高三数学多面体和球1.docx

沙城中学补习班数学第一轮复习教案 编录：刘世亮
第 65 讲：多面体和球
主要知识及主要方法：
1.每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体 .
2. 正多面体有且只有 5 种. 分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体 .
3.简单多面体： 考虑一个多面体， 例如正六面体， 假定它的面是用橡胶薄膜做成的， 如果充以气体， 那么它就会连续 （不
破裂）变形，最后可变为一个球面
. 如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做
简单多面体 .
说明： 棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体
4. 球的概念： 与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球 定点叫球心，定长叫球的半径 与定点距离
等于定长的点的集合叫做球面 . 一个球或球面用球心的字母表示。

5. 球的性质 ：
（ 1）平面截球所得的截面是圆
. 球面被经过球心的平面截得的圆叫做
大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做
小圆。

（ 2）球心和球面圆心的连线垂直于截面；
（ 3）球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 的关系： r R 2 d 2
（ 4）地球上的径度是个二面角，纬度是个线面角。

6. 两点的球面距离： 经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度， 叫做两点的 球面距离 . l
R ( 为球心角 的弧度数 ).
7.球的表面积和体积公式：
S 4 R 2
，V 34 R 3.
基础 1. 正方体的全面积为
24，球 O 与正方体的各棱均相切，球
O 的体积是
（ D
自测
A.
4
B.4 3
C.86
D. 8 2
3
3
2. 把边长为
2 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角，折成直二面角后，在
A ，
B ，
C ，
D 四点所在的球面上，
B 与 D 两点之间的球面距离为
（ C
A.
2
B.
C.
2
D.
3
3. 球面上有三点， 任意两点的球面距离都等于大圆周长的
1/6 ，经过这三个点的小圆周长为 4 ，那么这个球的半径为 （ B ）
A.4 3
B. 2 3
C.2
D. 3
4. 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是 9
.
典例剖析
例1
已知在多面体 ABCDEFG 中， AB 、AC 、 AD 两两互相垂直，平
面
ABC ∥平面 DEFG ，
平面 BEF ∥平面 ADGC ， AB=AD=DG=2， AC=EF=1，则这个多面体的体积为
（
B
A.2
B.4
C.6
D.8
例 2 ①已知过球面上三点 A 、B 、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且
AC=BC=6， AB=4，则球的半径等于
3 6/2
，球的表面积等于
54
.
②设球 O 的半径
是 1，A 、B 、C 是球面上三点， 已知 A 到 B 、C 两点的球面距离都是
90 ，且二面角 B —OA —C 的大小为 60 ，
则从 A 点沿球面经 B 、 C 两点再回到 A 点的最短距离是（ C
A.
7
6
B. 5
4
C. 4
3
D. 3
2
例 3①P 、 Q 为斜三棱柱相对棱上的点，若
AQ=PC ，则多面体 B —ACPQ 的体积是三棱柱体积的
（ B
1
A.
1
B.
1
C. 2
D.
3
2
3
3
4
②设 A 、B 、C 、D 是球面上的四个点，且在同一平面内， AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的
体积是
（ A
A.86
B.64 6
C. 24 2
D. 72
2
③长方体 ABCD —A B C D 的 8 个顶点在同一个球面上，且
AB=2，AD= 3 ，AA=1，则顶点 A 、B 间的球面距离是 （
C ）
1
1
1 1
1
A.2 2
B. 2
C.
2 D.
2
2
4
④长方体 ABCD —A 1B 1C 1 D 1 的各顶点都在球 O 的球面上，其中 AB ∶AD ∶AA 1=1∶1∶ 2 ， A 、B 两点的球面距离记为 m ，A 、
D 1 两点的球面距离记为 n ，则 m : n 的值为 1 ： 2 .
例 4 已知三棱锥 P —ABC 中， E 、F 分别是 AC 、AB 的中点，△ ABC 、△ PEF 都是正三角形， PF ⊥AB.
（1）证明： PC ⊥平面 PAB
2）求二面角 P —AB —C
（3）若点 P 、A 、 B 、 C 在一个表面积为 12 的球面上，求△ ABC 的边长 .
（1）证明 连结 CF ，∵ PE=EF
= 1 BC= 1
AC ，∴ AP ⊥PC.
2
2
∵ CF ⊥AB ，PF ⊥AB CF ∩PF=F.
∵ PC 平面 PCF
PC ⊥ AB.
（ 2）方法一 ∵AB ⊥PF ，AB ⊥CF
设 AB=a ，则 PF=EF= a
，CF= 3
a .
22
AB ⊥平面 PCF.
AP ∩ AB=A
PC ⊥平面 PAB.
PFC 为所求二面角的平面角 .
cos ∠PFC=
3
.
3
方法二 设 P 在平面 ABC 内的射影为 O. PAF ≌△ PAE ，∴△ PAB ≌△ PAC 得 PA=PB=PC ，于是 O 是△ ABC 的中心 . PFO 为所求二面角的平面角 .
设 AB=a ，则 PF= a ，OF= 1 ·
3
a .
cos ∠PFO=
OF
3 .
2 3 2
PF
3
（ 3）方法一 设 PA=x ，球半径为 R. PC ⊥平面 PAB ， PA ⊥ PB ，∴ 3x =2R.
∵4 R 2=12 ，∴ R=
3 ，得 x=2. ABC 的边长为 2 2 .
方法二 延长 PO 交球面于 D ，则 PD 是球的直径 . 连结 OA 、AD ，得△ PAD 为直角三角形，设 AB=x ，球半径为 R.
4 R 2
=12
，∴PD=2 3
PO=OFtan ∠PFO=
6 x ，OA= 2
· 3 x
6 3 2
2
∴ 3
x
6
x 2 3
6
x ，于是 x=2
2 .
ABC 的边长为 2 2 .
3
6
6
例 4 如图，三个12×12 cm 的正方形，都被连结相邻两边中点的直
线分成 A、B 两片〔如图（ 1）〕，把 6 片粘在一个正六边形的外面〔如图（ 2）〕，然后折成多面体〔如图（ 3）〕，求此多面体的体积 .
解法一：补成一个正方体，如图甲， V=1
V 正方体=
1
×123=864 cm3. 22
甲乙
解法二：补成一个三棱锥，如图乙，
3 V=V 大三棱锥－3V 小三棱锥=86
4 cm .
解法三：如图（ 3）7 设 C 是所在棱的中点，截面CDE 把几何体截成两部分，沿体的下一半 .
C E
D
DE 把上部分翻转过来可拼成正方
例 5 已知球的半径为R ，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大?侧面积的最大值是多少 ?。