《代数式》整式及其加减PPT课件4
合集下载
新北师大版七年级数学上册第三章《整式及其加减》全章各课时课件
探 索 新 知
11 1
16 4
21 9
26 16
31 25
36 36
41 49
46 64
(3) 如果这两个代数式分别表示甲乙两家公司给一个 打工者所发的总工资(n代表他上班的总天数)，你将选择 在哪家公司打工？
巩 固 练 习
归 纳 小 结
谈谈你的收获.
作业
课本第85页，习题3.3，知识技能，
人民币a元，平均每件文具折合人民币b元.则
（1）两个班捐献的衣物和文具共相当于人民币
情 境 导 入
多少元？
(12a 24b) (14a 18b) (12a 24b) - (14a 18b)
（2）哪个班捐献的衣物和文具所值人民币更多？
第 三 章 整 式 及 其 加 减
我们刚才得到的两个式子含有哪些单项式？ 你能发现他们有何共同点吗？
16
2、列代数式解决下列问题.
（2）如图，一个十字形花坛铺满了草皮，这个
花坛草地面积是多少？
复 习 导 入
ab 4c
2
2、列代数式解决下列问题.
复 习 导 入
（3）当水结冰时，其体积大约会比原来增加 10 3 1/9 ，x m 的水结成冰后体积是多少？ x m3 9 （4）如图，一个长方体的箱子紧靠墙角，它的 长、宽、高分别是a，b，c. 这个箱子露在外面 ab ac bc 的表面积是多少？
探 索 新 知
怎样区分一个代数式是否是整式？
分母中是否含有字母.
探 索 新 知
ab
8
b
2
ab
32
b2
例 题 讲 解
ab ， 4 x，a， 0， 2r 5 x y 1 ， ab 2c，x 2 xy y 2，xyz 1，x 2 y 5，a b 2 3
《代数式》整式及其加减PPT课件 (共12张PPT)
§3.2
代数式
教学目标：
• 知识目标：加深对代数式的理解，使学生 能够用代数式表达简单的数量关系的语句。 • 能力目标：通过列代数式，培养学生抽象 思维能力。 • 情感目标：通过独立思考和小组讨论、师 生交流、培养学生的自主意识与合作精神， 树立创新意识，激发学生应用数学的热情。
一、问题情境
1、书写代数式要注意什么？
课后作业
1、 P93习题6、7题
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。 2、从善如登，从恶如崩。 3、现在决定未来，知识改变命运。 4、当你能梦的时候就不要放弃梦。 5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。 6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。 7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。 8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。 9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。 10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。 11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 13、人生最大的错误是不断担心会犯错。 14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。 16、心态决定命运，自信走向成功。 17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 18、励志照亮人生，创业改变命运。 19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。 20、当你能飞的时候就不要放弃飞。 21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。 22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。 23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。 24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。 25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。 26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。 27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。 28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。 29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。 30、经验是由痛苦中粹取出来的。 31、绳锯木断，水滴石穿。 32、肯承认错误则错已改了一半。 33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。 35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。 36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。 37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。 38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。 41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 42、自信人生二百年，会当水击三千里。 43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。 45、不可能！只存在于蠢人的字典里。 46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。 47、小事成就大事，细节成就完美。 48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。 50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。 51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。 52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。 54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。 55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。 56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。 57、理想的路总是为有信心的人预备着。 58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。 60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。 61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。 62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。 63、彩虹风雨后，成功细节中。 64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。 65、只要有信心，就能在信念中行走。 66、每天告诉自己一次，我真的很不错。 67、心中有理想 再累也快乐 68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。 69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。 70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！ 71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 72、只要路是对的，就不怕路远。 73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。 74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。 75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。 77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。 78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。 80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
代数式
教学目标：
• 知识目标：加深对代数式的理解，使学生 能够用代数式表达简单的数量关系的语句。 • 能力目标：通过列代数式，培养学生抽象 思维能力。 • 情感目标：通过独立思考和小组讨论、师 生交流、培养学生的自主意识与合作精神， 树立创新意识，激发学生应用数学的热情。
一、问题情境
1、书写代数式要注意什么？
课后作业
1、 P93习题6、7题
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。 2、从善如登，从恶如崩。 3、现在决定未来，知识改变命运。 4、当你能梦的时候就不要放弃梦。 5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。 6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。 7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。 8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。 9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。 10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。 11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 13、人生最大的错误是不断担心会犯错。 14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。 16、心态决定命运，自信走向成功。 17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 18、励志照亮人生，创业改变命运。 19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。 20、当你能飞的时候就不要放弃飞。 21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。 22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。 23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。 24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。 25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。 26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。 27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。 28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。 29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。 30、经验是由痛苦中粹取出来的。 31、绳锯木断，水滴石穿。 32、肯承认错误则错已改了一半。 33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。 35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。 36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。 37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。 38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。 41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 42、自信人生二百年，会当水击三千里。 43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。 45、不可能！只存在于蠢人的字典里。 46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。 47、小事成就大事，细节成就完美。 48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。 50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。 51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。 52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。 54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。 55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。 56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。 57、理想的路总是为有信心的人预备着。 58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。 60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。 61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。 62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。 63、彩虹风雨后，成功细节中。 64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。 65、只要有信心，就能在信念中行走。 66、每天告诉自己一次，我真的很不错。 67、心中有理想 再累也快乐 68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。 69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。 70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！ 71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 72、只要路是对的，就不怕路远。 73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。 74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。 75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。 77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。 78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。 80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
代数式整式的加法和减法ppt
代数式整式的加法和减法的重要性
代数式整式的加法和减法是数学运算中的基本技能，是进 一步学习数学的基础。
掌握代数式整式的加法和减法可以更好地理解数学概念， 提高数学素养和逻辑思维能力。
学习目标
1
了解代数式整式的加法和减法的定义和基本性 质。
2
掌握代数式整式的加法和减法的运算法则和技 巧。
3
能运用代数式整式的加法和减法解决实际问题 。
01
相同字母的系数相加：将两个代数式中相同字母的系数相加，如$2x^2 + 3x^2 = 5x^2$。
02
合并同类项：将两个代数式中同类项合并，如$2x + 3x = 5x$。
03
对于只在其中一个代数式中出现的字母，其系数直接相加，如$2x^2 + x = 2x^2 + x$。
例子解析
$2x + 3y = (2 + 3) \times x \times y = 5xy$
代数式整式的加法和减法
xx年xx月xx日
目录
• 介绍 • 代数式整式的加法 • 代数式整式的减法 • 练习题 • 小结
01
介绍
课程简介
代数式整式的加法和减法是数学中的基本概念，是进一步学 习代数、函数等数学知识的基础。
课程目标是通过学习代数式整式的加法和减法，掌握其运算 规则和基本性质，并能应用于实际问题中。
代数式整式的减法练习题
总结词：灵活运用
(3x+5y-8z+10)-(2x+3y-z+5)
(5a+7b-2c+15)-(3a+4b-c+8)
(4x²y³-5xy²z+7xz²-2xyz³)(3x²y³-2xy²z+4xz²-xyyz³)
北师大版七年级上册数学《代数式》整式及其加减说课教学课件
门票价格 成人：每人60元 学生：每人20元
游程4:参观 太和殿占地呈长方形，长m米，宽n米太和殿占地
面积有多少平方米呢?
【 mn 平方米】
游程4:参观
珍宝馆陈列厅呈正方形，边长为a米.地面积有多 少平方米呢?
【 a2 平方米】
游程4:参观 珍宝馆内有一金嵌珍珠宝石塔，宝石塔外边是
一个长方体的玻璃罩，它的长、宽、高分别是3米、
m
（1）5箱苹果重m kg，每箱重 5 kg ； （2）一个数比a的2倍小5，则这个数为 (2a 5) ； （3）全校学生总数是x，其中女生占总数52%，则 女生人数是 0.52x ，男生人数是 0.48x ； （4）某班有a名学生，现把一批图书分给全班学生 阅读，如果每人分4本，还缺25本，则这批图书 共 (4a 25) 本；
500元或超过500元
优惠办法 不予优惠
九折优惠
其中500元部分给予九折优惠， 超过500元部分给予八折优惠
(1)若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不 小于200时，他应付款__0_._9_x___元，当x大于或等于500元
(0.8x＋50) 时，他应付款____________元(用含x的代数式表示)；
6.已知
a1, 2
b=2,求代数式 3a2b 5ab2 的值.
解：当
a
1 2
,
b=2时，
3a2b 5ab2
3
1 2
2
2
5
1 2
22
3
1 4
2
5
1 2
4
3 10 23 .
2
2
6.某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下：
一次性购物 少于200元 低于500元但 不低于200元
游程4:参观 太和殿占地呈长方形，长m米，宽n米太和殿占地
面积有多少平方米呢?
【 mn 平方米】
游程4:参观
珍宝馆陈列厅呈正方形，边长为a米.地面积有多 少平方米呢?
【 a2 平方米】
游程4:参观 珍宝馆内有一金嵌珍珠宝石塔，宝石塔外边是
一个长方体的玻璃罩，它的长、宽、高分别是3米、
m
（1）5箱苹果重m kg，每箱重 5 kg ； （2）一个数比a的2倍小5，则这个数为 (2a 5) ； （3）全校学生总数是x，其中女生占总数52%，则 女生人数是 0.52x ，男生人数是 0.48x ； （4）某班有a名学生，现把一批图书分给全班学生 阅读，如果每人分4本，还缺25本，则这批图书 共 (4a 25) 本；
500元或超过500元
优惠办法 不予优惠
九折优惠
其中500元部分给予九折优惠， 超过500元部分给予八折优惠
(1)若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不 小于200时，他应付款__0_._9_x___元，当x大于或等于500元
(0.8x＋50) 时，他应付款____________元(用含x的代数式表示)；
6.已知
a1, 2
b=2,求代数式 3a2b 5ab2 的值.
解：当
a
1 2
,
b=2时，
3a2b 5ab2
3
1 2
2
2
5
1 2
22
3
1 4
2
5
1 2
4
3 10 23 .
2
2
6.某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下：
一次性购物 少于200元 低于500元但 不低于200元
代数式 课件(共12张PPT)
你还能举出一些用字母表示数的实际例子吗？
获取新知
运算符号包括:
代数式的定义
加、减、乘、
除、乘方等.
由数或表示数的字母用运算符号连接所成
的式子，叫做代数式．单独一个数或一个字母
也是代数式．
“=”、“>”、“<'、“≤”、“≥”、“≠” 都不是运算符号，所有用这些符号连接而成的式子 都不是代数式.
例题讲解
5
两个答案都表示留在该机关单位工作的人数， 它们应该是相等的．以后我们能从数学运算
的角度认识这个事实．
(4)t h后，他们之间的距离是(at＋bt)km.
随堂演练
1 . 下列是代数式的是( C )
A．2x2－y＝z
B．x＞y
C．0
D．x2＋y2≥0
2.
下列各式：－x＋1，π＋3，9＞2，xx－＋yy ,
S＝ 1 ab, 2
其中，代数式有( C )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3. 火车站、机场等场所都有为旅客提供打包服务的 项目．现有一个长、宽、高分别为a，b，c的长 方体箱子，按如图所示的方式打包，则打包带的 长(不计接头处的长)至少应为( B ) A．a＋3b＋2c B．2a＋4b＋6c C．4a＋10b＋4c D．6a＋6b＋8c
例2 用代数式表示： (1)长为a cm、宽为b cm的长方形的周长是多少？ (2)开学时爸爸给小强a元，小强买文具用去了b元(a >b)，还
剩多少元？ (3)某机关单位原有工作人员m人，抽调20%下基层工作后，留
在该机关单位工作的还有多少人？ (4)甲每小时走a km，乙每小时走b km，两人同时同地出发反向
第2章 整式及其加减
知识回顾 例题讲解 课堂小结
获取新知
运算符号包括:
代数式的定义
加、减、乘、
除、乘方等.
由数或表示数的字母用运算符号连接所成
的式子，叫做代数式．单独一个数或一个字母
也是代数式．
“=”、“>”、“<'、“≤”、“≥”、“≠” 都不是运算符号，所有用这些符号连接而成的式子 都不是代数式.
例题讲解
5
两个答案都表示留在该机关单位工作的人数， 它们应该是相等的．以后我们能从数学运算
的角度认识这个事实．
(4)t h后，他们之间的距离是(at＋bt)km.
随堂演练
1 . 下列是代数式的是( C )
A．2x2－y＝z
B．x＞y
C．0
D．x2＋y2≥0
2.
下列各式：－x＋1，π＋3，9＞2，xx－＋yy ,
S＝ 1 ab, 2
其中，代数式有( C )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3. 火车站、机场等场所都有为旅客提供打包服务的 项目．现有一个长、宽、高分别为a，b，c的长 方体箱子，按如图所示的方式打包，则打包带的 长(不计接头处的长)至少应为( B ) A．a＋3b＋2c B．2a＋4b＋6c C．4a＋10b＋4c D．6a＋6b＋8c
例2 用代数式表示： (1)长为a cm、宽为b cm的长方形的周长是多少？ (2)开学时爸爸给小强a元，小强买文具用去了b元(a >b)，还
剩多少元？ (3)某机关单位原有工作人员m人，抽调20%下基层工作后，留
在该机关单位工作的还有多少人？ (4)甲每小时走a km，乙每小时走b km，两人同时同地出发反向
第2章 整式及其加减
知识回顾 例题讲解 课堂小结
2.1代数式(第3课时 整式 )课件(共18张PPT) (2024)沪科版数学七年级上册
随堂训练
1.下列式子中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？
(1) 3x (2) 2x-1
(6) 3m-4n+m2n
(3) m 1 3
(4) -5
(5) 3 1 x
单项式：（1）、（4） 多项式：(2)、（3）、（6）
整式： （1）、（2）、（3）、（4）、（6）
2.判断正误：
（1）多项式-x2y+2x2-y的次数2．（ × ）
思考：以上各式中的运算有什么共同特点？
知识讲解
概念学习
上面各式子中的运算都是数与字母的积(都是表示字母与数字、 字母与字母的积).
像这样的代数式叫作单项式，单个的字母或数也是单项式. 例如:像7，a,-b,ah,πr2，等是单项式. 注意:像 1 x, b , 1 等不是单项式.
2a a
知识讲解
3.不要把π当成字母．
知识讲解
2.多项式的相关概念
（1）温度由toc下降5oc后是 （t-5） oc.
列式表示 下列数量
（2）买一个篮球需要x元，买一个排球需要y 元， 买一个足球需要z元，买3个篮球、5个排球、2个 足球共需要 （3x+5y+2z） 元.
知识讲解
思考：
t-5
3x+5y+2z
它们是单项式吗？这些式子有什么共同特点？
与单项式有什么关系？
上述几个式子都是两个或者多个单项式相加的形式.
知识讲解
3. 多项式的相关概念
（1）几个单项式的和叫作多项式.
（2）在多项式里，每个单项式叫作多项式的项，
其中不含字母的项叫作常数项.一个多项式含有几项，这个多
项式就叫作几项式.
（3）一个多项式里，次数最高的项的次数叫作这个多项式的
人教版(2024)数学七年级上册 第四章 整式的加减 整理与复习 课件(共22张PPT)
跟踪练习
1.下列式子去括号正确的是（ C ）
A. (m n) m n
B. 2(x y) 2x y
C. 3(a b) 3a 3b
D. 3(m n) 3m 3n
2.化简 5x (3x 2y)的结果是_2_x___2_y__.
知识点梳理
知识点6：整式的加法与减法
1.整式加减的运算法则：几个整式相加减，如果有括 号就先去括号，然后再__合__并_同__类__项___.
7.当x=2,y=-1时，单项式
1 2
xy 2
的值等于
___-_1__.
综合提升
8.化简.
(1)4a2 3ab 2a2 6ab (2)5xy 3x 2(xy 3x) 解：(1)4a2 3ab 2a2 6ab (4a2 2a2 ) (3ab 6ab) 2a2 3ab
(2)5xy 3x 2(xy 3x) 5xy 3x 2xy 6x 3xy 3x
几个常数项也是同类项.
跟踪练习
1.与单项式 10a2b 是同类项的是（ D）
A.5ab
B. 4ab2
C.3a2b
D. 1 x2 y 2
2.已知 6x2 ym与 3xn y3为同类项，则m+n的值等 于__5___.
知识点梳理
知识点4：合并同类项
1.定义：把多项式中的_同__类__项__合并成一项，叫做合 并同类项. 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数 的__和___，字母连同它的指数__不_变___.
跟踪练习
1.下列各式是单项式的是（ C ）
A.2a 3
B. 5
x
C. 6mn
D. x y 3
2.单项式 3a2b 的系数是（ A ）
鲁教版(五四学制)数学六年级上册第三章整式及其加减代数式课件
四、应用 例1.某企业去年的年产值为a亿元，今年比去年增长了10%。如 果明年还能按这个速度增长，请你预测一下，该企业明年的年 产值能到达多少亿元？如果去年的年产值是2亿元，那么估计明 年的年产值是多少亿元？
解：由题意可得，今年的年产值为 a·（1+10%）亿元， 于是明年的年产值为 a（1+10%）（1+10%）（亿元）
3.2 代数式（2）
代数式的值
一般地，用数值代替代数式里 的字母，按照代数式中的运算关系 计算得出的结果，叫做代数式的值。
1、求代数式的值的一般步骤和注意事项
小结： ①求代数式的值的步骤： （1）写出字母的值。(当) （2）抄写代数式（抄） （3）代入，将字母所取的值代入代数式中；（代） （4）计算，按照代数式指明的运算进行，算出结果。（算） ②注意的几个问题：
=1.21a 若去年的年产值为2亿元，则明年的年产值为
1.21a=1.21×2=2.42（亿元）. 答：该企业明年的年产值将能到达1.21a亿元。由去年的 年产值是2亿元，可以预测明年的年产值是2.42亿元。
例2 某移动通讯公司开展两种业务：“全球通”使用者 缴５０元月租费，然后每通话１分钟再付话费0.4元；
（2）当x=－2，y=－4时，
2、整体代入法
例1、若x 2y2 5 的值为7，求代数式3x 6 y 2 4
解：由已知
，则
的值。
=3
+4 （逆用乘法分配律）
例2、若2b-a=5，求代数式5(a-2b)2-3(a-2b)-60的值。
解：∵2b-a=5，∴a-2b=-5 ∴ 5(a-2b)2-3(a-2b)-60=5×(-5)2-3×(-5)-60 =125+15-60 =80
代数式(第4课时 代数式的值)课件(共15张PPT) (2024)沪科版(2024)数学七年级上册
V a2h 22 3 12,
a h
S 2a2 4ah 222 423 32.
课堂小结
1.代数式的值的概念
用数值代替代数式里的 字母 ，按照代数式中字母的 运算 关 系计算得出的结果叫作代数式的值.
2.代数式的值应用 （1）直接代入求值. （2）整体代入求值. （3）列代数式求值.
整体，代入到所求代数式中. 相同的代数式可以看作一个字母——整体代入.
知识讲解
探究2 求实际问题中代数式的值.
某堤坝的横截面是梯形，测得该梯形上底为a=18m，
下底b=36m，高h=20m，求这个堤坝的截面的面积.
解：梯形面积公式为： S 0代入上面公式，得
x+1
其中的运算关系计算得出结果.这就是代数式的值.
(x+1)² (x+1)²–1
用数值代替代数式里的字母，按照代数式中字 母的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值.
知识讲解
练一练 当x=-3,y=2时，求下列代数式的值：
(1)x2 y2; (2)(x y)2.
解： 当x=-3,y=2时，
(1)x2 y2 (3)2 22 9 4 5.
知识讲解
在代入数值时应注意：
(1)代入时，要“对号入座”，避免代错字母，其他符号不 变；
(2)代数式中，代入数值以后原来省略的乘号一定要还原； (3)若字母的值是负数或分数，将字母的值代入代数式时， 应加上括号，原来的数字和运算符号都不能改变．
知识讲解
试一试
已知x-2y=3，则代数式6-2(x-2y)的值为__0__. 解析：题中x，y的值没单独给出，可将x-2y看作一个
第2章 整式及其加减
第2章 整式及其加减
2.1 代数式
a h
S 2a2 4ah 222 423 32.
课堂小结
1.代数式的值的概念
用数值代替代数式里的 字母 ，按照代数式中字母的 运算 关 系计算得出的结果叫作代数式的值.
2.代数式的值应用 （1）直接代入求值. （2）整体代入求值. （3）列代数式求值.
整体，代入到所求代数式中. 相同的代数式可以看作一个字母——整体代入.
知识讲解
探究2 求实际问题中代数式的值.
某堤坝的横截面是梯形，测得该梯形上底为a=18m，
下底b=36m，高h=20m，求这个堤坝的截面的面积.
解：梯形面积公式为： S 0代入上面公式，得
x+1
其中的运算关系计算得出结果.这就是代数式的值.
(x+1)² (x+1)²–1
用数值代替代数式里的字母，按照代数式中字 母的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值.
知识讲解
练一练 当x=-3,y=2时，求下列代数式的值：
(1)x2 y2; (2)(x y)2.
解： 当x=-3,y=2时，
(1)x2 y2 (3)2 22 9 4 5.
知识讲解
在代入数值时应注意：
(1)代入时，要“对号入座”，避免代错字母，其他符号不 变；
(2)代数式中，代入数值以后原来省略的乘号一定要还原； (3)若字母的值是负数或分数，将字母的值代入代数式时， 应加上括号，原来的数字和运算符号都不能改变．
知识讲解
试一试
已知x-2y=3，则代数式6-2(x-2y)的值为__0__. 解析：题中x，y的值没单独给出，可将x-2y看作一个
第2章 整式及其加减
第2章 整式及其加减
2.1 代数式
4.2整式的加法与减法(第4课时整式加减)(课件)-七年级数学上册课件(人教版2024)
5.一辆大客车上原有乘客(3m-n)人，中途一半的乘客下车，又上来若干乘客， 此时车上共有乘客(8m-5n)人，则中途上车的乘客有多少人?当m=10,n=8 时，中途上车的乘客有多少人?
解:原有乘客(3m-n)人，一半的乘客下车，还剩余一半乘客，即还剩余12 (3m-n)人. 若干人上车后,车上共有乘客(8m-5n)人，那么中途上车的乘客(单位:人)有 (8m-5n)-12(3m-n)=8m-5n-32m+12n=123m-29n. 当m=10，n=8时，123m-29n=123×10-29×8=29. 即此时中途上车的乘客有29人.
原式
(3) (2)
2 3
2
6
4 9
6
4. 9
例 3. 一种笔记本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元.小红买这种笔记本3 本，买圆珠笔2支；小明买这种笔记本4本，买圆珠笔3支.买这些笔记本 和圆珠笔，小红和小明一共花费多少钱？ 解法一：小红买笔记本和圆珠笔共花费（3x+2y）元，小明买笔记本和 圆珠笔共花费（4x+3y）元. 小红和小明一共花费（单位：元） （3x+2y）+（4x+3y） =3x+2y+4x+3y =7x+5y
例2. 求 1 x 2(x 1 y2 ) ( 3 x 1 y2 ) 的值，其中 x 2, y 2
2
3
23
3
解： 1 x 2(x 1 y2 ) ( 3 x 1 y2 )
2
3
23
1 x 2x 2 y2 3 x 1 y2
2
3 23
3x y2
当 x 2, y 2
3
时，
（2）做大纸盒比小纸盒多用料多少平方厘米？ 解：小纸盒的表面积是（ 2ab+2bc+2ca ）cm2 大纸盒的表面积是（ 6ab+8bc+6ca ）cm2 （2）做大纸盒比做小纸盒多用料 （6ab+8bc+6ca）-（2ab+2bc+2ca） =6ab+8bc+6ca-2ab-2bc-2ca =4ab+6bc+4ca
北师大版七年级上册数学《代数式》整式及其加减PPT教学研讨课件
1 (中考•湖州)当x＝1时，代数式4－3x的值是( A ) A．1 B．2 C．3 D．4
2 (中考•海南)已知x＝1，y＝2，则代数式x－y的值 为( B ) A．1 B．－1 C．2 D．－3
（来自《典中点》）
知1－练
3 下列用具体数值代替代数式中的字母，
其中正确的是( B )
A．当a＝ 2 时，a2＋5＝ 22 ＋5
(30－
导引：用字母表示数时要严格按照书写规则书写．
（来自《点拨》）
总结
知2－讲
用字母表示日常生活中的数或数量关 系，仅仅是把具体数用字母代替了，其实际 意义与具体数是一致的，它将个别数量关系 转变为一般数量关系．
（来自《点拨》）
知2－讲
例3 填空： (1)若m为整数，则2m为__偶___数，2m－1为__奇__数； (2)三个连续偶数，若中间一个为2n，则其余两个为 ___2_n_－__2_，__2_n_＋__2_____； (3)若k为整数，以被4整除作为分类标准，则整数可 分为___4_k_，__4_k_＋__1_，__4_k_＋__2_，__4_k_＋__3______共4类； (4)若一个两位数，其个位数字为a，十位数字为b， 则这个两位数为_1_0_b_＋__a__．
导引：紧扣各类数的特征进行解答．
（来自《点拨》）
总结
知2－讲
奇、偶数的区别在于能否被2整除．偶数 能被2整除，奇数被2除余1；整数被4除可能的 情况只有4种：整除、余1、余2、余3；两位数 的表示方法：十位数字×10＋个位数字．
（来自《点拨》）
知2－讲
例4 列字母表达式：
(1)一个数x的
1 6x2＋9x-2的
值． 解：由代数式x2＋3x＋5的值为7，得x2＋3x＝2，
2 (中考•海南)已知x＝1，y＝2，则代数式x－y的值 为( B ) A．1 B．－1 C．2 D．－3
（来自《典中点》）
知1－练
3 下列用具体数值代替代数式中的字母，
其中正确的是( B )
A．当a＝ 2 时，a2＋5＝ 22 ＋5
(30－
导引：用字母表示数时要严格按照书写规则书写．
（来自《点拨》）
总结
知2－讲
用字母表示日常生活中的数或数量关 系，仅仅是把具体数用字母代替了，其实际 意义与具体数是一致的，它将个别数量关系 转变为一般数量关系．
（来自《点拨》）
知2－讲
例3 填空： (1)若m为整数，则2m为__偶___数，2m－1为__奇__数； (2)三个连续偶数，若中间一个为2n，则其余两个为 ___2_n_－__2_，__2_n_＋__2_____； (3)若k为整数，以被4整除作为分类标准，则整数可 分为___4_k_，__4_k_＋__1_，__4_k_＋__2_，__4_k_＋__3______共4类； (4)若一个两位数，其个位数字为a，十位数字为b， 则这个两位数为_1_0_b_＋__a__．
导引：紧扣各类数的特征进行解答．
（来自《点拨》）
总结
知2－讲
奇、偶数的区别在于能否被2整除．偶数 能被2整除，奇数被2除余1；整数被4除可能的 情况只有4种：整除、余1、余2、余3；两位数 的表示方法：十位数字×10＋个位数字．
（来自《点拨》）
知2－讲
例4 列字母表达式：
(1)一个数x的
1 6x2＋9x-2的
值． 解：由代数式x2＋3x＋5的值为7，得x2＋3x＝2，
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
➢ 我国载人飞船的造价约为10亿，人造卫星造价约为5亿， 在未来的二十年内将造x 架载人飞船，和y 架人 造卫星，那么10x + 5y就表示造x 架载人飞船和y 架人 造卫星共需花的钱。
例2 在某地，人们发现某种蟋蟀叫的次数与温度 之间有如下的近似关系：用蟋蟀1分叫的次数除以7, 然后再加上3,就近似地得到该地当时的温度（℃）. (1) 用代数式表示该地当时的温度； (2) 当蟋蟀1分叫的次数分别是80，100和120时，该
用字母表示下列数量关系：
1.边长为a的正方形周长是＿4a＿＿，面积是_a_2____。
2.小华、小明的速度分别是x米/分，y米/分，6分钟 后他们一共走了_6_x_+_6_y___米 3.小彬拿166元钱去买钢笔,买了单价为5元的钢笔 n支,则剩下的钱为_1_6_6_-5_n_元,他最多能买这种钢笔 ___3_3___支
代数式
一、巧设情景问题，引入课题
上节课我们通过用火柴棒拼摆如图所示的正方形。
找到了拼摆正方形的个数与所用火柴棒根数之间的 数量关系，并引进了字母，即用字母表示数来表达 了这个问题的数量关系。想一想：如何用字母表示 这个数量关系？ 搭x个这样的正方形需要火柴棒根数：[4+3(x-1)] 根，或[x+x+(x+1)]根，或(1+3x)根等。
10x37+5x15=445. 因此，他们应付445元门票费。
四、想一想：代数式10x+5y可以表示什么？
➢ 如果用x（米/ 秒）表示小明跑步的速度，用y（米/秒） 表示小明走路的速度，那么10x + 5y表示他跑步 10秒和走路5秒所经过的路程。
➢ 如果用x 和y分别表示1元和5角硬币的枚数，那么10x+ 5y就表示x 枚1元硬币和y枚5角硬币共是多少角钱。
二、给出概念
代数式就是用基本的运算符号把数、表示 数的字母连接而成的式子，单独一个数或一个 字母也是代数式。
注：运算符号包括加、减、乘、除、乘方及开方 。
如：a+5 、 4-b、 5b、 3÷b、m5 、5、x
在书写代数式时，需要注意：
1.数字与字母、字母与字母、数字或字母与括号相 乘时，乘号通常简写作 “·“ 或者省略不写。 如练习中6x + 6y就是6×x +6×y的简写。
像4+3(x-1), 2x+(x+1),3x+1, 4a, a 2,6x+6y ,
166-5n等式子都是代数式。
教学目标：
1、在具体的情境中，进一步理解字 母表示 数的意义
2、能理解一些简单代数式的实际背景和几 何意义，发展符号感
3、在具体的情境中，能求出代数式的值， 并解释它的实际意义。
教学重点：1、用字母与代数式表示数量关系； 2、能用实际背景解释代数式。
地当时的温度约是多少？
解： （1）用c 表示蟋蟀1分叫的次数，则该地当时的
温度为： c + 3
7 （2）把 c=80,100和120分别代入
c 7
+
3
，得
80 7
+
3=
101 7
14
100
，7
+3
=
121 7
17
120
，7
+
3=
141 7
20
因此，当蟋蟀1分叫的次数分别是80，100和120时，该
地当时的温度大约分别是14℃,17℃,20℃.
2.在实际问题中含有单位时，如果最后运算结果是 和或差的形式时，要把整个的代数式括起来再写 单位。
如练习中小华、小明一共走了 (6x + 6y)米。
在书写代数式时，还需要注意：
3.在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来
写。
如a÷7=
a 7
4.遇到带分数与字母相乘时，要将带分数改写成假分数。
三、随堂练习
1、代数式6p可以表示什么？
2、（1）一个两位数的个位数字是a，十位数字 是b，请用代数式表示这个两位数
（2）如何用代数式表示一个三位数？
3、（1）代数式(1+8%)x可以表示什么？ （2）用具体的数值代替(1+8%)x，并解释所
得代数式值的意义。
四、课时小结
1、代数式的定义
代数式就是用基本的运算符号把数、表示数的字母连
如
1
12×´
a写成
3 2
a
。
三、例题.
例1：列出代数式，并求值。
（1）某公园的门票价格是：成人每张10元，学生每 张5元。一个旅行团有成人x 人、学生y人去参观， 那么该旅行团应付多少门票费？
解：该旅行团应付的门票费是（10x + 5y)元。 （2）如果该旅行团有成人37人、学生15人去参观，
那么他们应付多少门票费？ 解：把x =37, y=15代入代数式10x+5y,得
接而成的式子，单独一个数或一个字母也是代数式。
2、代数式的写法
1.数字与字母、字母与字母、数字或字母与括号相乘时， 乘号通常简写作 “·“ 或者省略不写；
2.在实际问题中含有单位时，如果最后运算结果是和或 差的形ห้องสมุดไป่ตู้时，要把整个的代数式括起来再写单位。
3.在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来 写
4.遇到带分数与字母相乘时，要将带分数改写成假分数
五、课后作业
习题3.2 知识技能1 数学理解1 基础训练
一个人成为他自己了，那就是达到了幸福的顶点。 踩着垃圾到达的高度和踩着金子到达的高度是一样的。 自古圣人二致，但其施教，则必因其材而笃信。——朱熹 踩着垃圾到达的高度和踩着金子到达的高度是一样的。 学校里的考场上可以有59分，人生的考场上决不允许不及格。 每天多做一点，并坚持下去。 通过辛勤工作获得财富才是人生的大快事。——巴尔扎克 你希望掌握永恒，那你必须控制现在。 面对别人的时候触及的是他们的生活，审视自己的时候深入了自己的灵魂。 当你的朋友向你倾吐胸襟的时候，你不要怕说出心中的“否”，也不要瞒住心中的“可”。 只有品味了痛苦，才能珍视曾经忽略的快乐;只有领略了平凡，才会收藏当初丢弃的幸福。 再好的种子，不播种下去，也结不出丰硕的果实。
例2 在某地，人们发现某种蟋蟀叫的次数与温度 之间有如下的近似关系：用蟋蟀1分叫的次数除以7, 然后再加上3,就近似地得到该地当时的温度（℃）. (1) 用代数式表示该地当时的温度； (2) 当蟋蟀1分叫的次数分别是80，100和120时，该
用字母表示下列数量关系：
1.边长为a的正方形周长是＿4a＿＿，面积是_a_2____。
2.小华、小明的速度分别是x米/分，y米/分，6分钟 后他们一共走了_6_x_+_6_y___米 3.小彬拿166元钱去买钢笔,买了单价为5元的钢笔 n支,则剩下的钱为_1_6_6_-5_n_元,他最多能买这种钢笔 ___3_3___支
代数式
一、巧设情景问题，引入课题
上节课我们通过用火柴棒拼摆如图所示的正方形。
找到了拼摆正方形的个数与所用火柴棒根数之间的 数量关系，并引进了字母，即用字母表示数来表达 了这个问题的数量关系。想一想：如何用字母表示 这个数量关系？ 搭x个这样的正方形需要火柴棒根数：[4+3(x-1)] 根，或[x+x+(x+1)]根，或(1+3x)根等。
10x37+5x15=445. 因此，他们应付445元门票费。
四、想一想：代数式10x+5y可以表示什么？
➢ 如果用x（米/ 秒）表示小明跑步的速度，用y（米/秒） 表示小明走路的速度，那么10x + 5y表示他跑步 10秒和走路5秒所经过的路程。
➢ 如果用x 和y分别表示1元和5角硬币的枚数，那么10x+ 5y就表示x 枚1元硬币和y枚5角硬币共是多少角钱。
二、给出概念
代数式就是用基本的运算符号把数、表示 数的字母连接而成的式子，单独一个数或一个 字母也是代数式。
注：运算符号包括加、减、乘、除、乘方及开方 。
如：a+5 、 4-b、 5b、 3÷b、m5 、5、x
在书写代数式时，需要注意：
1.数字与字母、字母与字母、数字或字母与括号相 乘时，乘号通常简写作 “·“ 或者省略不写。 如练习中6x + 6y就是6×x +6×y的简写。
像4+3(x-1), 2x+(x+1),3x+1, 4a, a 2,6x+6y ,
166-5n等式子都是代数式。
教学目标：
1、在具体的情境中，进一步理解字 母表示 数的意义
2、能理解一些简单代数式的实际背景和几 何意义，发展符号感
3、在具体的情境中，能求出代数式的值， 并解释它的实际意义。
教学重点：1、用字母与代数式表示数量关系； 2、能用实际背景解释代数式。
地当时的温度约是多少？
解： （1）用c 表示蟋蟀1分叫的次数，则该地当时的
温度为： c + 3
7 （2）把 c=80,100和120分别代入
c 7
+
3
，得
80 7
+
3=
101 7
14
100
，7
+3
=
121 7
17
120
，7
+
3=
141 7
20
因此，当蟋蟀1分叫的次数分别是80，100和120时，该
地当时的温度大约分别是14℃,17℃,20℃.
2.在实际问题中含有单位时，如果最后运算结果是 和或差的形式时，要把整个的代数式括起来再写 单位。
如练习中小华、小明一共走了 (6x + 6y)米。
在书写代数式时，还需要注意：
3.在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来
写。
如a÷7=
a 7
4.遇到带分数与字母相乘时，要将带分数改写成假分数。
三、随堂练习
1、代数式6p可以表示什么？
2、（1）一个两位数的个位数字是a，十位数字 是b，请用代数式表示这个两位数
（2）如何用代数式表示一个三位数？
3、（1）代数式(1+8%)x可以表示什么？ （2）用具体的数值代替(1+8%)x，并解释所
得代数式值的意义。
四、课时小结
1、代数式的定义
代数式就是用基本的运算符号把数、表示数的字母连
如
1
12×´
a写成
3 2
a
。
三、例题.
例1：列出代数式，并求值。
（1）某公园的门票价格是：成人每张10元，学生每 张5元。一个旅行团有成人x 人、学生y人去参观， 那么该旅行团应付多少门票费？
解：该旅行团应付的门票费是（10x + 5y)元。 （2）如果该旅行团有成人37人、学生15人去参观，
那么他们应付多少门票费？ 解：把x =37, y=15代入代数式10x+5y,得
接而成的式子，单独一个数或一个字母也是代数式。
2、代数式的写法
1.数字与字母、字母与字母、数字或字母与括号相乘时， 乘号通常简写作 “·“ 或者省略不写；
2.在实际问题中含有单位时，如果最后运算结果是和或 差的形ห้องสมุดไป่ตู้时，要把整个的代数式括起来再写单位。
3.在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来 写
4.遇到带分数与字母相乘时，要将带分数改写成假分数
五、课后作业
习题3.2 知识技能1 数学理解1 基础训练
一个人成为他自己了，那就是达到了幸福的顶点。 踩着垃圾到达的高度和踩着金子到达的高度是一样的。 自古圣人二致，但其施教，则必因其材而笃信。——朱熹 踩着垃圾到达的高度和踩着金子到达的高度是一样的。 学校里的考场上可以有59分，人生的考场上决不允许不及格。 每天多做一点，并坚持下去。 通过辛勤工作获得财富才是人生的大快事。——巴尔扎克 你希望掌握永恒，那你必须控制现在。 面对别人的时候触及的是他们的生活，审视自己的时候深入了自己的灵魂。 当你的朋友向你倾吐胸襟的时候，你不要怕说出心中的“否”，也不要瞒住心中的“可”。 只有品味了痛苦，才能珍视曾经忽略的快乐;只有领略了平凡，才会收藏当初丢弃的幸福。 再好的种子，不播种下去，也结不出丰硕的果实。