无穷小的比较
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第七节 无穷小的比较
教学目的：使学生掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 教学重点：用等价无穷小求极限 教学过程： 一、讲授新课：
在第三讲中我们讨论了无穷小的和、差、积的情况，对于其商会出现不同的情
况，例如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>∞
<==⋅=-→→n
m n m n
m b a b a x x b x a m n x m n
x 0
lim lim 0000
0000 （00,b a 为常数，n m ,为自然数）
可见对于n m ,取不同数时，n x a 0与m x b 0趋于0的速度不一样，为此有必要对无穷小进行比较或分类：
定义：设α与β为x 在同一变化过程中的两个无穷小，
(i) 若0lim =α
β
，就说β是比α高阶的无穷小，记为)(αβo =； (ii) 若∞=αβ
lim ，，就说β是比α低阶的无穷小；
(iii) 若0lim ≠=C αβ
，，就说β是比α同阶的无穷小；
(iv) 若1lim
=α
β
，就说β与α是等价无穷小，记为βα~。 【例1】
当0→x 时，2x 是x 的高阶无穷小，即)(2x o x =；反之x 是2x 的低阶无穷小；2x 与x cos 1-是同阶无穷小；x 与x sin 是等价无穷小，即x x sin ~。
注 1：高阶无穷小不具有等价代换性，即：)(),(22x o x x o x ==，但)()(x o x o ≠，
因为)(⋅o 不是一个量，而是高阶无穷小的记号； 2：显然(iv)是(iii)的特殊情况；
3：等价无穷小具有传递性：即γαγββα~~,~⇒；
4：未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当0→x 时，x
x 1
sin 与2x 既非同
阶，又无高低阶可比较，因为2
01sin
lim
x x x x →不存在； 5：对于无穷大量也可作类似的比较、分类；
6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有：
定理：若βαβα'',,,均为x 的同一变化过程中的无穷小，且ββαα''~,~，及∃'
'
αβlim ，
那么αβαβ'
'
=∃lim lim 。
【例2】 求x
x
x 20sin cos 1lim -→。
解：因为当0→x 时，x x ~sin
所以 21
cos 1lim sin cos 1lim 2
020=-=-→→x x x x x x 。
【例3】 求x
x x
x 22arcsin lim 20+→
解：因为当0→x 时，x x 2~2arcsin ，
所以 原式12
2
22lim 22lim 020==+=+=→→x x x x x x 。
7：在目前，常用当0→x 时，等价无穷小有：
22
1
~cos 1,~arctan ,~arcsin ,~tan ,~sin x x x x x x x x x x -；
8：用等价无穷小代换适用于乘、除，对于加、减须谨慎！ 二、课堂练习： 三、布置作业：
第七节 无穷小的比较
教学目的：使学生掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 教学重点：用等价无穷小求极限 教学过程： 一、讲授新课：
在第三讲中我们讨论了无穷小的和、差、积的情况，对于其商会出现不同的情
况，例如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>∞
<==⋅=-→→n
m n m n
m b a b a x x b x a m n x m n
x 0
lim lim 0000
0000 （00,b a 为常数，n m ,为自然数）
可见对于n m ,取不同数时，n x a 0与m x b 0趋于0的速度不一样，为此有必要对无穷小
进行比较或分类：
定义：设α与β为x 在同一变化过程中的两个无穷小，
(v) 若0lim =α
β
，就说β是比α高阶的无穷小，记为)(αβo =； (vi) 若∞=αβ
lim ，，就说β是比α低阶的无穷小；
(vii) 若0lim ≠=C αβ
，，就说β是比α同阶的无穷小；
(viii) 若1lim =α
β
，就说β与α是等价无穷小，记为βα~。 【例1】
当0→x 时，2x 是x 的高阶无穷小，即)(2x o x =；反之x 是2x 的低阶无
穷小；2x 与x cos 1-是同阶无穷小；x 与x sin 是等价无穷小，即x x sin ~。
注 1：高阶无穷小不具有等价代换性，即：)(),(22x o x x o x ==，但)()(x o x o ≠，
因为)(⋅o 不是一个量，而是高阶无穷小的记号； 2：显然(iv)是(iii)的特殊情况；
3：等价无穷小具有传递性：即γαγββα~~,~⇒；
4：未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当0→x 时，x
x 1
sin 与2x 既非同
阶，又无高低阶可比较，因为201sin
lim x
x x x →不存在； 5：对于无穷大量也可作类似的比较、分类；
6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有：
定理：若βαβα'',,,均为x 的同一变化过程中的无穷小，且ββαα''~,~，及∃'
'
αβlim ，
那么αβαβ'
'
=∃lim lim 。
【例2】 求x
x
x 20sin cos 1lim -→。
解：因为当0→x 时，x x ~sin
所以 21
cos 1lim sin cos 1lim 2020=-=-→→x
x x x x x 。