线性代数- 二次型及其标准形

若 A与 B合同，则
3. 化二次型为标准形 对二次型 f x Ax 作可逆变换 x 相当于对对称阵 A 作合同变换；
T
Cy，
把二次型化成标准形相当于把对称阵 A用合 同变换化成对角阵(称为把对称阵合同对角化)， T 即寻找可逆阵 C , 使 C AC diag(k1 , k2 ,, kn ).
r
3 1 5 1 0 2 0 0 a 3
因为
f 的秩为2，所以 A的秩也为2，因而
a 3.
当a
3 时，A 的特征多项式为
1 5 3 3 3 3 0 3 3 0 3 3
5 A E 1 3
1 1 r1 r2 (4 ) 1 5 r1 (4 ) 3 3 1 0 (4 ) 1 6 3 6
说明
二次型的标准形正系数的个数称为二次型的 正惯性指数； 负系数的个数称为负惯性指数. 若二次型 f 的正惯性指数为
p ，秩为 r ，则
f 的规范形变可确定为
f y y y
2 1 2 p
2 p 1
y .
2 r
只有用正交变换把二次型化为标准形，标准 形的系数才是二次型矩阵的特征值.
T
T
二次型的矩阵 A满足：
⑴
⑵
A 的对角元 a ii 是 x
2 i
的系数；
A 的 ( i , j ) ( i j ) 元是 x i x j 系数的一半.
例如：二次型
f x 3z 4 xy yz .
2 2
f 的矩阵为
1 2 0 1 2 0 2 A 0 1 3 2
第六章 二次型及其标准形
定义 含有个变量 x1 , x2 ,, xn 的二次齐次函数
1. 二次型的定义
f ( x1 , x2 ,, xn )
a x a x a x
2 11 1 2 22 2 2 nn n
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3
2a23 x2 x3 2an1,n xn1 xn
( 4)( 9),
于是，A 的特征值为
1 0, 2 4, 3 9.
⑵ 由定理8知，必存在正交变换 x1 y1 x 2 P y2 , x y 3 3 其中P 为正交矩阵(不必具体求出)，使二次型 在新变量 y1 , y2 , y3 下称为标准形
i 1 j 1
x Cy
2 2 f (Cy) k1 y12 k2 y2 k n yn .
这种只含平方项的二次型称为二次型的标 准形(法式). 标准形的矩阵是对角阵. 特别地，如果标准形中的系数 k i只在 1,1,0 三个数中取值，那么这个标准形称为二次型 的规范形.
三、化二次型为标准型
f 4y 9y .
2 2 2 3
于是，曲面 f ( x1 , x2 , x3 ) 1
2 2 g( y1 , y2 , y3 ) 1 4 y2 9 y3 1. 这表示准线是 y2Oy3平面上椭圆、母线平行于 y1 轴的椭圆柱面.
x1 x1 x2 x 3
y1 P y2 y 3
y1
x3
x2 y2
2 2 2 3
y3
5 x 5 x ax 2 x1 x2
2 1
6 x1 x3 6 x2 x3 1
2 2 4 y2 9 y3 1
三、惯性定理
定理9 (惯性定理) 设有二次型 f 的秩为 r ，有两个可逆变换 x Cy 及 x Pz 使
⑶ 求 A的两两正交的单位特征向量
对应 1 1 ，解方程 ( A E ) x 0 ，由 2 1 1 1 0 1 r A E 1 1 0 0 1 1, 1 0 1 0 0 0
1 得基础解系为 1 1 , 1 1 1 将其单位化，得 p1 1 ; 3 1
解 析：此题的目的是熟悉惯性定理，用惯性 定理解题.
应选(B)，理由是:
A 的特征值 1 1, 2 1, 3 3， 于是可知， A 所对应的二次型的正惯性指数 为 p 2 ；负惯性指数为 q 1 .
容易求得 合同的二次型应有相同的正、负惯性指数，
故选(B).
例5 下列矩阵中，与矩阵
0 1 2 1 2
2 6 1 6 1 6
则 P 为正交阵，于是，经正交变换
x y z x' P y' z'
原二次型化为标准形 f x'2 2 y'2 4 z'2 .
例1+：求一个正交变换 x = P y ，把二次型 f = －2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 化为标准形（规范形）．
B C AC , 则称矩阵 A 与 B 合同.
说明
合同关系是一个等价关系. 对称阵一定合同相似于一个对角阵. 设A 与 B 合同，若 A 是对称阵，则 B 也对称阵.
R( A) R( B ) . 经可逆变换 x Cy 后，二次型的矩阵由 A变 T 为与 A 合同的矩阵 C AC , 且二次型的秩不变.
于是
1 2 0 x 1 f ( x , y , z ) 2 0 2 y . 0 z 1 3 2
二、二次型的标准形
二次型研究的主要问题是： 寻找可逆变换
n
x Cy，使
n
f ( x ) aij xi x j
推论 任给二次型
有可逆变换
x Cz ，使 f (Cz)为规范形.
f x Ax( A A) ，总
T T
即任何二次型都可用可逆变换化为规范形.
推论 任给二次型
有可逆变换
x Cz ，使 f (Cz)为规范形.
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f x Ax( A A) ，总
T T
即任何二次型都可用可逆变换化为标准形. 4. 用正交变换化二次型为标准形的步骤： ⑴ 写出二次型的矩阵 A； ⑵ 求出 A的特征值； ⑶ 求出 A的两两正交的单位特征向量；
2 得基础解系为 3 1 , 1 2 1 将其单位化，得 p3 1 . 6 1
⑷ 写出正交矩阵和二次型的标准形 令矩阵
P ( p1 , p2 ,
p3 )
1 3 1 3 1 3
1 2 0 A 2 1 0 0 0 1 合同的矩阵是哪一个？为什么？
1 1 ( A) 1 ; ( B) 1 ; 1 1 1 1 (C ) 1 1 ; ( D ) ; 1 1
对应 2 2 ，解方程 ( A 2 E ) x 0 ，由 1 1 1 1 0 0 r A 2E 1 0 0 0 1 1 , 1 0 0 0 0 0
0 得基础解系为 2 1, 1
3 1 1 A 1 2 0 1 0 2
⑵ 求 A的特征值
3 1 1 A E 1 2 0 1 0 2 3 1 0 2 2 0 1 0 2
( 1)( 2)( 4)
由 A E 0 ，求得
A的特征值为 1 1, 2 2, 3 4.
一、正定二次型的概念
定义 设有二次型
f x Ax ( A A) ，
T T
x Ax ，它
T
2 2 f k1 y1 k 2 y2 kr yr2 , ( ki 0), 2 2 及 f 1 y1 2 y2 r yr2 , (i 0),
则 k1 , k2 ,, kr 中正数的个数与 1 , 2 ,, r 中
正数的个数相等. （证明：P275 Th6.3）
例2 已知二次型
f 5 x 5 x ax 2 x1 x2 6 x1 x3 6 x2 x3
2 1 2 2 2 3
的秩为2. ⑴ 求参数 a 以及此二次型对应矩阵的特征值； ⑵ 指出 f ( x1 , x2 , x3 ) 1 表示何种曲面. 解 ⑴ 二次型
f 的矩阵
5 1 3 A 1 5 3 3 3 a
例5 下列矩阵中，与矩阵
1 2 0 A 2 1 0 0 0 1 合同的矩阵是哪一个？为什么？
1 1 ( A) 1 ; ( B) 1 ; 1 1 1 1 (C ) 1 1 ; ( D ) ; 1 1
f x Ax( A A) , 总 存在正交变换 x Py，使 f 化为标准形 2 2 2 f 1 y1 2 y2 n yn ,
定理8 任给二次型
T T
其中 1 , 2 ,, n是 f 的矩阵 A 的特征值.
即任何二次型都可用正交变换化为标准形. （主轴定理，P262 Th6.1）
⑷ 用 P 表示在中⑶求得的特征向量构成的矩 阵，写出所求的正交变换 x Py 和二次型 的标准型.
例1 已知二次型
f ( x, y, z ) 3 x 2 y 2z 2 xy 2zx ,
2 2 2
用正交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相 应的正交矩阵. 解 析：此题是一道典型例题. 目的是熟悉用正 交变换化二次型为标准形的“标准程序”. ⑴ 写出二次型对应的矩阵 二次型 f 对应的矩阵为
⑷ 用 P 表示在中⑶求得的特征向量构成的矩 阵，写出所求的正交变换 x Py 和二次型 的标准型.
将对称阵正交相似对角化的步骤：
(1)求特征值； (2)求两两正交的单位特征向量；
(3)写出正交矩阵和对角阵.
4. 用正交变换化二次型为标准形的步骤： ⑴ 写出二次型的矩阵 A； ⑵ 求出 A的特征值； ⑶ 求出 A的两两正交的单位特征向量；
0 1 将其单位化，得 p2 1 ; 2 1
对应 3 4，解方程 ( A 4 E ) x 0 ，由 1 1 1 1 0 2 r A 4E 1 2 0 0 1 1 , 1 0 0 0 0 2
称为二次型. (二次齐次多项式) 数 a ij 为实数时， f 称为实二次型.
当系数 a ij 为复数时， f 称为复二次型；当系
3. 二次型的矩阵表示式
f x Ax,
T
——二次型的矩阵表示式
其中 A为对称阵： A
T
A.
说明
对称阵与二次型一一对应；
若 f x Ax ( A A)，则对称阵 A 称为 二次型 f 的矩阵；二次型 f 称为对称阵 A的 二次型；
1. 经可逆变换后，新旧二次型的矩阵的关系：
f x Ax
T
x Cy
f y By
T
因为有
f x Ax T (Cy) A(Cy)
T
T T
y (C AC ) y, T 所以 A与 B 的关系为： B C AC .
2. 矩阵的合同关系 定义 设 A和 B 是 使
T
n 阶矩阵，若有可逆矩阵 C ，