高考数学大一轮复习 第1节 坐标系课件 文 新人教版选修4-4

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【思路点拨】 设变换前的方程的曲线上任意一点的坐 标为 P(x，y)，变换后对应的点为 P′(x′，y′)，代入伸缩 变换公式，利用伸缩变换公式建立联系求解．
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【解】 (1)设点 P(x，y)为正弦曲线 y＝sin x 上的任意一
点，在变换 φ：xy′ ′＝ ＝1312xy
的作用下，点 P(x，y)对应到点
5λ2x2＋μ42y2＝1，与 x2＋y2＝1 比较系数得5μ4λ22＝＝11，，
得
λ＝5， μ＝4.
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使用伸缩变换应注意的两个问题：
(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩 变换实现的，解题时需要区分变换前的点 P 的坐标(x，y)与变 换 后 的 点 P′ 的 坐 标 (x′ ， y′) ， 再 利 用 伸 缩 变 换 公 式
P′(x′，y′)，可得xy＝ ＝32xy′ ′ ，代入 y＝sin x 得 2y′＝sin 3x′，
所以 y′＝12sin 3x′，即 y＝12sin 3x 为所求．
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(2)将变换后的椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 改写为x2′52＋y1′62＝1，伸 缩变换为 φ：xy′ ′＝ ＝λμxyλμ＞＞00，， 代入上式得λ22x52＋μ126y2＝1，即
选修 4－4 坐标系与参数方程 第一节 坐标系
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考纲要求：1.理解坐标系的作用.2.了解在平面直角坐标 系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.3.能在极坐标系中用 极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中 表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.4.能 在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心 在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标系和平面直 角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐 标系的意义．
解
得
x＝1， y＝1
或
x＝0， y＝2.
所以
C1
与
C2
交点的极坐标分别为
2，π4，2，π2.
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[命题规律预测]
从近几年的高考试题看，极坐标和直角坐标
命题 的互化及求简单曲线的极坐标方程是高考
规律 的热点，题目难度不大，主要考查转化和化
归思想及数形结合思想．
考向 预测
预测 2016 年高考仍将以极坐标方程和直角 坐标方程的互化为切入点，考查学生的等价 转化能力.
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4
【解】 (1)设 P(x，y)，则由条件知 M2x，2y.由于 M 点
在 C1 上，所以22yx＝ ＝22c＋os2sαi，n α，
即yx＝＝44＋cos4sαi，n α，
从而 C2 的参数方程为yx＝＝44＋cos4sαi，n α (α 为参数)．
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(2)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ＝4sin θ，曲线 C2 的极坐标 方程为 ρ＝8sin θ.
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17ห้องสมุดไป่ตู้
则曲线 y＝cos 4x 在 φ 变换后的曲线的方程为 y′＝13cos 2x′，所以变换后的曲线的最小正周期为 π，最大值为13.
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考向二 极坐标与直角坐标的互化
[典例剖析]
【例 2】 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 正半 轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρcosθ－π3＝ 1，M，N 分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点．
轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝2sin θ.
(1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程；
(2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
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【解】
(1)将xy＝ ＝45＋ ＋55csions
t， t
消去参数 t，化为普通方
程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即 C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
射线 θ＝π3与 C1 的交点 A 的极径为 ρ1＝4sinπ3， 射线 θ＝π3与 C2 的交点 B 的极径为 ρ2＝8sinπ3. 所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2 3.
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2．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线 C1 的参数方程为
x＝4＋5cos t， y＝5＋5sin t
(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半
x′＝λxλ＞0， y′＝μyμ＞0
建立联系即可．
(2)已知变换后的曲线方程 f(x，y)＝0，一般都要改写为
方程 f(x′，y′)＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．
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[对点练习]
将曲线 y＝3sin2x＋π3按照 φ：xy′ ′＝ ＝λμxy，，λμ＞＞00， 变换为 y′＝sinx′＋π3，求曲线 y＝cos 4x 在 φ 变换后的曲线的最小 正周期和最大值．
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【解】 由 φ：xy′′＝＝λμxy，，λμ＞＞00，， 得 φ：
x＝1λx′，λ＞0， y＝1μy′，μ＞0，
将曲线 y＝3sin2x＋π3按照 φ：xy′′＝＝λμxy，，λμ＞＞00，
变换为曲线的方程为 y′＝3μsin2λx′＋π3，
由题意，得 3μ＝1，2λ＝1，故 λ＝2，μ＝13.
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[基础真题体验]
考查角度[极坐标系及其应用] 1．(2011·课标全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的 参数方程为xy＝ ＝22c＋os2sαi，n α (α 为参数)，M 是 C1 上的动点，P 点满足O→P＝2O→M，P 点的轨迹为曲线 C2.
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3
(1)求 C2 的方程； (2)在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中， 射线 θ＝π3与 C1 的异于极点的交点为 A，与 C2 的异于极点的 交点为 B，求|AB|.
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考向一伸缩变换
[典例剖析]
【例 1】 (1)求正弦曲线 y＝sin x 按 φ：xy′ ′＝ ＝1312xy
变换
后的函数解析式； (2)将圆 x2＋y2＝1 变换为椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 的一个伸缩变换
公式为 φ：xy′ ′＝ ＝λμxyλμ＞＞00
，求 λ、μ 的值．
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将yx＝＝ρρscions
θ， θ
代入 x2＋y2－8x－10y＋16＝0 得
ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以 C1 的极坐标方程为 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
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(2)C2 的普通方程为 x2＋y2－2y＝0.
由
x2＋y2－8x－10y＋16＝0， x2＋y2－2y＝0，