推导圆锥曲线的极坐标方程
圆锥曲线的极坐标方程介绍
节故所求椭圆方程为 x2 y2 1 ． 36 27
肀（II）记椭圆的右顶点为 A ，并设 AFPi i （ i 1，2，3），不失一般性，
莇假设 0 ≤1
2 3
，且 2
1
2 3
，3
1
4 3
．
螆又设点
Pi
在l
上的射影为 Qi
，因椭圆的离心率 e
c a
1 2
，从而有
蚃 FPi
PiQi
e
a2 c
来确定：
肄作射线 OM（如图二）使 XOM ，在 OM 的反向延长线上 P 点，使| OP || | ， 那么 P 点就是极坐标是（ ， ）的点 ( 0) ．
蒈
羅l
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。3
命运如同手中的掌纹，无论多曲折，终掌握在自己手中。
艿 袃O
芆M 莀X
芃 P(, ) ( <0)
命运如同手中的掌纹，无论多曲折，终掌握在自己手中。
袀(22) (本小题满分 12 分)如图，中心在原点 O 的椭圆的右焦点为 F（3，0），右准线的 方程为：x = 12。 羇（1）求椭圆的方程；
薃（2）在椭圆上任取三个不同点 P1 , P2 , P3 ，使 P1FP2 P2 FP3 P3 FP1 ，证明
袇这就是圆锥曲线的极坐标方程．
膃注意：对于椭圆和双曲线的一支，有 p b2 (b, c 0) ．然而对于抛物线，其中的 p c
即为抛物线标准方程 y2 2 px( p 0) 中的 p ．
虿下面我们就可以使用极坐标方程的方法很容易的解出重庆市０７年高考最后一题的 第二问．
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。3
莃Q 肂
肁 蒃p 袂G 蒇F
附录圆锥曲线的极坐标方程
一、以焦点F为极点，以对称轴为极轴的极坐标系：
建立如图所示的极坐标系，
则圆锥曲线有统一的极坐标方程
M(ρ,θ)
ep 1ecos
F
x
注1：椭圆(双曲线)的焦参数 p b 2
c
注2：若AB为焦点弦，则
2ep
|AB|1e2co2s ;
1 1 2 | AF| |BF| ep
41 2co 2 s1 2si2n1
整理得
1
2 1
23sin2
42 2 c2 ( o 9 s0 ) 02 2 s2 i( n 90 ) 0 1
即
1
2 1
1
22
3
,故O到直线MN的距离为
1
22
13s
in2
3 |OM||ON| 12 1 1
| MN|
2 1
22
2 1
22
(7)(课本P：15 Ex6)已知椭圆的中心为O,长轴、短轴的
极坐标与直角坐标的互化
①互化的三个前提条件：
（1）极点与直角坐标系的原点重合 （2）极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合 （3）两种坐标系的单位长度相同 ②互化方法：
（1）形法： 类似于辅助角公式中，用形法求振幅及辅助角
（2）数法：
x2 y2 2
x cos
y
sin
sin
y
cos
x
tan
即普通方程与极坐标方程的互化
一、以焦点F为极点，以对称轴为极轴的极坐标系：
建立如图所示的极坐标系， 其中 l 是准线， FKP 由圆锥曲线的统一定义得
MF e
MA
A
M()
K
圆锥曲线极坐标方程
2 ep 1 e co s
2 2
圆锥曲线的统一极坐标方程的应用
• .写出下列圆锥曲线统一的极坐标方程 : 2 2 • （1）
x
2
y
1
4
• （2）
3
y 4x
• 2. 已知椭圆
3 2 co s
，求：
• （1）椭圆左右顶点的极坐标；
• （2）椭圆上极角 3 为的点对应的极径；
2
y
2
1
5
4
• 的左焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交 于A、B两点，O为坐标原点，求△OAB的 面积．
1 F P1
1 FP
2
1 FP3
• 为定值，并求此定值．
例题3：(2005年全国高考理改编) x y 1 已知F点为椭圆 2 的左 焦点.过F点的直线L与椭圆交于P、 Q两点，过F且与L1垂直的直线L2 交椭圆于M、N两点，求四边形 PMQN面积的最小值和最大值.
2 2
• 例题4：08年海南卷）过椭圆 x
圆锥曲线极坐标方程的应用
四川省阆中中学高2010级数学组
一、圆锥曲线的统一极坐标方程
ep 1 e co s
e 1
• 说明:1.圆是以左焦点为极点，抛物线是以焦点为极 点，而双曲线是以右焦点为极点，极轴方向与 轴同方向．
• 可以中心为极点建立极坐标系吗？ • 以原点为极点，极轴与轴同方向，可以用 直角坐标与极坐标的转化公式直接转化即 2 可．标准方程 x 2 转化为极坐 y 2 1 2 a b • 标方程
• （3）过左焦点，倾斜角
为的弦的长度.
3
• 例题2：(2007重庆理改编)如图，中心在原
圆锥曲线的极坐标方程
圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线的统一定义：一动点P 到一定点O 的距离与到一定直线L 的距离之比为一定值常数e ，则点P 的轨迹为圆锥曲线。
今以一定点O 为极点，使极轴垂直于定点的直线L ，交点为H ，L PD ⊥.设p HO =，又设),(θρP 为轨迹上任意一点，即θρcos +=HO DP ，从而θρρcos +==p DPOP e ，即θρcos 1e ep -=椭圆（双曲线）的焦参数cb p 2=（极和极线的距离）椭圆、双曲线、抛物线的统一的极坐标方程为：θρcos 1e ep-=（如右图）其中02>=cb p 是定点F 到定直线的距离， 当10<<e 时，方程表示椭圆；当1>e 时，方程表示双曲线，若0>ρ，方程只表示双曲线右支，若允许0<ρ，方程就表示整个双曲线；（几何画板演示实例，展示交点弦长表示的统一特征）。
当1=e 时，方程表示开口向右的抛物线。
引论:（1）若θρcos 1e ep+=当10<<e 时，方程表示极点在右焦点上的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在左焦点的双曲线，若0>ρ，方程只表示双曲线左支，若允许0<ρ，方程就表示整个双曲线；（几何画板演示实例，展示交点弦长表示的统一特征）。
当1=e 时，方程表示开口向左的抛物线。
（2）若θρsin 1e ep-=10<<e 时，方程表示极点在下焦点的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在上焦点上的双曲线，当1=e 时，方程表示开口向上的抛物线。
（3）1sin ep e ρθ=+当10<<e 时，方程表示极点在上焦点的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在下焦点的双曲线，当1=e 时，方程表示开口向下的抛物线。
整体对比：θρcos 1e ep -=θρcos 1e ep +=θρsin 1e ep-=θρsin 1e ep +=例题：一、二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程θρcos 3510-=表示的曲线的离心率，焦距，长短轴长。
最新圆锥曲线的统一极坐标方程
欢迎来主页下载---精品文档§3. 8 圆锥曲线的统一极坐标方程一、教学目标（一）知识教学点掌握三种圆锥曲线的统一极坐标方程，了解统一方程中常数的几何意义．（二）能力训练点会根据已知条件求三种圆锥曲线的极坐标方程，能根据圆锥曲线的统一极坐标方程进行有关计算．（三）学科渗透点通过建立三种二次曲线的统一极坐标方程，对学生进行辩证统一的思想教育．二、教材分析1．重点：圆锥曲线统一的极坐标方程，会根据条件求出圆锥曲线的统一极坐标方程．2．难点：运用圆锥曲线统一的极坐标方程解决有关计算问题．3.疑点：双曲线左支所对应的B范围，双曲线的渐近线的极坐标方程.三、活动设计1.活动：思考、问答、讨论.2.教具：尺规、挂图.四、教学过程（一）复习大家已经学过，椭圆、双曲线、抛物线有两种几何定义，其中，第二定义把三种圆锥曲线统一起来了，请回忆后说出三种圆锥曲线的第二定义.学生1 答：列定点F（焦点）的距离与列定直线1（准线）的距离比是一个常数e（离心e€ （0, 1）时椭圆，e€ （1 , f）时双曲线，e=1 时抛物线.（二）建立统一方程在极坐标系中，同样可以根据圆锥曲线的几何定义，求出曲线的极坐标方程.过F作FK丄I于K，以F为极点，KF延长线为极轴，建立极坐标系.设M（p , 0 ）是曲线上任一点，连MF，作MA丄I于A, MB丄I于B（如图3-24）.|FKP常埶设为丛■/ |MA|=|BKHKF|+|FBb|MA|=p+ p cos 0 .P… ------- - ----- =e*p + P cos y p - 2E1-ecos 9 “这就是圆锥曲线统一的极坐标方程・（三）深入理解对圆锥曲线的统一极坐标方程，请思鲂论并深入了解下述几个要点上⑴必须以収曲线右焦点和隔画的左焦点为极点，0掘轴育向向右，尚若0叢方向向左，其方程如何？（讨论后浮生2答；无需重新求方程，只须两个极坐标系与0址之间的坐标关系作坐标荐换（图3-25）.p 7= P,1 0 J= 2k Tl + Jl + 9 .L此时方程为p ‘ =. ep,仅改了一个符号.(2)根据统一的极坐标育程，由几何条件求出b p后即可写出曲线的极坐标育程，这要明确気p的几何意义分别是离心率和焦准距(弧为通径一半).但是，对方程P =--------------- --- 血、n. s>0),如何求曲线的m-ncos o有关几何量e, p, a. b, c?（讨论后）学生3答zn s_ * —原方程即P =;"・1----- c os 9m此式为统一极坐标方程的标准式n ce ——=—m 日S a ap = —= —- c = — cn c e这里，及时#-=-代换，可以回避解关于& c的二次方程，而c e得刮一个二元一次方程组，便问题的计算得以简化.⑶对方程P 显然有1-ecos走（0，1）时，表橢圆.B1时，表抛物线.e^（l»+00购，表収曲线*但注意到・巴＞1时1 l-ecos0 =^0关于R有解，而駅A0,这样。
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式good
圆锥曲线的极坐标方程知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θρcos 1e ep-=.其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.引论（1）若 1+cos epe ρθ=则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线（2）圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，1、椭圆中，cb c c a p 22=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=.2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。
）若M 、N 在双曲线同一支上，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=； 若M 、N 在双曲线不同支上，2222cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ.3、抛物线中，θθπθ2sin 2)cos(1cos 1pp p MN =--+-=例1过双曲线22x y -145=的右焦点，引倾斜角为3π的直线，交双曲线与A 、B 两点，求AB ｜｜解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系 即得 所以 又由得 注释：求椭圆和抛物线过焦点的弦长时，无需对 v 加绝对值，但求双曲线的弦长时，一定要加绝对值，这是避免讨论做好的方法。
圆锥曲线极坐标的统一形式
另解：由
10
5 3 cos
，令
0， 1
10 53
5
令
，2
10 53
5 4
2a
1
2
5 4
5
25 4
2 1
·O
x
a c a c
5 5
4
2 a 2c
பைடு நூலகம்
25
4 15
e
3， 5
b
5 2
4
方 程 表 示 椭 圆e的 3， 离焦 心 1距 5， 率
5
4
长 轴2长 5， 短 轴 5. 长 4
两种特殊的极坐标方程
1. r
P()
O· r
x
2.2acos
P()
O M (a·,0)
x
3.2asin
M
(a,
2
)
·
P()
O
x
4 .20 2 20c o s (0 ) r2
(1)0＝0，0
rP(a)时
r
， 2acos
(2)0＝2，0
0 r
M(00)
a时 ， 2as
in
(3)0＝0，0 0 0时 ， r
表示椭圆
1 cos sin 如图建立坐标系，设圆锥曲线
上任一
2 1
2 1
(允许 表示整个双曲线)
过焦点的弦中通径最短，其长为2P。
当 且 仅 当 sin ＝1， 即 圆锥曲线极坐标的统一形式
2
上述方程统一表示椭圆、双曲线、抛物线 5、利用抛物线的极坐标方程，证明抛物线
1
5、利用抛物线的极坐标方程，证明抛物线
5、利用抛物线的1极坐标方程，证明抛物线
圆锥曲线极线方程
圆锥曲线极线方程
圆锥曲线是一类常见的数学曲线，它在几何学和物理学中都有广泛的应用。
其中，极线方程是一种描述该曲线的常用方式之一。
在极坐标系中，曲线上的点可以用极径和极角来表示。
极线是一条通过原点的直线，它与曲线的交点叫做极点。
圆锥曲线的极线方程指的是从极点出发，将极线平移后与曲线的交点所满足的方程式。
对于椭圆，它的极线方程为 r = a(1-e^2)/(1-e*cosθ)，其中r是距离极点的距离，a是椭圆长半轴长度，e是离心率，θ是极角。
对于双曲线，它的极线方程为 r = a(1+e*cosθ)，其中r是距离极点的距离，a是双曲线距离中心点的距离，e是离心率，θ是极角。
对于抛物线，它的极线方程为r = 2a/(1+cosθ)，其中r是距离极点的距离，a是抛物线的参数，θ是极角。
通过极线方程，我们可以了解曲线的一些特性，例如离心率、直线与曲线的交点等等。
因此，极线方程在圆锥曲线的研究中具有重要的地位。
(三)圆锥曲线的极坐标方程
直线方程的极坐标形式
( 0)表示极角为的一条射线。 ＝ ( R)表示极角为的一条直线。
1、当直线l过极点，即0＝0时，直线l的方程 是什么？
2、当直线l过点M(b, )且平行于极轴时，直线的极 2 坐标方程是什么？ sin b
3、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程。 ρcosθ=a
圆锥曲线的极坐标形式
则有 表示椭圆 表示抛物线 表示双曲线右支 (允许 表示整个双曲线)
y
F
x
再见
5 B 3、椭圆 的长轴长是____ 3 2 cos
A 3 B 6 C 9 D 12
另解：
O
x
极坐标小结
M ( , )
O
x
设M是平面内一点，极点O与点M的距离 OM 叫做点M的极径，记为；以极轴Ox 为始边，射线OM为终边的xOM叫做点 M的极角，记为。有序数对( , )叫做点 M的极坐标，记做M ( , )
三种圆锥曲线的统一定义为：
平面内，到一个定点（焦点F）和一条定直线 （准线L)的距离之比等于常数（离心率e）的点的轨迹。 若设定点F到定直线L的距离为p，则可求到定点F和定 直线L的距离之比为常数e的点的轨迹的极坐标方程。
三种圆锥曲线的统一的极坐标方程: 如图建立坐标系， 设圆锥曲线上任一点 ， 由定义知
的值，使|MN|等于短轴长．
解：以F1为极点，F1F2为极轴建立极坐标系
椭圆的极坐标方程为 设M(ρ1，θ)、N(ρ2，θ+π)，则
练习3
2 曲线 = 的一条准线方程是 cos 1, 3-2cos 其另一条准线方程是：
附录24-圆锥曲线的极坐标方程PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
整顿得圆锥曲线统一旳极坐标方程为： ep
1 e cos
一、以焦点F为极点，以对称轴为极轴旳极坐标系：
建立如图所示旳极坐标系， 则圆锥曲线有统一旳极坐标方程
A F
ep 1 e cos
B
x
b2 注1：椭圆(双曲线)旳焦参数 p
c
注2：若AB为焦点弦，则
|
AB
|
1
2ep e2 cos2
;
1 1 2 | AF | | BF | ep
M
2 4
则椭圆旳极坐标方程为
1
3 2 2 cos
α
F1
N
F2 X
故 | MN || F1M | | F2 N | 1 2
1
1
3 2 2 cos 3 2 2 cos
6
9 8cos2
2
得 cos 3 又因 0
2
.故
6
或
5
6
(2)(2023年新课标Ⅱ)设F为抛物线
C : y2 =3x 旳焦点，
因
故 AF 3 FB
3p 3 3p
2 3 cos 2 3 cos
cos 3
3
tan 2
(4)(2023年重庆)过双曲线
x 2 y 2 4旳右焦点F作倾斜角
为1050旳直线，交双曲线于PQ两点，则|FP|·|FQ|=_____
法1：直角坐标系一般方程+设而不求 P 法2：直角坐标系参数方程+设而不求 法3：极坐标方程 由题意得,离心率为 e 2 , 焦参数为 p 2
2 2
22
2 2 22
22
2
22
22
22 22
2
2 222 222
圆锥曲线解题技巧之极坐标方程的运用如何通过极坐标方程解决圆锥曲线问题
圆锥曲线解题技巧之极坐标方程的运用如何通过极坐标方程解决圆锥曲线问题圆锥曲线是数学中的一类曲线，包括椭圆、抛物线和双曲线。
在解题过程中，极坐标方程是一种常用的工具，可以帮助我们更便捷地求解圆锥曲线的性质和特点。
本文将介绍极坐标方程的基本概念和使用技巧，以及如何通过极坐标方程解决圆锥曲线问题。
一、极坐标方程的基本概念1. 极坐标系极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系。
它由原点O、极轴和极角组成。
其中，极轴是从原点O出发的射线，极角是这条射线与一个固定射线的夹角，常用符号为θ。
在极坐标系中，一个点的位置可以用(r, θ)表示，其中r是该点到极轴的距离。
2. 极坐标方程圆锥曲线的极坐标方程是指将曲线上的点的坐标表示为极坐标系中的形式。
对于椭圆、抛物线和双曲线，它们的极坐标方程分别为：椭圆：r = a(1 - e*cosθ)抛物线：r = a/(1 + cosθ)双曲线：r = a/(1 - e*cosθ)，其中e为离心率，a为焦点到极轴的距离。
二、极坐标方程的解题技巧1. 确定曲线类型在解题过程中，首先需要根据题目给定的条件来确定所研究曲线的类型。
通过观察曲线的特点和性质，判断是椭圆、抛物线还是双曲线，然后找到相应的极坐标方程。
2. 求解曲线参数对于给定的曲线，通常需要求解其参数，如离心率e、焦点距离a 等。
通过给定的条件和已知信息，利用极坐标方程中的相关关系式，可以求解这些参数的具体数值。
3. 分析曲线特性通过极坐标方程，我们可以快速得到曲线在极坐标系中的形状和特性。
比如，通过极径r的变化情况，可以分析出曲线的最大最小半径和离心率等。
4. 解决具体问题利用极坐标方程，可以解决各种与圆锥曲线相关的具体问题。
比如求解曲线上的特定点坐标、求解曲线与轴线的交点坐标、求解曲线的切线方程等。
通过将问题转化为极坐标方程的形式，可以更加简化计算过程，提高求解效率。
三、通过极坐标方程解决圆锥曲线问题的实例为了更好地理解极坐标方程的应用，以下举一个具体的例子：示例：已知一个圆锥曲线的极坐标方程为r = 3/(2 + cosθ)，求解该曲线的离心率、焦点位置和渐近线方程。
圆锥曲线极坐标方程
数学运用
例1、2003年10月15—17日，我国自主研制的神舟五 号载人航天飞船成功发射并按预定方案安全、准确的 返回地球，它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点 的椭圆，椭圆的近地点（离地面最近的点）和远地点 （离地面最远的点）距离地面分别为200km和350km， 然后进入距地面约343km的圆形轨道。若地球半径取 6378km，试写出神舟五号航天飞船运行的椭圆轨道的 极坐标方程。
练习1
3 1、 已知抛物线的极坐标方程为 = ,则 1- cos 抛物线的准线的极坐标方程为：
cos 3
9 2、椭圆的长轴长为 10，短轴长为 6，
则椭圆的极坐标方程为：
=
5-4 cos
3、双曲线的实轴长为2 5，焦点到准线的
4 5 距离为4，则双曲线的极坐标方程为： 1 5 cos
在极坐标系中，同样可以根据圆锥曲线的 几何定义，求出曲线的极坐标方程． 设到定点F到定直线l的距离为p，求到定 点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹 的极坐标方程。
F l
ep 对圆锥曲线的统一极坐标方程 = ， 1 e cos
请思考讨论并深入了解下述几个要点： 1、该方程是以双曲线右焦点和椭圆的左焦点为极点建 立的，若以双曲线的左焦点和椭圆的右焦点建立极 坐标系，它们的统一方程什么？ ep = 1 e cos 2、统一方程中的p、e分别是什么？ p表示焦准距；e表示离心率。
1517日我国自主研制的神舟五号载人航天飞船成功发射并按预定方案安全准确的返回地球它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点的椭圆椭圆的近地点离地面最近的点和远地点离地面最远的点距离地面分别为200km然后进入距地面约343km的圆形轨道
常用曲线的极坐标方程 ----圆锥曲线的极坐标方程
圆锥曲线的极坐标方程 焦半径公式 焦点弦公式
椭圆、 曲线、抛物线统一的极坐标方程为
ρ = ep . 1 − e cosθ
其中 p 是定点 F 到定直线的距离，p＞0 ．
当 0 e 1 时，方程表示椭圆
当 e＞1 时，方程表示 曲线，若ρ＞0，方程只表示 曲线右支，若允
许ρ 0，方程就表示整个 曲线
当 e=1 时，方程表示开口向右的抛物线.
二、圆锥曲线的焦半径公式
推论 若圆锥曲线的弦 MN 过焦点 F，则有 1 + 1 = 2 . MF NF ep
、圆锥曲线的焦点弦长 若圆锥曲线的弦 MN 过焦点 F，
1、椭圆中， p = a 2 − c = b2 ， MN = ep +
ep
= 2ab2 .
c
c
1− ecosθ 1− ecos(π −θ) a2 − c2 cos2 θ
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
湖北省天门中学 薛德斌
一、圆锥曲线的极坐标方程
椭圆、 曲线、抛物线可以统一定义为 一个定点(焦点)的距离和一条定
直线(准线)的距离的比等于常数 e 的点的轨迹．
以椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点 F 作相
应准线的垂线，垂足为 K，以 FK 的 向延长线为极轴建立极坐标系．
3、抛物线中， MN = p +
p
= 2p .
1 − cosθ 1 − cos(π − θ ) sin 2 θ
四、直角坐标系中的焦半径公式 设 P x,y 是圆锥曲线 的点，
1、若 F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点，则 PF1 = a + ex ，、 F2 分别是 曲线的左、右焦点，
设 F 为椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P 为椭圆( 曲线 的右支、抛物线) 任一点，则
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式 湖北省天门中学 薛德斌一、圆锥曲线的极坐标方程椭圆、 曲线、抛物线可以统一定义为 一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K，以FK 的 向延长线为极轴建立极坐标系．椭圆、 曲线、抛物线统一的极坐标方程为 θρcos 1e ep −=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p＞0 ．当0 e 1时，方程表示椭圆当e＞1时，方程表示 曲线，若ρ＞0，方程只表示 曲线右支，若允许ρ 0，方程就表示整个 曲线当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.二、圆锥曲线的焦半径公式设F 为椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P 为椭圆( 曲线的右支、抛物线) 任一点，则 PQ e PF =， )cos (p PF e PF +=θ，其中FH p =，=θ x 轴，FP 焦半径θcos 1e ep PF −=． 当P 在 曲线的左支 时，θcos 1e ep PF +−=. 推论 若圆锥曲线的弦MN 过焦点F，则有epNF MF 211=+.、圆锥曲线的焦点弦长若圆锥曲线的弦MN 过焦点F， 1、椭圆中，cb c c a p 22=−=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN −=−−+−=. 2、 曲线中，若M、N 在 曲线同一支 ，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN −=−−+−= 若M、N 在 曲线 同支 ，2222cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN −=−−+−=θθθ. 3、抛物线中，θθπθ2sin 2)cos(1cos 1p p p MN =−−+−=. 四、直角坐标系中的焦半径公式设P x,y 是圆锥曲线 的点，1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF −=22、若1F 、2F 分别是 曲线的左、右焦点，当点P 在 曲线右支 时，a ex PF +=1，a ex PF −=2 当点P 在 曲线左支 时，ex a PF −−=1，ex a PF −=23、若F 是抛物线的焦点，2p x PF +=.。
圆锥曲线统一的极坐标方程
所以 ρ2＋ρ21－2ρρ1cos(θ－θ1)＝r2， 可以检验，当 O、C、M 三点共线时的 点 M 的坐标也适合上式，所以半径为 r，圆 心在 C(ρ1，θ1)的圆的极坐标方程为 ρ2＋ρ12－ 2ρρ1cos(θ－θ1)－r2＝0.
【答案】 ρ＝2cos θ 化曲线的极坐标方程为直角
坐标方程
化下列曲线的极坐标方程为直角坐标方程，并判断 曲线的形状．
(1)ρcos θ＝2；(2)ρ＝2cos θ；(3)ρ2cos 2θ＝2； (4)ρ＝1－c1os θ. 【思路探究】
ρcos θ＝x 极坐标方程 ――→ 直角坐标方程―→曲线的形状
θ＝α(ρ∈R)或
过点 A(a,0)，与极轴垂直的直线
ρcos θ＝a
(－π2＜θ＜π2) 过点 A(a，π2)，与极轴平行的直线
(0＜θ＜π)
ρsin θ＝a
过点 A(a,0)，且与极轴成 α 角的直线的极坐标方程
ρsin(α－θ)
＝asin α (0＜θ＜π) 3.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 两坐标方程的互化，我们把极轴与平面直角坐标系 xOy 的 x 的正
－2－6，设定点 F 到直线 l 的距离|FK|＝p，M(ρ，θ)为曲线上任意一
点，曲线的极坐标方程为 ρ＝1－eecpos θ.
图 1－2－6 ①当 0＜e＜1 时，方程表示椭圆． ②当 e＝1 时，方程表示开口向右的抛物线． ③当 e＞1 时，方程只表示双曲线的右支，定点是它的右焦点．
1．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的含义有什么不同？ 【提示】 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(ρ，θ)， (ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一点的坐标，这与 点的直角坐标的唯一性明显不同，所以对于曲线上的点的极坐标的多 种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可．例如对于极 坐标方程 ρ＝θ，点 M(π4，π4)可以表示为(π4，π4＋2π)或(π4，π4－2π)或(－ π4，54π)等多种形式，其中，只有(π4，π4)的极坐标满足方程 ρ＝θ. 2．在极坐标系内，如何确定某一个点 P 是否在某曲线 C 上？ 【提示】 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的 方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程， 所以在极坐标系内，确定某一个点 P 是否在某一曲线 C 上，只需判 断点 P 的极坐标中是否有一对坐标适合曲线 C 的方程即可． 3．试结合教材 P12－14 例 4－例 8，总结求简单曲线的极坐标方程 的关键是什么？常需用到什么知识？ 【提示】 求简单曲线的极坐标方程的关键，就是要找到极径 ρ 和极角 θ 之间的关系，这常用到解三角形(正弦定理、余弦定理)的知 识及利用三角形的面积相等等来建立 ρ，θ 之间的关系． 4．我们由曲线的直角坐标方程很容易知道它是哪种曲线，那如 何由曲线的极坐标方程确定其是哪一种曲线呢？ 【提示】 如果对简单的直线和圆的极坐标方程及圆锥曲线统一 的极坐标方程熟练的话，可由其判断，否则一般是将其化成直角坐标 方程再判断其是哪种曲线．
圆锥曲线的极坐标方程大题题型归纳
圆锥曲线的极坐标方程大题题型归纳本文将对圆锥曲线的极坐标方程大题题型进行归纳总结。
圆锥曲线是平面上的一类重要曲线，在解题过程中掌握其极坐标方程的应用是非常有帮助的。
1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是指平面上满足特定条件的曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
2. 极坐标方程的基本形式圆锥曲线的极坐标方程通常具有以下形式：- 椭圆的极坐标方程：$r = \frac{p}{1 - e \cdot \cos \theta}$，其中 $p$ 是焦点到准线的距离，$e$ 是离心率。
- 双曲线的极坐标方程：$r = \frac{p}{e \cdot \cos \theta - 1}$，其中 $p$ 是焦点到准线的距离，$e$ 是离心率。
- 抛物线的极坐标方程：$r = \frac{2p}{1 + \cos \theta}$，其中$p$ 是焦点到准线的距离。
3. 极坐标方程大题题型归纳根据圆锥曲线的不同类型，极坐标方程的大题题型也会有所不同。
以下是一些常见题型的归纳总结：3.1 椭圆的极坐标方程题型- 已知离心率和焦点到准线的距离，求椭圆的极坐标方程。
- 已知焦点和准线的坐标，求椭圆的极坐标方程。
3.2 双曲线的极坐标方程题型- 已知离心率和焦点到准线的距离，求双曲线的极坐标方程。
- 已知焦点和准线的坐标，求双曲线的极坐标方程。
3.3 抛物线的极坐标方程题型- 已知焦点和准线的坐标，求抛物线的极坐标方程。
4. 解题技巧和注意事项在解题过程中，可以采用以下技巧和注意事项：- 根据问题中给出的已知条件，逐步求解极坐标方程中的参数。
- 注意离心率、焦点和准线的坐标的关系，可以通过该关系求解未知参数。
- 验证求得的极坐标方程是否符合圆锥曲线的性质，如焦点到准线距离的关系等。
通过对圆锥曲线的极坐标方程大题题型进行归纳归纳，可以更好地掌握解题方法和技巧，提高解题效率和准确性。
以上就是对圆锥曲线的极坐标方程大题题型归纳的完整内容。
圆锥曲线极坐标方程
圆锥曲线极坐标方程
圆锥曲线极坐标方程是一种很实用的数学工具，它可以帮助我们快速地对一个
特定曲线的形状进行描述。
圆锥曲线极坐标方程是一种利用极坐标来定义曲线的几何方程，它的一般形式是r = f (θ)，其中“r”是曲线上任意一点到原点的距离，“θ”是从曲线上任意一点到原点的直线与X轴正半轴之间的夹角，而“f”就是
只有角度θ一个变量的某种函数。
圆锥曲线极坐标方程是由多个椭圆组成的，称之为椭圆极坐标系。
椭圆极坐标
系是由椭圆的两个焦点的位置及椭圆的一部分定义的，其中一部分被称为圆锥曲线、极形曲线或极线。
圆锥曲线极坐标方程由两个参数α和β构成，当α和β的值改变时，相应的曲线形状也会发生不同的变化。
圆锥曲线极坐标方程可以用来表示电力线、太阳能系统、气象系统等外部环境
与人们日常生活紧密相连的系统。
它也可以用来表示社会资源管理、财政、经济方面的投资决策，解决企业战略规划与实施、运营管理等重要问题。
这种用极坐标来描述曲线的几何模型虽然简单，但却可以有效地表达一种复杂
的现象，也可以提供有关形状的全面信息。
因此，圆锥曲线极坐标方程在实际应用中得到非常广泛的使用，其精确的数学模型可以帮助我们更加准确的捕捉客观现实的曲线特征，从而得到更好的解释与预测。