《二元一次不等式组与平面区域》 优秀教学设计

人教版高中数学必修五
《3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域》教学设计
厦门外国语学校郑英昇
一、教学目标
知识与技能：1.能正确理解二元一次不等式组所表示的几何意义；
2.能根据给定的二元一次不等式（组），准确画出其对应的平面区域；
3. 会从实际问题中抽象出二元一次不等式组。

过程与方法：1.从经济生活的实例出发，激发学生的学习热情；
2.通过类比，学生逐步学会将不等式直观概括为平面区域的几何形式；
3.敢于对教材提供的方法提出自己的见解，尝试、猜想、证明自己的结论。

情感、态度与价值观：1.通过自主探索、交流，增强对数学的情感体验，提高创新意识；
2.充分体会数学来源于现实生活，又服务于生活，培养应用意识。

二、学情分析
1、该班是高二年理科实验班，大部分学生的数学基础较好；
2、在本节课之前，学生已经学习过一元一次、一元二次不等式，会直观表示一元一次、一元二次不等式的解的几何形式；
3、对于二元一次不等式组为什么表示的是平面区域，是哪块区域，还有待学生去探究和理解。

三、教学重点
1、从实际情境中中抽象出二元一次不等式组；
2、理解二元一次不等式组的几何意义；
3、探究二元一次不等式组表示的平面区域。

四、教学难点
1、二元一次不等式表示的平面区域的探究过程；
2、从实际问题中抽象出二元一次不等式组。

五、教学过程
1、【引入】阿里巴巴在纽约交易所上市给我们留下的思考……
一个实例：一家投资公司计划年初投入25（单位：百万元）用于投资甲、乙两个公司，希望这笔资金带来超过3（百万元）的收益，其中从甲公司可获益18%，从乙公司获益10%，同时，为了扶持乙公司，投资乙公司的资金应不少于投资甲公司的1.2倍。

该投资公司应如何分配资金？
设该投资公司分别投资甲、乙两个公司x , y 百万元，则有：
--------二元一次不等式组(*) 【设问1】二元一次不等式的解是什么形式？
【设问2】怎样几何直观地表示这个不等式组的解集呢？
2、探究与结论
【探究】在直角坐标系中， x-y <6的解集表示什么图形？
【探究方法】从一元一次不等式解集表示方法的基础上，用类比的方法提出问题。

在直角坐标系中，直线x -y =6将平面上所有的点分为三类，进一步研究x-y <6的解集与直线x -y =6的关系，可让学生大胆猜想，并说出理由，教师借助《几何画板》的计算功能加以当堂验证。

【结论】在直角坐标系中，以 x-y <6 的解为坐标的点都在直线x-y=6的左上方；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y <6 。

一般结论1：对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x , y )代入Ax+By+C ，所得的符号都相同。

一般结论2：在直角坐标系中，二元一次不等式Ax +By +C >0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。

Ax +By +C >0不包含边界；Ax +By +C ≥0包含边界。

3、应用：
例1 分别画出下列不等式表示的平面区域。

(1) x +2y <4； (2)x >-1； (3) 3x ≤y .
小结：直线定界 特殊点定域
4、探究与发现：
【提出问题】除了教材介绍的方法，你还能用什么方法快速判断不等式表示的区
域？
【探究方法】从前面的探究，我们已经体会到，点（x ,y ）在直线x-y=6上，（x ,y ）是方程x-y=6的解；那么，在直线x-y=6上方区域的点，其坐标（x ,y ）有什么特点呢？通过教师适当引导、学生思考、探究与交流，从点的坐标上理解“上方”与“下方”的本质，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥>+≤+0
02.13%)10(%)18(25y x x
y y x y x
出“斜截式法”判断区域 。

5、应用（续）：例2 画出前例不等式组(*)所表示的平面区域。

例3 要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
今需要A 、B 、C 三种规格的成品15, 18, 27块，用数学关系式和图形表示上述要求。

练习1：P86 4
练习2：
（1）点（1,2）与点（-3,4）在直线x +y +a =0的两侧，求实数a 的取值范围；
（2）作出不等式（x -y )(x +y ) ≥0表示的平面区域.
6、小结与体会
学生思考、总结，并发表自己的意见，教师指导，并给出完整的小结。

(1)善于类比； (2)注重探究；
(3)积极思辨； (4)勇于探索。

7
、作业
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥>+≤+0
02.13%)10(%)18(25y x x
y y x y x
P93习题3.3 A组1,2；B组1,2.。