微积分基本定理

a
a
图(3)
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想一想：在上面图(1)、图(2)、图(3)中的三个图形阴影部分的面积
分别怎样表示？
提示 根据定积分与曲边梯形的面积的关系知：
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名师点睛 1．微积分基本定理的理解
(1)微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的联系，同时它也
所以
3 x3 (4x－x2)dx＝2x2－ 3 －1
33 －13 20 ＝2×32－ 3 －2×－12－ ＝ . 3 3 பைடு நூலகம்
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1 6 (4)因为6x－1 ′＝(x－1)5，
则
图(1)
图(2)
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(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图(2)， 则bf(x)dx＝
a
－S下
．
(3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)， 则bf(x)dx＝ S上－S下
．
若 S 上＝S 下，则bf(x)dx＝ 0 .
3．常用的基本初等函数 f(x)和它的一个原函数 F(x)如下： (1)若 f(x)＝c(c 为常数)，则 F(x)＝cx； 1 n＋1 (2)若 f(x)＝x (n≠－1)，则 F(x)＝ · ； x n＋1
n
1 (3)若 f(x)＝x ，则 F(x)＝ln x(x>0)； (4)若 f(x)＝ex，则 F(x)＝ex； (5)若 f(x)＝a ，则 F(x)＝ln
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【变式1】 求下列定积分：
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题型二 求较复杂函数的定积分 【例 2】 求下列定积分：
[ 思 路 探 索 ]
化简被积函数 → 转化为基本函数的积分
→ 求原函数 → 求定积分
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解 (1)∵ x(1－ x)＝ x－x，
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定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过 积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考 查，解题过程中注意体会转化思想的应用．
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【变式 3】 已知 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且 f(－1)＝2，f′(0)＝0， f(x)dx＝－2，求 a、b、c 的值． 解 由 f(－1)＝2，得 a－b＋c＝2. 又 f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b＝0， ① ②
的一个原函数．根据定义，求函数f(x)的原函数，就是要求一个函
数F(x)，使它的导数F′(x)等于f(x)．由于[F(x)＋c]′＝F′(x)＝f(x)，所 以F(x)＋c也是f(x)的原函数，其中c为常数． (4)利用微积分基本定理求定积分 的关键是找出满足F′(x)
＝f(x)的函数F(x)，通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式
提示
导数与定积分都是定积分学中两个最基本、最重要的概
念，运用它们之间的联系，我们可以找出求定积分的方法，求 导数与定积分是互为逆运算．
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2．定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则
(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，
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求较复杂函数的定积分的方法： (1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积
函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求
解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正、余 函数、指数、对数函数与常数的和与差． (2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
所以
(x－1)5dx
2
1 6 ＝6(x－1) 1
1 1 6 ＝6(2－1) －6(1－1)6 1 ＝6.
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(1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f(x)的一个原函数F(x)； ②计算F(b)－F(a)．
(2)注意事项：
①有时需先化简，再求积分； ②f(x)的原函数有无穷多个，如F(x)＋c，计算时，一般只写一个最 简单的，不再加任意常数c.
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【变式 2】 计算下列定积分：
1 解 (1)sin x－sin 2x 的一个原函数是－cos x＋ cos 2x， 2
＝－cos
1 x＋2cos
2x3
π 0
1 1 1 1 ＝－2－4－－1＋2＝－4.
自学导引
1．微积分基本定理
如果 f(x)是区间[a，b]上的 连续 函数，并且 内容 F′(x)＝ f(x) ， 那么∫baf(x)dx＝ F(b)－F(a) ． 这 个结论叫做微积分基本定理 符号
b f(x)dx＝F(x) a
＝
F(b)－F(a)
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想一想：导数与定积分有怎样的联系？
误区警示 原函数求错而导致结果错误 【示例】 计算 1 xdx.
1 [错解] ∵(ln x)′＝x ，
∵ln(－1)、ln(－2)无意义， ∴此积分不能用初等函数表示．
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被积函数的原函数求错． ∵积分区间为[－2，－1]，∴x<0， 1 因此有(ln|x|)′＝＝(ln(－x))′＝x (x<0)．
和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)．
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2．被积函数为分段函数或绝对值函数时的正确处理方式 分段函数和绝对值函数积分时要分段去积和去掉绝对值符号去 积．处理这类积分一定要弄清分段临界点，同时对于定积分的 性质，必须熟记在心．
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x
1
·x(a>0 且 a≠1)； aa x；
(6)若 f(x)＝sin x，则 F(x)＝－cos (7)若 f(x)＝cos x，则 F(x)＝sin x.
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题型一 求简单函数的定积分 【例1】 计算下列定积分
[思路探索] 解答本题可先求被积函数的原函数；然后利用微 积分基本定理求解．
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题型三 定积分的简单应用 【例 3】 已知 f(a)＝ (2ax2－a2x)dx，求 f(a)的最大值．
[思路探索] 求2ax2－a2x的原函数 → 求fa → 利用二次函数性质求最值
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【题后反思】 (1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表
示为几段积分和的形式；
(2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝 对值号，化为分段函数； (3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论．
1 1 ＝ a＋ b＋c， 3 2 1 1 ∴3a＋2b＋c＝－2， 由①②③式得 a＝6，b＝0，c＝－4.
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③
题型四
求分段函数的定积分
【例 4】 计算下列定积分：
(1)分段函数的定积分采用分段来求． (2)求带绝对值符号的函数的定积分，先去掉绝对值符号，然 后再分段求解．
1.6 微积分基本定理
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【课标要求】 1．了解微积分基本定理的内容与含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分．
【核心扫描】
1．用微积分基本定理求函数的定积分是本课的重点． 2．对微积分基本定理的考查常以选择、填空题的形式出现．
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提供了计算定积分的一种有效方法． (2)根据定积分的定义求定积分往往比较困难，而利用微积分基 本定理求定积分比较方便．
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(3)设f(x)是定义在区间I上的一个函数，如果存在函数F(x)，在区间 I上的任意一点x处都有F′(x)＝f(x)，那么F(x)叫做函数f(x)在区间I上
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【变式 4】 求 解
(|2x＋3|＋|3－2x|)dx.
∵|2x＋3|＋|3－2x|
3 －4x，x<－ ， 2 3 3 ＝6， －2≤x≤2， 3 4x， x>2，
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解 所以
(1)因为(3x)′＝3，
2 3dx＝(3x) 1
＝3×2－3×1＝3.
(2)因为(x2＋3x)′＝2x＋3， 所以
2 (2x＋3)dx＝(x2＋3x) 0
＝22＋3×2－(02＋3×0)＝10.
x3 (3)因为2x2－ 3 ′＝4x－x2，
解
2 1 2 2 3 ∵3ax －2a x ′＝2ax2－a2x，
4 2 2 1 2 1 2 4 即 f(a)＝3a－2a ＝－2a －3a＋9＋9 2 2 2 1 ＝－2a－3 ＋9， 2 2 ∴当 a＝ 时，f(a)有最大值 . 3 9
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求f(x)在某个区间上的定积分，关键是求出被积函数f(x) 的一个原函数，即要正确运用求导运算与求定积分运算互为逆运 算的关系．
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