考研数学第十专题讲座--含参积分的考点与计算方法

x ®0
ò ( ) f ( x, y ) dy 在 [ a, b] 上连续。
a x
b ( x)
ò
1+ x
x 2
dx 。 1 + x2 + y 2
〖解〗 f ( x, y ) = 续。
1 1+ x + y2
2
在 R 上连续，a ( x ) = x 和 b ( x ) = 1 + x 在 R 上连续，故 F ( x ) 在 R 上连
0
t
t-x
0
dy = t 2
把基准直线平移到该区域任意位置， 得直线 x + y = t ， 该直线与 x 轴的交点在区域 D0 外， ( 3) 1 < t £ 2 ， 不可作为积分限，但该直线与 y = 1 交于 ( t - 1, 1) ，为于是
F (t ) =
{ x + y £t}Ç{D0 }
òò
ò
x2
x
e - xy dy y
2
ò
x2
x
x2 e - xy e- x×x e - x× x dy Þ F¢ ( x ) = ò -e - xy dy + 2 × 2 x x y x x
3 2 3 2 3 2
1 2e - x e - x 1 - x 3 1 - x 2 2e - x e - x 3e- x 2e - x y = x2 = e - xy | y + = e e + = 。 =x x x x x x x x x x
1.3 引进辅助参数或构造二重积分 【例】求 I =
p 2 0
ò
ln (1 + sin 2 x )dx 。
p 2 0
〖解〗 I ( a ) =
ò
ln ( cos 2 x + a 2 sin 2 x )dx Þ I (1) = 0 ， a > 1 Þ
I ¢(a) = ò 2
p 2a sin 2 x 2a tan 2 x tan x =t 2 dx = ® ò0 1 + a 2 tan 2 xdx ¾¾¾ 0 cos 2 x + a 2 sin 2 x +¥ +¥ t2 1 t 2 + 1-1 = 2a ò × dt = 2 a ò0 (1 + at 2 )(1 + t 2 ) × dt 0 1 + at 2 1 + t 2
arctan x ，故把原积分转化为二重积分来计算： x dy = ò dy ò
0 1 1 2 0
ÞI =ò = ò dy ò
0 1
1
dx 1- x
2
0
ò 1+ x
0
1
y
2
(1 + x y )
2
1
1- x
2
x =sin q dx ¾¾¾ ®
p 2 0 p 2 0
p 1 cos q dq d tan q = ò dy ò 2 2 2 0 0 sec 2 q + y 2 tan 2 q (1 + y sin q ) cosq
2
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Þ F (t ) = Þ F ¢(t ) =
u 2 + v 2 £1
òò ( u + t ) + ( v + t ) dudv
2 2
u 2 + v 2 £1
òò
u +t +v+t
(u + t ) + ( v + t )
〖解〗分段函数的含参数积分。采用平移法决定参数的取值范围是作者的精妙秘诀。
平移法的思想是：先画出 D0 的区域图，再令 x + y = 0 为基准直线，然后把该基准直线分别平
移到 D0 的全部边界点上，如本题，把基准直线 x + y = 0 平移到边界点 x = 1 ，得分界直线 x + y = 1 ， 数 t 的三个分段点 t = 0, 1, 2 ，所以有 再把基准直线 x + y = 0 平移到边界点 ( x = 1, y = 1) ，得分界直线 x + y = 2 ，于是得出所求积分关于参
1 d tan q 1 = ò 2 2 0 1 + (1 + y ) tan q 1+ y2
= ò dy ò
0 1
1
éarctan ê ë
(
1 + y tan q ù dy ú û0
2
)
p 2
=ò
0
p 2 dy = p ln y + 1 + y 2 |1 = p ln 0 2 2 1+ y2
(
)
(
2 +1
2
2
dudv =
( x -t )2 +( y -t )2 £1
òò
x+ y x2 + y2
dxdy
【例】设函数 f ( x, y ) = í
ì ï2 ï î0
( x, y ) Î D0 ， ( x, y ) Ï D0
ì ï x Î [ 0, 1] D0 = í ，求 F ( t ) = òò f ( x, y )dxdy 。 y Î 0, 1 [ ] ï x + y £t î
0 0
1
1
3
1 dx dx p = = arctan y |1 。 0= 2 2 2 ò 0 1+ 0 + y 1+ y 4
1
连续函数的极限可以直接代入，故 F ( x ) = 【例】 F ( x ) = lim
x ®0
ò
1+ 0
0
ò
1
-1
(
x 2 + y 2 + y 2 cos ( xy ) dy = ò
)
0
(1) ( 2)
t£0
f ( x, y ) = 0 Þ F ( t ) = 0
F (t ) =
0 < t £ 1 ，把基准直线平移到该区域任意位置，得直线 x + y = t ，该直线与 x 轴的交点为 t ，于是
{ x + y £t}Ç{D0 }
òò
f ( x, y )dxdy = 2ò dx ò
)
二、 含参二重积分的积分方法
分为两类：连续型和分段型。 【例】设 F ( t ) =
( x -t )2 + ( y -t )2 £1
òò
x 2 + y 2 dxdy ，求 F ¢ ( t ) 。
〖解〗连续函数的含参积分。利用区间变换将参量 t 转移到被积函数中，令 x - t = u;
y -t = v
p
1
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= 2a ò
+¥
ຫໍສະໝຸດ Baidu
0
1 dt - 2a ò 0 1 + at 2
+¥
(1 + a t )(1 + t )
2 2 2
1
令 u =t 进行极点展开 dt ¾¾¾¾¾¾¾ ®
2
æ 1 ö ç 1 1 ÷ 3 ç 1- 2 ÷ +¥ +¥ +¥ 1 1 2a +¥ 1 a + 1 - a 2 ÷dt = 2a +¥ 1 dt - 2a ç = 2a ò dt 2 a dt + dt 2 2 2 2 2 2 2 ò0 ç 1 + a t 1 + t ÷ ò0 1 + at 0 1 + at a - 1 ò0 1 + at a 2 - 1 ò0 1 + t 2 ç ÷ ç ÷ è ø -2a +¥ 1 2a +¥ 1 -2 a 1 2a +¥ +¥ = 2 dt + 2 dt = 2 × arctan at |0 + 2 arctan t |0 2 2 2 ò ò 0 0 a -1 1+ a t a -1 1+ t a -1 a a -1 = -2 p 2a p p 1 - a p × + 2 × = × = 2 a -1 2 a -1 2 2 a -1 a + 1 a p a +1 a I = f ( a ) - f (1) = ò dx = p ln ( x + 1) |1 = p ln 1 x +1 2
f ( x, y )dxdy = 2ò dy ò dx + 2ò dx ò
0 0 t -1
1
t -1
1
t-x
0
dy = 2 ( t - 1) + 2ò
1
t -1
( t - x ) dx = -t 2 + 4t - 2
( 4)
t > 2 ， F (t ) =
{x + y £t}Ç{D0 }
òò
f ( x, y )dxdy = 2ò dx ò dy = 2
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含参积分的考点与计算方法
一、含参一元积分的积分方法
含参一元积分的理论参阅同济六版 P176 第 5 节内容。 教材上内容主要要求掌握三点， 一是利用连续性 定理求极限，二是含参积分的求导公式，三是引进辅助参数或构造二重积分。 1.1 连续性定理求极限 定 理：如果函数 f ( x, y ) 在矩形区域 R = [ a, b ] ´ [ c, d ] 上连续，函数 a ( x ) 和 b ( x ) 在 [ a, b ] 上连续， 其中 x Î [ a, b ] ， a ( x ) , b ( x ) Î [ c, d ] ，则 F ( x ) = 【例】求极限函数 F ( x ) = lim
F¢ ( x ) = ò
b ( x)
a ( x)
fx
ò ( ) f ( x, y ) dy 在 [ a, b] 上可微，且 ( x, y ) dy + f ( x, b ( x ) ) b ¢ ( x ) - f ( x, a ( x ) ) a ¢ ( x )
a x
b ( x)
【例】设 x > 0 ，求 F ( x ) = 〖解〗 F ( x ) =
p 2 0
2
Þ I = ò ln (1 + sin x )dx = ò ln ( cos 2 x + 2sin 2 x )dx = I
【例】求积分 I =
1
p 2 0
( 2 ) = p ln
2 +1 。 2
ò
1
1
arctan x x 1 - x2
0
dx 。
〖解〗因为
ò 1+ x
0
2
y
2
dy = 1
2
( y + y )dy = ò
2
0
-1
- ydy + ò ydy + ò y 2 dy =
0 0
1
1
5 。 3
1.2 含参积分的求导公式 定 理： 如果函数 f ( x, y ) 和 f x ( x, y ) 在矩形区域 R = [ a, b ] ´ [ c, d ] 上连续， 函数 a ( x ) 和 b ( x ) 在 [ a, b ] 上可微，其中 x Î [ a, b ] ， a ( x ) , b ( x ) Î [ c, d ] ，则 F ( x ) =