第一章 多组分反应流体的基本定律及基本方程

J i ——各种通量；
X k ——广义力；
9
Lik ——广义输运系数
四、广义输运定律
i=k
i=k
Lii ：主导输运系数，如粘性系数、导温系数、
扩散系数、导电系数等；
Lik
：交叉输运系数，如热扩散系数、浓差导热 系数、温差导电系数等。
* 对通常的有反应的气体系统，大多数情况下，交叉输运现象可以
不予考虑。
D ∂ ∂ = + vj Dt ∂t ∂x j
∂v j Dρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ ( ρv j ) = + vj = + −ρ Dt ∂t ∂x j ∂t ∂x j ∂x j
其中: 其中:
∂ ( ρv j ) ∂x j
∂ρ =ρ + vj ∂x j ∂x j
∂v j
且： ∂ρ + ∂ ( ρv j ) = 0
∫ ∑ρ
V
S
FS δV
FS ：单位质量的体积力
∴
23
∂pij D ρvi δV = ∫ ( + ∑ ρ S FSi )δV ∫V V ∂x Dt j
四、动量方程
取
ϕ = ρ vi
代入（ 代入（4）式，导出 ：
Dvi D ∫V ρviδV = ∫V ( ρ Dt )δV Dt
是任选的： 由于 V 是任选的：
（1）
15
D (δV ) ∂v j = δV ⋅ Dt ∂x j
（2）
一、Reynolds输运定理 输运定理
又全导数符号
D ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + vx + vy + vz = + vj Dt ∂t ∂x ∂y ∂z ∂t ∂x j
（3） ）
）（3）代入（ ） * （2）（ ）代入（1）得（4）式 即 Reynolds输运定理。 ）（ ） 输运定理
∂t ∂x j
∴ Dρ + ρ ∂v j = 0
Dt ∂x j
形式上与单组分气体的连续方程相同。 形式上与单组分气体的连续方程相同。
18
三、扩散方程（各组分质量守恒） 扩散方程（各组分质量守恒）
化学反应引起的 S组分质量的变化 扩散流
D Dt
S组分质量的变化
∫
V
ρYS δV + ∫ ρ SVSn dS + ∫ wS δV = 0 （*）
S V
控制体中的 变化率
扩散
化学反应
19
三、扩散方程（各组分质量守恒） 扩散方程（各组分质量守恒）
取 ϕ = ρ S = ρYS 由（4）式
DΦ D = Dt Dt
∫ ϕδV = Dt ∫
V
D
V
ρYS δV = ∫ [
V
∂ ( ρYS ) ∂ + ( ρYS v j )]δV ∂t ∂x j
∂ 由Gauss定理（散度定理）： ∫S ρ S VSn dS = ∫V ( ρ S VSj )δV Gauss定理（散度定理）： 定理 ∂x
∂v j DΦ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ (ϕ ⋅ v j ) δV = ∫ [ + = ( + vj )δV + ∫ ϕ ]δV （4） ） V V ∂t Dt ∫V ∂t ∂x j ∂x j ∂x j
16
二、连续方程（混合气质量守恒） 连续方程（混合气质量守恒）
取
ϕ=ρ
,
DΦ D = Dt Dt
∫
V
ρδV = 0
∂ρ ∂ ( ρ ⋅ v j ) + ]δV = 0 由（4）式 ， ∫V [ ∂t ∂x j
控制体）是任选的， 由于 V（控制体）是任选的，
∴
∂ρ ∂ ( ρ ⋅ v j ) + =0 ∂t ∂x j
17
二、连续方程（混合气质量守恒） 连续方程（混合气质量守恒）
由于（ 由于（3）式
j
= −∫
V
∂Y ∂ ( ρDS S )δV ∂x j ∂x j
（由Fick定律 Fick定律
J Sj = ρ S VSj = ρDS
∂YS ∂x j
）
代入（*）式： 任选： V 任选： ∴
∫[
V
∂ ( ρYS ) ∂Y ∂ ∂ + ( ρYS v j )]δV − ∫ ( ρDS S )δV + ∫ wS δV = 0 V ∂x V ∂t ∂x j ∂x j j
4
或
VS = v S − v
单位流通截面积） 三、物质流（单位流通截面积）
1．混合气总物质流
g = ρv
2．S组分物质流（相对于静止坐标系） ． 组分物质流 相对于静止坐标系） 组分物质流（
g S = ρ S v S = YS ρ v S = YS ρ (VS + v) = YS ρVS + YS ρ v = ρ S VS + YS ρ v
（ 连续方程
Fra Baidu bibliotek
= ρ(
21
∂ρ ∂ ( ρv j ) + =0 ） ∂t ∂x j
四、动量方程
动量变化率 = 表面力 + 体积力
有物理接触的，作用在表面上的力。 表面力 —— 有物理接触的，作用在表面上的力。 没有物理接触的超距作用力，如重力和静电力。 体积力 —— 没有物理接触的超距作用力，如重力和静电力。
2
一、相对浓度
1．S组分的质量相对浓度
ρS YS = ρ
XS = nS p V RT p S = S = n pV RT p
2．S组分的摩尔相对浓度 ． 组分的摩尔相对浓度
3．二者关系 ．
YS =
M ρ S nS M S = = XS S ρ nM M
或
M X S = YS MS
3
二、S组分的运动速度 组分的运动速度
∂ ( ρYS ) ∂Y ∂ ∂ + ( ρYS v j ) − ( ρDS S ) + wS = 0 ∂t ∂x j ∂x j ∂x j
20
三、扩散方程（各组分质量守恒） 扩散方程（各组分质量守恒）
∂ ( ρYS ) ∂Y ∂ ∂ + ( ρYS v j ) = ( ρDS S ) − wS ∂t ∂x j ∂x j ∂x j
时间变化率
牵连变化率 （对流项） 对流项）
）
扩散
化学反应 （源项） 源项）
又：
∂Y ∂ ( ρYS ) ∂ ∂ ( ρDS S ) − wS = + ( ρY S v j ) ∂x j ∂x j ∂t ∂x j =ρ =ρ ∂ ( ρv j ) ∂YS ∂Y ∂ρ + YS + YS + ρv j S ∂t ∂t ∂x j ∂x j ∂YS ∂Y ∂ρ ∂ ( ρv j ) ] + ρv j S + YS [ + ∂t ∂t ∂x j ∂x j DYS ∂YS ∂Y + vj S ) = ρ Dt ∂t ∂x j
14
一、Reynolds输运定理 输运定理
◆ 在
t
时刻， 时刻，控制体中该特征量的总和：
Φ (t ) = ∫ ϕ ( x i , t )δV =
V
∫ ϕδV
V
该量因运动而发生的对时间变化率， 真导数” 该量因运动而发生的对时间变化率，即 “真导数” ：
D Φ (t ) D Dϕ D (δV ) =∫ (ϕδV ) = ∫ δV + ∫ ϕ δV V Dt V Dt V Dt δV ⋅ Dt
∂ ( ρC P T ) ∂T = −a ∂x j ∂x j
J = −D
∂ρ S ∂x j
ν
a
—— 运动粘性系数，表征动量交换能力； —— 导温系数，表征热量交换能力；
D —— 扩散系数，表征质量交换能力。
12
五、输运系数之间的关系
无因次准则： 无因次准则：
普朗特数 施密特数 刘易士数 三者关系
Pr =
输运现象——温差导热、浓差扩散、电位差导电…… 温差导热、浓差扩散、电位差导电 输运现象 温差导热 交叉输运现象——温差导电、温差扩散、浓差导热… 温差导电、温差扩散、浓差导热 交叉输运现象 温差导电 即各组分扩散速度的总和不为0。 输运定律通式
J i = ∑ Lik X k
的含义： 的含义：
各种“力”都对某一通量有贡献。
Sc =
Le =
ν
a
ν
D
=
=
µC P λ
µ ρD
D ρC P D = a λ
Le =
Pr Sc
13
第二节
基本守恒方程
一、Reynolds输运定理 输运定理
◆
多组分气体中
控制体积V 控制体积V
表面积S 表面积S
◆
可为密度、 某一点的特征量 ϕ ( xi , t ) ——可为密度、动量、能量等。 可为密度 动量、能量等。
D ρvi δV Dt ∫V
1、动量变化率 2、表面力
∫
S
n ⋅ pdS = ∫ p n dS = ∫
S
∂pij ∂x j
V
δV
（奥高定理）
法线方向的单位向量； ：法线方向的单位向量；
表示与切应力作用平面相垂直的轴的方向， 表示力作用的方向。 ：应力张量，角标 i 表示与切应力作用平面相垂直的轴的方向， 角标 j 表示力作用的方向。 应力张量，
S
对混合气整体
7
单位流通截面积） 三、物质流（单位流通截面积）
结论： 结论：（3）
混合气中
ρ1 ≠ ρ 2 ≠ ρ 3 ≠ ⋯⋯
∴ ∑ JS
= 0 = ∑ ρ S VS ≠ ρ i ∑ VS ⇒ ∑ VS ≠ 0
各组分扩散速度的总和不为0 各组分扩散速度的总和不为0。
8
四、广义输运定律
◆ ◆ ◆
v
— 混合气相对于实验室坐标系的速度，即牵连速度。 混合气相对于实验室坐标系的速度，
组分相对于混合气的运动速度， 组分相对于混合气的运动速度 VS — S组分相对于混合气的运动速度，即扩散速度。 组分相对于实验室坐标系的速度： ∴ S组分相对于实验室坐标系的速度： 组分相对于实验室坐标系的速度
v S = VS + v
∴
结论： 结论：（1） g S ≠ J S
组分的物质流≠ 组分的扩散流。 即 S 组分的物质流≠S组分的扩散流。 中还包括牵连速度的影响） （∵ g S 中还包括牵连速度的影响）
6
单位流通截面积） 三、物质流（单位流通截面积）
结论： 结论：（2）
∑J
S
=0
即通过混合气微元体表面各组分扩散流的 总和为0 总和为0，因而扩散流的总和 ∑ J 运动无影响。 运动无影响。
N/㎡ W/㎡
J 1 j ——第一种组分相对于坐标的扩散流；
D12 ——组分1与2之间的双元分子扩散系数。
对于多元组分 设 D1 = D2 = D3 = ⋯ = DS = D 则
J Sj = − ρD
∂YS ∂x j
11
五、输运系数之间的关系
动量输运 热量输运 质量输运
τ = −µ
q = −λ
∂u ∂ ( ρu ) = −ν ∂x j ∂x j
10
四、广义输运定律
Newton粘性定律（动量交换） Fourier导热定律（热量交换） Fick定律（物质交换） 对双组分： J 1 j = − D12 ∂ρ1 = − D12 ∂( ρY1 ) = − ρD12 ∂Y1
∂x j ∂x j ∂x j
τ = −µ
q = −λ
∂u ∂x j
∂T ∂x j
3．S组分扩散流 ． 组分扩散流
J S = ρ S V S = YS ρ V S
5
单位流通截面积） 三、物质流（单位流通截面积）
混合气总物质流： 混合气总物质流： g = ρ v = ∑ g S = ∑ ρ S v S = ∑ ρ S VS + v∑ ρ S = ∑ J S + vρ
∴ ∑J
S
= ∑ ρ S VS = 0
D(δV ) D(δx ⋅ δy ⋅ δz ) D(δx) D (δy ) D (δz ) = = + + δV ⋅ Dt (δx ⋅ δy ⋅ δz ) Dt δxDt δyDt δzDt δ Dx δ Dy δ Dz = ( )+ ( )+ ( ) δx Dt δy Dt δz Dt δv δv y δv z ∂v x ∂v y ∂v z ∂v j = x+ + = + + = δx δy δz ∂x ∂y ∂z ∂x j
n 例如：表示作用在与 x 轴相垂直的平面（ yz平面 ）的 y 方向上的力。 例如： 轴相垂直的平面（ 平面 方向上的力。
22
pij
FS
四、动量方程
张量
张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广，标量是零阶张量， 张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广，标量是零阶张量， 矢量是一阶张量，矩阵（方阵）是二阶张量， 矢量是一阶张量，矩阵（方阵）是二阶张量，而三阶张量 则好比立体矩阵，更高阶的张量用图形无法表达。 则好比立体矩阵，更高阶的张量用图形无法表达。 3、体积力
∴
Dvi ∂pij ρ = + ∑ ρ S FSi Dt ∂x j
由广义牛顿粘性定律： pij = µ (
（
∂v j ∂xi
+
∂vi ∂v 2 ) − pδ ij − [ ( µ − µ ' ) i ]δ ij 3 ∂x j ∂x j
；i≠j时， i≠j时
单位张量， 单位张量 i=j时 δ ij —单位张量，i=j时， δ ij = 1 代入， 代入，得动量方程 ——
第一章 多组分反应流体的基本定律及基本方程
一、多组分气体的基本关系式
二、基本守恒方程
1
第一节
多组分气体的基本关系式
多组分气体： 一种以上燃料气、氧化剂、燃烧产物 多组分气体： 一种以上燃料气、氧化剂、 某一组分S 某一组分S
ρ = ∑ ρS
p = ∑ pS
n = ∑ nS
气体总质量密度
ρ = ∑ ρ S = ∑ nS M S = nM