工程电磁场数值分析2(基本理论)

B ( r , t ) B ( x, y , z , t )
电：是电荷之间的相互作用，靠电场来传递； 磁：电流之间的相互作用，靠磁场来传递。 电荷与电流是电磁场的“源”。归根到底，电磁 场是由电荷及其运动产生的。
电场
电荷之间的作用力（库仑定律）
1 q1q2 0 F r 2 4 0 r
1 2 q q 1 2
q 2 2 q 1 2
水面上方点电荷产生的静电场
点电荷与导体球
导体球不接地
导体球接地
球形接地导电腔内的点电荷 （等位面不是圆）
一对正负点电荷 （等位面不是圆）
平行双电轴截面 （等位面是圆）
两圆柱之间的电场分布 （等位面是圆）
A ) J s t
(
D dS q B dS 0
D
A ) 0 t
B 0
D H J t Β E t
D l H dl S (J t ) dS B l E dl S t dS
(c) 不等量同号点电荷
(d) 等量异号点电荷
(e) 不等量异号点电荷
(f) 点电荷与孤立金属球
(a) 平行板边缘场
(c) 导体尖劈外电场
(b) V型导体槽内部电场
(d) 导体圆板的电场
(e) 导体圆环的电场
(f) 棒形导体的电场
方芯圆壳电缆电位分布与电力线分布
电磁场：数学 vs 物理
方芯圆壳偏心电缆电 位分布与电力线分布
3. 电磁场基本方程（自由空间）

S
E dS q / 0
t
——电场的高斯定律 ——磁场的高斯定律

S
B dS 0
E ——推广的安培环路定律 d ( ) d l J S l 0 S t 0 t （全电流定律） B ——法拉第电磁感应定律 l E dl S t dS B
电荷的三种分布形式
体电荷 面电荷 线电荷 总电荷 电荷元
q (r ) lim V 0 V q (r ) lim S 0 S q (r ) lim l 0 l
V S
r ( x, y , z )
q d V d S dl
工程电磁场数值分析
（电磁场的基本理论）
华中科技大学电气工程学院
陈德智
2014.11
第1章 电磁场的基本理论
1. 电磁场的场与源 2. 矢量分析 3. 电磁场基本方程 4. 电磁场中的位函数 5. 电磁场边界条件 6. 电磁场中的力与能量
电磁场：数学 vs 物理

S S
A (
电场强度
F E lim q0 0 q 0
库仑定律
点电荷受力
F qE
磁场
电流元之间的作用力（安培力定律）
0 I 2 dl2 ( I1dl1 r 0 ) dF 4 r2 磁感应强度B
dF I 2 dl2 dB
——B的定义式 安培力定律
0 ( I1dl1 r 0 ) dB 4 r2
2 A 2 A 2 J t
2 2 2 t

V
( 2 )dV dS
S

V
(2 2)dV ( ) dS
S
(a) 点电荷
(b) 等量同号点电荷
l
dq dV dS d l
电流的三种分布形式
体电流 面电流
I J (r ) lim S 0 S I K (r ) lim l 0 l
以上定义中电流垂直于 S 或 l。 线电流 总电流 电流元
I (r )
I J dS K n dl
S S
JdV KdS Idl
注意：电流元用于磁场的计算，形式上不同于 电荷元： dq dV d S d l
电荷与电流的关系
电荷的（定向）移动形成电流。
dq 电流强度： I dt I q V l J v S t S t S t
媒质交界面条件是在场的不连续处对基本方程的一种补充。 从数学上讲，反映了微分方程在区域交界面的衔接，又称衔接 条件。
n A 与 n A ——法向与切向分量的矢量表示
矢量 A 与单位矢量 n 点积，给出 矢量的纵向分量 An： 矢量与单位矢量叉积，给出矢量的 横向信息：


AT en A en At
n(E2 E 1) 0 n(H2 H 1) K
n(J2 J1) t D D 2 J1 1 ) 0 n(J2 t t
(1) 静电场交界面条件—— 均匀电场中的介质柱
D 2n D 1n
（通常等于 0）
E2t E 1t 0
电荷与电流是电磁场的源。研究场与源之间的关系，是电磁场 的重要内容。
为什么要强调基本概念？
有时当我们面对一个复杂的问题，可能如堕云雾。剥茧抽 丝，回到最基本层面，也许是想清问题最有效的办法。
永磁体之 间的受力
考察永磁体之间的受力，吸引力容易理解，排斥力就不易想清楚。 但是回到“磁场是电流之间的相互作用”，豁然开朗。
两根异向长直流导线的磁场分布
两根相同方向长直流导线的磁场分布
两对上下放置传输线的磁场分布
两对平行放置传输线的磁场分布
电磁场：数学 vs 物理
电路中的能流
1. 电磁场的场与源
场是一种客观存在；它表示分布在一定空间中的 可以测量的某种物理量，在数学上可以用一个函 数表示。
T ( r ) T ( x, y , z )
思考：紧挨在一起 的两块小介质能不 能和平相处？如何 设计实验去验证？
2. 矢量分析 几个重要的物理概念
通量： = S A dS 环量： = l A dl 散度： divA A 旋度： rotA A 梯度： grad f f 散度源（汇）： 涡旋源：
• 四个物理量：电场（E、D）；磁场（H、B）
E —— 电场强度 B —— 磁感应强度 （磁通密度） D —— 电位移矢量 （电通量密度） H —— 磁场强度
关于力的，是基本量
F qΕ qv B
关于源的，是辅助量

B＝ H
S
D dS q
H dl I
l
D＝ E，
l
D ) dS t
——推广的安培环路定律 （全电流定律） ——法拉第电磁感应定律 （电场环路定律）
B l E dl S t dS
本构关系： D＝E， B＝ H， J E
物质中的基本方程通过参数 、和描述物质中发生的极化、磁化和传 导等物理机制，包含了对材料特性的模拟，不是普适的；q、J 仅指自由 电荷与自由电流。对于电磁场的分析，这是方便的，但要注意其局限性。
S
C
A dl
f G dl
l
或 df G dl
S

V
( 2 )dV dS
S
（格林第一公式）

V
( 2 2 )dV ( ) dS （格林第二公式）
• 几个重要的矢量公式（2） 亥姆霍兹定理：若 F b( r ) 及 F c (r ) 已知，
( en A) en A An en
如果单位矢量为一平面的法向，则矢量与该法向单位矢量 的叉积表达矢量在平面上的切向信息。
(en A) en A An en At
D
点乘 — 法向
B 0
H J D t
• 媒质交界面条件
为什么要强调基本概念？
带电导体 半球之间 的力
电场的作用也要回到基本面，但要顾及到导体中电荷的分布是可以 随着电场发生改变的。
为什么要强调基本概念？
两个球形 电极之间 的电场
问题1
问题2
思考：电场的分布真的与电位参考点的选择没有关系吗？其间又隐 藏着怎样的玄机？
为什么要强调基本概念？
平行板电容器 中介质受力： 大 排斥小
Maxwell 方程组微分形式

S S
D dS q B dS 0
D
B 0
D H J t Β E t
J E
D l H dl S (J t ) dS B l E dl S t dS
（Flux，流量） （Circulation，循环，旋转） （divergence，发散） （rotation 或 curl，旋转，卷曲） （gradient，坡度，梯度）
2. 矢量分析 几个重要的矢量公式（1）

V
A dV A dS
S
（高斯散度公式） （斯托克斯公式）
A dS
——B的计算式，毕奥－萨伐定律
磁场
回路1产生的磁场为：
B
l1
0 ( I1dl1 r 0 ) 4 r2
两电流回路的相互作用
电流段 I2dl2 受的力为：
dF I 2 dl 2 B Nhomakorabea整个回路2受回路1的力为：
F I 2 dl 2 B
l2
电磁场的“源”——电荷与电流的分布形式
偏心电缆间的电场分布 （等位面是圆）
几种典型的磁场图像
两根异向长直流导线磁场
长直载流导线磁场
螺线管产生的磁场
圆环轴线上的磁感应强度： B 2(a 2 z 2 )3/2 e z
0 Ia 2
0 I 圆环中心的磁感应强度： B ez 2a
圆形载流回路
在环平面上： • 环心磁场与半径反比；环半 径越大，环心磁场越弱： • 从中心向外，磁场增强；靠 近电流处磁场最大； • 环外侧离开导线，磁场很快 衰减
（电场环路定律）
真空中的基本方程是没有任何近似的、普适的方程。qt、Jt 指包括一切宏 观电磁效应的电荷与电流。B 和 E 是电磁场中的基本物理量。
3. 电磁场基本方程（物质中）


S S
D dS q B dS 0
H dl ( J
S
——电场的高斯定律 ——磁场的高斯定律
本构关系： D＝E， B＝ H，
D
B 0
• 媒质交界面条件
H J
D 2n D 1n
B 2n B 1n 0
Β E t
D t
E2t E 1t 0
J2n J1n t
H2t H 1t K
D D 2n J2n J1n 1n t t
J v K v I v
或
Il 0 v JdV KdS Idl vdq
故电流元还可写为：
电磁场的统一性
电荷产生电场， 电流产生磁场， 电流是由电荷的运动产生的， 因此归根结底，电磁场是由电荷及其运动产生的。 由于运动是相对的，跟电流一起运动的人将只观察到电场， 没有磁场。因此，电场与磁场只是一个东西的两个方面。
定义：
1 (r ) 4
b(r )dV V r r
1 A(r ) 4
c (r )dV V r r
则有
F (r ) (r ) A(r ) ( A) 0
两个零恒等式 0
以上表明：任一矢量场可以分解为两部分：一部分有散无旋， 另一部分有旋无散。前者可表示为一标量位函数的梯度，后 者可表示为一矢量位函数的旋度。
叉乘 — 切向
D 2n D 1n
B2n B 1n 0
n(D 2 D 1)
n(B2 B 1) 0
E
Β t
E2t E 1t 0 H2t H1t K
J2n J1n t D D 2n J2n J1n 1n t t