非饱和土一维固结的半解析解

文章编号:100020887(2010)022*******Ζ应用数学和力学编委会,I SS N 100020887

非饱和土一维固结的半解析解

3

秦爱芳

1

,　孙德安1,　谈永卫

2,3

(1.上海大学土木工程系,上海200072;(2.同济大学地下建筑与工程系,上海200092;

3.同济大学岩土及地下工程教育部重点实验室,上海200092)

(郭兴明推荐)

摘要:　首先对Fredlund 的非饱和土一维固结理论进行简化,由得到的液相及气相的控制方程、

Darcy 定律及Fick 定律,经Lap lace 变换及Cayley 2Ha m ilt on 定理构造了顶面状态向量与任意深度处

状态向量间的传递关系;通过引入边界条件,得到了大面积瞬时加荷情况多种边界条件下Lap lace 变换域内的超孔隙水压力、超孔隙气压力及土层沉降的解;采用Cru mp 方法编制程序实现Lap lace 逆转换,得到了时间域内的超孔隙水压力、超孔隙气压力、土层沉降的半解析解;引用典型算例,对单面排水排气情况,与已有的解析解进行对比,验证其正确性;对单面排气不排水情况,与差分法结果进行对比进一步证明半解析解的正确性,并进行固结特性分析.该研究对非饱和土一维固结的研究具有重要的意义.

关　键　词:　一维固结;　非饱和土;　超孔隙水压力;　超孔隙气压力;　半解析解中图分类号:　T U44 文献标志码:　A

DO I :10.3879/j .issn .100020887.2010.02.009

引 言

国外从20世纪60年代开始研究非饱和土固结问题,典型的有B light [1]

,Scott [2]

,Bar 2den [3],Fredlund 等[425]等提出的固结方程.20世纪90年代非饱和土固结问题是国内非饱和土

力学研究的热点,Yang (杨代泉)[6]、陈正汉[728]、Shen (沈珠江)[9]、殷宗泽[10]

等曾先后研究过非饱和土的固结理论,并提出了各自的见解.在非饱和土固结理论中比较完善也具有权威性的

是Fredlund [5]固结理论.秦爱芳等[11]

基于Fredlund 的非饱和土一维固结理论得到了大面积均布瞬时加载下顶面为透水透气面,底面为不透水不透气(单面排水排气)边界条件下非饱和土层一维固结的解析解.对于简单荷载及边界条件的Lap lace 逆变换问题,可直接利用Lap lace 变换表得到逆变换的解析表达式,而对于大部分荷载及边界条件(如以上荷载的其它边界条件),Lap lace 变换下的表达式极其复杂,难以直接进行Lap lace 逆变换得到其解析解,需要通过数值方法进行逆变换.本文对大面积均布瞬时加载的多种边界条件,首先推导出Lap lace 变换域内的超孔隙水压力、超孔隙气压力及土层沉降的解,然后采用Crump 方法编制程序实现La 2p lace 逆转换,得到其半解析解.这种半解析解方法避免了直接Lap lace 逆变换的困难,并可向

9

91　应用数学和力学,第31卷第2期　2010年2月15日出版

App lied Mathe matics and Mechanics

Vol .31,No .2,Feb .15,2010

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收稿日期:　2009206208;修订日期:　2009212228

作者简介:　秦爱芳(1966—),女,山西人,副教授,博士生(联系人.Tel:+86221256336014;

E 2mail:qinaifang@21cn .com ).

多种荷载及多种边界条件拓展,这一研究将对非饱和土一维固结的研究具有重要的意义.

1　半解析解的求解

1.1　对F red lund 固结方程的简化

假定在Fredlund 一维固结的基本控制方程中液体及气体的渗透系数为常数;假定固结过

程中发生的应变为小应变.1.2　顶面状态向量 X (0,s )与任意深度处状态向量 X (z,s )间的传递关系基于Fredlund 的一维非饱和土固结液相控制方程及简化气相的控制方程、Darcy 定律及Fick 定律,经Lap lace 变换及Cayley 2Ha m ilt on 数学方法构造的顶面状态向量 X (0,s )与任意深

度处状态向量 X (z,s )间的传递关系如下[11]

:

X (z,s )=T (z,s ) X (0,s )+S (z,s ),(1)其中

T =

T 11

T 12T 13T 14T 21T 22T 23T 24T 31T 32T 33T 34T 41

T 42

T 43T 44,S =

S 1

S 2S 3S 4

.

当z =H 时, X (z,s )可表达成

u a (H,s )

u w (H,s )

J a (H,s )

v w (H,s )=

T 11T 12T 13T 14T 21T 22T 23T 24T 31T 32T 33T 34T 41

T 42

T 43

T 44

z =H

u a (0,s ) u w (0,s )

J a (0,s )

v w (0,s )

+

S 1S 2S 3S 4

z =H

,

(2)

T 11～T 44及S 1～S 4同文献[11].

1.3　边界和初始条件

以下列两种边界条件为例:

边界条件1　顶面排水排气,底面不排水不排气

u a (0,t )=u w (0,t )=0,5u a (H,t )5z =5u w (H,t )

5z

=0,

u a (z,0)=u 0

a ,u w (z,0)=u 0

w ,

(3)

其中,u 0

a 和u 0

w 为t =0时刻由荷载引起的初始超孔隙气和初始超孔隙水压力.

边界条件2　顶面排气不排水,底面不排水不排气

u a (0,t )=0,

5u a (H,t )5z =5u w (H,t )5z =5u w (0,t )

5z

=0,

u a (z,0)=u 0

a ,u w (z,0)=u 0

w .

(4)

1.4　Lap l ace 变换下的解 X (z,s )

边界条件1　顶面排水排气,底面不排水不排气

将式(3)代入式(2),可以得到

002秦　爱　芳 孙　德　安 谈　永　卫