暂态电路(多储能元件)

is
R
iC +
C
uC -
求： is (t)为单位冲激时电路响应 uC(t)和 iC (t)
先求单位阶跃响应 令 is (t)= (t)
在换路瞬间电容上的电 压不能突变，否则电流
i C duC
。
dt
i
R2
uc2
一般电路中不能提供无穷大的电流，所以换路定理
是对的。而在该电路中，换路瞬间两电容将电源直接 短路，若将电源视为理想的，电路中将会有无穷大的 电流冲击。因此，换路定理在此不能用。
该电路求初始值 的依据有两条：
（1）KVL
uC1 0 uC2 0 U
(t=0) K
R1
+ C1
u U
-
c1 C2
i
R2
uc2
C1 C2
R2 R1
R1
//
R2 C1
// C2
R1R2 R1 R2
C1
C2
（3）初始值：
假设C1、C2两电容换 路前均未充电。即：
(t=0) K
R1
+ C1
u U
-
c1 C2
uC1 (0 ) uC 2 (0 ) 0 V
i
R2
uc2
90
KR
+_ut = 0 C
uC
tg 1( X C )
R
u'C
X CU R2
m
X
2 C
s
in[t
c
]
其中：C u 90
自由分量（瞬态解） : u"C
kR
齐次方程的通解
RC
duc dt
uc
0
u
+ t=0 _
C
uC
u"C
Ae
t
其中 RC
全解：
uC (t ) u'C u"C
补充： 含有多个储能元件的一阶电路
一般情况下，电路中若包含多个储能元件，所列
微分方程不是一阶的，属高阶过渡过程。这种电路 不能简单用三要素法求解。如：
L
+
iC
_U
R
uR uL uC U
i C duC
dt
uL
L
di dt
L
d dt
(C
duC dt
)
LC
d 2uC dt 2
LC
d 2uC dt 2
+u
C
_
已知：换路前 uC (0 ) 0
uC
t=0时 K 闭合
u Um sint u
换路后方程:
RC
duc dt
uC
Um
sin(t
u )
求一阶微分方程的解：
uC u'C u"C
强制分量（稳态解）: u'C
U C
jX C R jX C
U
(U Uu )
UC
XC R2
X
2 C
U u
C （C2 C3） C1 C2 C3 C1
二、 初始值不独立的一阶电路
有的时候，多个储能元件虽不能通过串并联关系 等效成一个储能元件，但所列方程仍是一阶的，所 以仍是一阶电路。如：
(t=0) K
R1
+ C1
u U
-
C1 C2
i
R2
uC 2
证明
(t=0) K
R1
+ C1
u U
-
c1 C2
i
R2
RC
duC dt
uC
U
有些情况，电路中虽然含有多个储能元件，但仍是一阶电 路，仍可用三要素法求解。本节主要讨论这种电路。
一、 多个储能元件可串并联的一阶电路
含有多个储能元件的电路，其中储能元件若能 通过串并联关系用一个等效，则该电路仍为一阶电路 。如：
+
C1
+
U
_
C2
C3
U
_
C
该电路求解方法 仍可用三要素法
§3.8 一阶电路的冲激响应
单位冲激响应：单位冲激激励在电路中产生的零状态响应
(t)
h(t)
零状态
一. 由单位阶跃响应求单位冲激响应
单位阶跃
(t)
单位阶跃响应 s(t)
单位冲激
(t)
单位冲激响应 h(t)
(t) d (t)
dt h(t) d s(t)
dt
例1
已知： uc (0 ) 0
uc2
i
uC1 R1
C1
duC1 dt
uC 2 R2
C2
du2 dt
(1)
uc1 uc2 U (2)
i
uC1 R1
C1
duC1 dt
uC 2 R2
C2
du2 dt
(1)
uc1 uc2 U
(2)
将(2)代入(1)得:
uC 1 R1
C1
duC 1 dt
U
uC 1 R2
R1
C1
U
R2
C2
R1
C1
R2
C2
该电路是 一阶电路
R
C
C1 R1 R2
C2
求以下电路的过渡过程 uC2 (t) ?
(t=0) K
R1
+ C1
u U
-
c1 C2
i
R2
uc2
因为该电路是一阶
电路，所以过渡过 程可以用“三要素 ”法求解。
（1）稳态值：
uC 2
R2 U R1 R2
（2） 时间常数：
C2
duC 1 dt
整理后得:
(C1
C2 )
duC1 dt
( 1 R1
1 )
R2
uC1
百度文库
U R2
此方程为一阶微分方程，所以该电路是一阶电路。
判断含多个储能元件的电路,是否为一阶电路的方法:
去除电路中的独立源（电压源短路、电流源开路）， 然后判断电路中的储能元件能否等效为一个。若能， 则为一阶电路; 反之不是一阶电路。如：
若根据换路定理，t > 0+时应有：
uC1(0 ) uC2 (0 ) 0
根据KVL应有：
uC1(0 ) uC2 (0 ) U
两式矛盾， 换路定理在
此不能用 !
该电路不能用换路定理
(t=0) K
R1
的原因，在于此电路的 特殊性和换路定理的局 限性。
换路定理的依据是，
+ C1
u U
-
c1 C2
XCUm
R2
X
2 C
sint
C
Ae t /
根据起始条件确定 A：
uC (0 )
X CU R2
m
C
2
s
inC
A
A uC 0 UcmsinC
C u 90
全解：
Ucm
XCUm
R2
X
2 C
uC (t) u'C u"C
Ucmsint C [uC 0 Ucm sinC ]et/
三要素：
uC2 0
C1 U C1 C2
uC2
R2 R1 R2
U
R1R2 R1 R2
C1
C2
过渡过程方程：
(t=0) K
R1
+ C1
u U
-
c1 C2
i
R2
uc2
uC 2 (t)
R2 R1 R2
U
C
C1 1 C
2
R2 R1 R2
Ue
t
/
补充：正弦激励下一阶电路的过渡过程
问题的提出：
大量的用电场合，激励信号是正弦交流 电。那么，在交流电激励情况下，换路 瞬间电路中会出现过渡过程吗？
交流电激励下电路的过渡过程
k
R
t=0
+u
C
_
u
t
uC
u
u Um sint u
假设t=0时，K闭合。换路前 uC (0 ) 0 。 uC 经过一定时间后才能进入新稳态，即存
在过渡过程。
k
R
t=0
(t=0) K
R1
+ C1
u U
-
c1 C2
i
R2
uc2
（2）换路瞬间，电容电荷守恒。即：
C1uC1 0 C2uC2 0 C1uC1 0 C2uC2 0
Q(0+) （1）、（2）联立可得：
Q(0-)
uC1 0
C2 U C1 C2
uC 2 0
C1 U C1 C2