， ∵在ABC △和111A B C △中，1111A A C C BC B C∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ 111()ABC A B C AAS △≌△．对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等你们来试试吧！ ⑶归纳与叙述：由⑴、⑵可得到一个正确结论，请你写出这个结论．【解析】⑴；⑵略；⑶若ABC △、111A B C △均为锐角三角形或均为直角三角形或均为DCBAD 1C 1B 1A1钝角三角形，且11AB A B =，11BC B C =，1C C ∠=∠，则111ABC A B C △≌△．题型一 全等三角形的概念和性质 巩固练习【练习1】 ①判定两个三角形全等的方法是：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ；⑸ ；⑹ ．全等三角形的性质是对应边、对应角、周长、面积都分别 ． ② 两个三角形具备下列（ ）条件，则它们一定全等． A ．两边和其中一边的对角对应相等 B ．三个角对应相等C ．两角和一组对应边相等D ．两边及第三边上的高对应相等 ③ 下列命题错误的是（ ）A ．全等三角形对应边上的高相等B ．全等三角形对应边上的中线相等C ．全等三角形对应角的角平分线相等D ．有两边和一个角对应相等的两个三角形全等 【解析】 ①⑴定义，⑵SAS ，⑶ASA ，⑷AAS ，⑸SSS ，⑹HL ；相等．②C ；③D ．【练习2】 如图，在ABC △中，D E 、分别是边AC BC 、上的点，若ADB EDB EDC △≌△≌△，则C ∠的度数为______________．【解析】 30︒.题型二 全等三角形的判定 巩固练习【练习3】 已知，如图，AB AC =，CE AB ⊥，BF AC ⊥，求证：BF CE =． 【解析】 在BCE △和CBF △BEC CFBCBE BCF BC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩复习巩固EDCAFEA∴BCE CBF △≌△， BF CE =．另一方法：面积法．1122ABC S AB CE AC BF =⋅=⋅△，∵AB AC =，∴BF CE =．等腰三角形两腰上的高相等．【练习4】 如图所示，已知AC BC ⊥，AD BD ⊥，AD BC =，CE AB ⊥，DF AB ⊥，垂足分别为E 、F ，试证明CE DF =．【分析】 法一，根据题目中给出的条件，可以利用“HL ”证明ABC BAD △≌△，得到CAB DBA ∠=∠，然后再利用“AAS ”证明CAE DBF △≌△，即可得出CE DF =．法二，此题在证明了ABC BAD △≌△后，根据全等三角形的面积相等，即ABC BAD S S =△△，而这两个三角形又是同底的，可以得出高CE 等于高DF ．【解析】 法一：∵AC BC ⊥，AD BD ⊥，∴90ACB BDA ∠=∠=°． 在Rt ABC △和Rt BAD △中， ()AB BA BC AD =⎧⎨=⎩边，，公共 ∴Rt Rt (HL)ABC BAD △≌△， ∴AC BD =，CAB DBA ∠=∠（全等三角形的对应边、对应角相等）． ∵CE AB ⊥于点E ，DF AB ⊥于点F ， ∴90CEA DFB ∠=∠=°． 在CAE △和DBF △中， 90CEA DFB CAE DBF AC BD ∠=∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩°，，， ∴(AAS)CAE DBF △≌△，∴CE DF =（全等三角形的对应边相等）． 法二：∵AC BC ⊥，AD BD ⊥，∴90ACB BDA ∠=∠=°． 在Rt ABC △和Rt BAD △中， AB BA BC AD =⎧⎨=⎩，， ∴Rt Rt (HL)ABC BAD △≌△， ∴ABC BAD S S =△△．又∵AB AB =，CE AB ⊥，DF AB ⊥，FE DCBA∴CE DF =．【点评】 本题方法一通过两次直角三角形全等得到结论，其中第一次全等运用了“HL ”，第二次全等运用了“AAS ”，要注意区别．通过方法二我们可以知道有时灵活运用三角形面积相等也可证明两条线段相等．题型三 全等三角形判定的应用 巩固练习【练习5】 如图所示，ABC △中，D 、E 分别在AC 、AB 上，BD 与CE 交于点O ，给出下列四个条件：①EBO DCO ∠=∠；②BEO CDO ∠=∠；③BE CD =；④OB OC = 上述四个条件中，在不添加辅助线的情况下，哪两个条件可判定ABC △是等腰三角形(用序号写出所有情形) . 【解析】 ①③、①④、②③、②④.A BCDEO第十四种品格：信念当一块石头有了愿望一位名叫希瓦勒的乡村邮递员，每天徒步奔走在各个村庄之间。
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47初二秋季·第13讲·尖子班·学生版全等三角形是初中几何学习中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。
判断三角形全等的公理有SAS 、ASA 、AAS 、SSS 和HL （直角三角形），如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件，引出相应的辅助线然后再证明。
一、常见辅助线的作法有以下几种：1. 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对称”；2. 若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；3. 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对称”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；思路导航13名校期末试题点拨——几何部分题型一：全等三角形与轴对称484. 过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；5. 截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。
这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
二、常见模型1.最值问题：“将军饮马”模型；2. 全等三角形经典模型：三垂直模型、手拉手模型、半角模型以及双垂模型等。
三、尺规作图部分地区会考察尺规作图，难点在于构造轴对称图形解决几何问题。
【例1】 ⑴如下左图，把△ABC 沿EF 对折，叠合后的图形如图所示．若∠A =60°，∠1=95°，则∠2的度数为（ ）A ．24°B ．25°C ．30°D ．35°⑵长为20，宽为a 的矩形纸片（10＜a ＜20），如上右图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作停止．当n =3时，a 的值为 ．【例2】 ⑴如图所示，在长方形ABCD 称轴l 上找点P ，使得△P AB 、典题精练21C'B'FE CBA 第二次操作第一次操作l DCBA49初二秋季·第13讲·尖子班·学生版△PBC 均为等腰三角形，则满足条件的点P 有（ ）． A ．1个 B ．3个 C ．5个 D ．6个⑵改为：在长方形ABCD ()2AB BC AB BC >≠且的对称轴上找点P ，使得△P AB 、△PBC 均为等腰三角形，则满足条件的点P 有 个⑵已知，横线和竖线相交的点叫做格点，P 、A 、B 为格点上的点，A 、B 的位置如图所示，若此三点能够构成等腰三角形，P 点有 种不同的位置？ 【解析】12种，如下图所示：【例3】 ⑴ 如图1，在等边三角形ABC 中，AB =2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP +PE 的值最小；⑵ 如图2，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，在AC 上找一点P ，使PB +PE 的值最小；⑶ 如图3，⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB ，∠AOC =60°，P 是OB 上一动点，求P A +PC 的最小值；⑷ 如图4，在四边形ABCD 的对角线AC 上找一点P ，使∠APB =∠APD ．保留作图痕迹，不必写出作法．图4图3图2图1P DCAOP C BAP E D CB AP E D CBA50【例4】 如图，AD=BC ，DF=CA ，∠C =∠D ，AD 交BC 于点H ，AE ⊥BC 于点E ，点F 在BC上．⑴ 若AN 是△AEC 的角平分线，求证：::AEN ACN S S AE AC △△；⑵ 当∠B=∠BAD +12°时，求∠B 的度数.NNMN ABCDEFHABCEFH H FED CBA【例5】如图1，在ABC∠=∠，BAC∠的平分线ACB B△中，2AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l AO⊥于H，分别交直线AB AC BC、、于点、、.N E M⑴当直线l经过点C时（如图2），证明：BN CD=；⑵当M是BC的中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；⑶请直接写出BN CE CD、、之间的等量关系.初二秋季·第13讲·尖子班·学生版5152一、直角三角形的性质 1. 直角三角形的两个锐角互余；2. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；3. 直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，即ab =c h ；4. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即222c b a =+；5. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半（或含30°的直角三角形三边之比为1：3：2）；6. 含45°角的直角三角形三边之比为1：1：2． 二、直角三角形的判定1. 有一个角为90°的三角形是直角三角形；2. 两个锐角互余的三角形是直角三角形；3. 勾股定理的逆定理：在以a 、b 、c 为边的三角形中，若222c b a =+，则这个三角形是以c 为斜边的直角三角形； 思路导航题型二：直角三角形与勾股定理53初二秋季·第13讲·尖子班·学生版4. 一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．【例6】 在给定的图形内作一条折线AB 1C 1D 1E ，使AB 1⊥AB ，B 1C 1⊥BC ，C 1D 1⊥CD ，D 1E ⊥DE ，且A ，B ，C ，D ，E ，B 1，C 1，D 1都是格点．EDCBA【例7】 如图，AC =AB ，DC =DB ，∠CAB =60°，∠CDB =120°，E 是AC 上一点，F 是AB 延长线上一点，且CE =BF ．图1C AEG BFD图2DABCE 思考验证：⑴求证：DE =DF ；⑵在图1中，若G 在AB 上且∠EDG =60°，试猜想CE 、EG 、BG 之间的数量关系并证明； 探究应用：⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，∠ABC =90°，∠CAB =∠CAD =30°，E 在AB 上，DE ⊥AB ，且∠DCE =60°，若AE =3，求BE 的长．典题精练【例85455初二秋季·第13讲·尖子班·学生版NMDC BA训练1. ⑴如图所示，EFGH 是一个台球桌面，有黑白两球分别置于A B 、两点的位置上，试问怎样撞击黑球A ，经桌面HE EF 、连续反弹后，准确击中白球B ？（写出作法并画图）HGF EAB⑵如图，在锐角△ABC 中，4245AB BAC =∠=，°，BAC ∠的平分线交BC于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是___________．训练2. 如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°. 将△ABC 绕点C 逆时针旋转α角，得到△A 1B 1C ，连结BB 1，设B 1C 交AB 于D ，A 1B 1分别交AB 、AC 于E 、F .⑴ 当090︒<α<︒时，如图1，请在不添加任何线段的情况下，找出一对全等三角形，并加以证明（△ABC ≌△A 1B 1C 除外）；⑵ 在⑴的条件下，当△BB 1D 是等腰三角形时，求α；⑶ 当90180︒<α<︒时，如图2，求证：△A 1CF ≌△BCD .图2图1ABCA 1B 1E F DDFEB 1A 1CBA训练3. 已知如图，AB=AC ，PB=PC ，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E .思维拓展训练(选讲)56PEDC B A AB C DEP⑴ 求证：PD=PE ；⑵ 若BP AB =，o 45=∠DBP ,2=AP ,求四边形ADPE 的面积.训练4. ⑴如图，等腰直角三角形ABC 分别沿着某条直线对称得到图形b 、c 、d ．若上述对称关系保持不变．平移ABC ∆，使得四个图形能够拼成一个重叠且无缝隙的正方形，此时点C 的坐标和正方形的边长为（ ）A ．11222⎛⎫- ⎪⎝⎭，， B ．(11)2-，，C．(11)-， D．1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，⑵如图，△ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝120°，AB 的垂直平分线交DC 间的数量关系，并证明.57初二秋季·第13讲·尖子班·学生版【练习1】 ⑴如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M ，N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使点A 落在MN 上，落点记为A '，折痕交AD 于点E ．若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点， 则A N '=_________；若M 、N 分别是AD 、BC 边上距DC 最近的n 等 分点（2n ≥，且n 为整数），则A N '=_________（用含有n 的式子表示） ⑵如图，D 为ABC △内一点，CD 平分ACB ∠， BD CD ⊥，A ABD ∠=∠， 若5AC =，3BC =，则BD 的长为（ ） A ．1 B ．1.5 C ．2 D ．2.5【练习2】 如图，ABC △是等腰三角形，AB AC =，AD 是角平分线，以AC 为边向外作等边三角形ACE ，BE 分别与AD 、AC 交于点F 、点G ，连接CF ．⑴ 求证：FBD FCD ∠=∠；⑵ 若1FD =，求线段BF 的长．复习巩固DCB AG F EDCB A第十五种品格：创新创新的力量20世纪40年代，美国有许多制糖公司向南美洲出口方糖，因方糖在海运中会有受潮现象，这给公司带来巨大损失。
公司花了不少钱请专家研究，但始始终未解决这个问题。
后来，有一位名叫科鲁索的制糖工人，想出一个简单的防潮方法：只要在包装纸上开一个小孔，使空气能够对流，方块糖就不会受潮了。
其原理其实就像是大厅里开个排气孔和人们穿留有适当孔隙材质的衣服比较舒适一样。
它虽然十分简单，但不容易被人想到。
科鲁索把自己的“打孔”发明申请了专利，后来，一家制糖公司得知后，出价100万美元买下了这个专利的使用权。