空间直角坐标系中点的坐标_课件
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空间直角坐标系PPT
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
M2M3 M3M1 , 原结论成立.
例 3 设 P 在 x 轴上，它到 P1 (0, 2,3)的距离为 到点 P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标.
①
③
x
②
例1、如图，在长方体OABC DABC中，OA 3，
OC 4，OD 2，写出D，C，A，B四点的坐标。
z
D'
C'
A'
2
B'
y
4
3o
C
xA
B
例2、在空间直角坐标系中标出下列各点
►A（0，2，4）、B（1，0，5）、 ►C（0，2，0）、D（1，3，4）
特殊位置的点的坐标
►原点 ►x轴上的点 ►y轴上的点 ►z轴上的点 ►xoy平面上的点 ►yoz平面上的点 ►xoz平面上的点
解 因为P 在x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
x 1, 所求点为 (1,0,0), (1,0,0).
4. 3.1 空间直角坐标系
数轴上的点
B -2 -1 O 1
A 2 3x
数轴上的点可以用 一个实数表示
y y
O
平面坐标系中的点
P (x,y) xx
平面中的点可以用 有序实数对(x，y)
来表示
思考:
►空间中的点如何表示呢?
M2M3 M3M1 , 原结论成立.
例 3 设 P 在 x 轴上，它到 P1 (0, 2,3)的距离为 到点 P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标.
①
③
x
②
例1、如图，在长方体OABC DABC中，OA 3，
OC 4，OD 2，写出D，C，A，B四点的坐标。
z
D'
C'
A'
2
B'
y
4
3o
C
xA
B
例2、在空间直角坐标系中标出下列各点
►A（0，2，4）、B（1，0，5）、 ►C（0，2，0）、D（1，3，4）
特殊位置的点的坐标
►原点 ►x轴上的点 ►y轴上的点 ►z轴上的点 ►xoy平面上的点 ►yoz平面上的点 ►xoz平面上的点
解 因为P 在x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
x 1, 所求点为 (1,0,0), (1,0,0).
4. 3.1 空间直角坐标系
数轴上的点
B -2 -1 O 1
A 2 3x
数轴上的点可以用 一个实数表示
y y
O
平面坐标系中的点
P (x,y) xx
平面中的点可以用 有序实数对(x，y)
来表示
思考:
►空间中的点如何表示呢?
空间直角坐标系 课件
∴B(5,0,0)，D(0,4,0)，A1(0,0,4)，
从而 C(5,4,0)，B1(5,0,4)．
图(1)
又 D1(0,4,4)，P 为 B1D1 的中点，∴P(52，2,4)．
[错因] 空间直角坐标系中，x轴、y轴和z轴的正方向排 列次序要符合右手法则，即用右手握住z轴，拇指所指 的方向为z轴的正方向，其余四指所指的方向为由x轴正 向到y轴正向的转动方向．错解中，坐标系的建立不符 合右手法则，因此解答是不正确的．
图(2)
∴P(2，52，4)．
[正解] 如图(2)，分别以 AD、AB 和 AA1 所在直线为 x 轴、y
轴和 z 轴，建立空间直角坐标系．
∵AB＝5，AD＝4，AA1＝4，
∴B(0,5,0)，D(4,0,0)，A1(0,0,4)，
从而 C(4,5,0)，B1(0,5,4)． 又 D1(4,0,4)，P 为 B1D1 的中点，
探究点一 空间中点的坐标的确定
(1)过空间一点M分别作三个坐标平面的平行平面，与三个 坐标轴的交点的坐标分别为点M的横、纵、竖坐标．
(2)特殊位置点的坐标的特征． x轴上的点的坐标为(x,0,0)，其中x为任意实数； y轴上的点的坐标为(0，y,0)，其中y为任意实数； z轴上的点的坐标为(0,0，z)，其中z为任意实数； xOy平面上的点的坐标为(x，y,0)，其中x，y为任意实数； xOz平面上的点的坐标为(x,0，z)，其中x，z为任意实数； yOz平面上的点的坐标为(0，y，z)，其中y，z为任意实数．
已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为2，建立如 图不同的空间直角坐标系，试分别写出正方体各顶点 的坐标．
[提示]在不同的空间直角坐标系下，同一个点的坐标是 不同的，应分别写出．
空间直角坐标系PPT课件
通过透视变换将三维图形投影 到某一平面上，产生近大远小
的效果。
二面投影
将三维图形分别投影到两个互 相垂直的平面上，得到两个二
维图形。
三面投影
将三维图形分别投影到三个互 相垂直的平面上，得到三个二
维图形。
05
空间直角坐标系与向量代数
向量的线性运算
向量的加法
向量加法满足交换律和结合律，即向量a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)。
描述向量场中某点处场量旋转程度的大小和方向，其方向垂直于该 点处的场量。
06
空间直角坐标系与微积分
微分学在空间直角坐标系中的应用
空间直角坐标系中的导数
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，在空间直角坐标 系中，导数可以用来研究函数在三维空间中的变化趋势。
空间曲线在某点的切线方向
通过求导数，可以得到空间曲线在某一点的切线方向向量， 从而确定该点处曲线的变化趋势。
曲线和曲面的长度
通过使用一重积分，可以计算三维空间中曲线和曲面的长度。
重积分在空间直角坐标系中的应用
01
重积分在解决实际问题中的应用
重积分在解决实际问题中有着广泛的应用，例如计算物体的质量、质心、
转动惯量等。
02 03
重积分的物理意义
重积分的结果具有明确的物理意义，例如三重积分的结果表示三维空间 的体积，二重积分的结果表示二维平面的面积，一重积分的结果表示一 维线段的长度。
性质
空间直角坐标系具有方向性、正 交性和无限延展性，是描述空间 中点位置的数学工具。
坐标系的建立
01
02
03
确定原点
选择一个点作为原点，该 点是空间直角坐标系的起 点。
的效果。
二面投影
将三维图形分别投影到两个互 相垂直的平面上，得到两个二
维图形。
三面投影
将三维图形分别投影到三个互 相垂直的平面上，得到三个二
维图形。
05
空间直角坐标系与向量代数
向量的线性运算
向量的加法
向量加法满足交换律和结合律，即向量a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)。
描述向量场中某点处场量旋转程度的大小和方向，其方向垂直于该 点处的场量。
06
空间直角坐标系与微积分
微分学在空间直角坐标系中的应用
空间直角坐标系中的导数
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，在空间直角坐标 系中，导数可以用来研究函数在三维空间中的变化趋势。
空间曲线在某点的切线方向
通过求导数，可以得到空间曲线在某一点的切线方向向量， 从而确定该点处曲线的变化趋势。
曲线和曲面的长度
通过使用一重积分，可以计算三维空间中曲线和曲面的长度。
重积分在空间直角坐标系中的应用
01
重积分在解决实际问题中的应用
重积分在解决实际问题中有着广泛的应用，例如计算物体的质量、质心、
转动惯量等。
02 03
重积分的物理意义
重积分的结果具有明确的物理意义，例如三重积分的结果表示三维空间 的体积，二重积分的结果表示二维平面的面积，一重积分的结果表示一 维线段的长度。
性质
空间直角坐标系具有方向性、正 交性和无限延展性，是描述空间 中点位置的数学工具。
坐标系的建立
01
02
03
确定原点
选择一个点作为原点，该 点是空间直角坐标系的起 点。
空间直角坐标系ppt课件
坐标系 Oxyz 中 x 轴、y 轴、z 轴的正方向
上的单位向量，且O→B＝－i＋j－k，则点 B 的坐标是
√A.(－1，1，－1)
B.(－i，j，－k)
C.(1，－1，－1)
D.不确定
由空间直角坐标系中点的坐标的定义可知点B的坐标为(－1，1，－1).
D.5，23，2
由题图知，点 P 在 x 轴、y 轴、z 轴上的射影分别为 P1，P2，P3， 它们在坐标轴上的坐标分别是32，5，4，故点 P 的坐标是32，5，4.
3.已知点 B 的坐标是(－1，2，1)，则|O→B|＝
√A. 6
B.6
C. 5
D.5
由 B 点坐标是(－1，2，1)，得O→B＝－i＋2j＋k，故|O→B|2＝1＋4＋1＝6， 故|O→B|＝ 6.
特别提醒
空间点对称问题的解题策略 (1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对 称点的变化规律，才能准确求解. (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反” 这个结论.
训练3.已知点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面 Oyz 的 对 称 点 为 P2 ， 点 P2 关 于 z 轴 的 对 称 点 为 P3 ， 则 (点2，P－3 的3，坐1)标 为 ______________.
则p＝a＋2b＋3c＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，
x＋y＝1，
x＝23，
所以xz＝－3y，＝2，解得yz＝＝3－，12，
故 p 在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为32，－21，3.
二、空间点及向量的坐标表示
探究 2 在平面直角坐标系中，{i，j}为一个单位正交基底，O→A＝xi＋yj，那么向 量O→A的坐标为(x，y)，点 A 的坐标为(x，y)；如果设{i，j，k}为空间的单位正交 基底，O→A＝xi＋yj＋zk，猜想空间向量O→A的坐标是什么？点 A 的坐标是什么？ 提示 (x，y，z)；(x，y，z).
上的单位向量，且O→B＝－i＋j－k，则点 B 的坐标是
√A.(－1，1，－1)
B.(－i，j，－k)
C.(1，－1，－1)
D.不确定
由空间直角坐标系中点的坐标的定义可知点B的坐标为(－1，1，－1).
D.5，23，2
由题图知，点 P 在 x 轴、y 轴、z 轴上的射影分别为 P1，P2，P3， 它们在坐标轴上的坐标分别是32，5，4，故点 P 的坐标是32，5，4.
3.已知点 B 的坐标是(－1，2，1)，则|O→B|＝
√A. 6
B.6
C. 5
D.5
由 B 点坐标是(－1，2，1)，得O→B＝－i＋2j＋k，故|O→B|2＝1＋4＋1＝6， 故|O→B|＝ 6.
特别提醒
空间点对称问题的解题策略 (1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对 称点的变化规律，才能准确求解. (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反” 这个结论.
训练3.已知点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面 Oyz 的 对 称 点 为 P2 ， 点 P2 关 于 z 轴 的 对 称 点 为 P3 ， 则 (点2，P－3 的3，坐1)标 为 ______________.
则p＝a＋2b＋3c＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，
x＋y＝1，
x＝23，
所以xz＝－3y，＝2，解得yz＝＝3－，12，
故 p 在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为32，－21，3.
二、空间点及向量的坐标表示
探究 2 在平面直角坐标系中，{i，j}为一个单位正交基底，O→A＝xi＋yj，那么向 量O→A的坐标为(x，y)，点 A 的坐标为(x，y)；如果设{i，j，k}为空间的单位正交 基底，O→A＝xi＋yj＋zk，猜想空间向量O→A的坐标是什么？点 A 的坐标是什么？ 提示 (x，y，z)；(x，y，z).
数学人教A版选择性必修第一册1.3.1空间直角坐标系课件
= 2 × (−5) − (−2) = −8， = 2 × 4 − 1 = 7， = 2 × 3 − 4 = 2，
所以3 (−8，7，2).
课堂小结
1.空间向量基本定理：
定理如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的
有序实数组(, , )，使得 = + + .
在空间直角坐标系中的坐标，记作(，，)，其中叫做点的横坐标，
叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标.
新知探索
在空间直角坐标系中，给定向量，作 = .由空间向量基本定理，存在
唯一的有序实数组(，，)，使 = + + .
有序实数组(，，)叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作 =
例析
例1.如图，在长方体 − ’ ’ ’ ’ 中， = 3， = 4，
’
1
1
1
2，以{ ， ， ’ }为单位正交基底，建立的空间直角坐标系.
(1)写出’ ，，’ ，’ 四点的坐标；
(2)写出向量’ ’ ，’ ，’ ’ ， ’ 的坐标.
理解平面直角坐标系：如图，在平面内选定一点和一个
单位正交基底{，}，以为原点，分别以，的方向为正
方向、以它们的长为单位长度建立两条数轴：轴、轴，
那么我们就建立了一个平面直角坐标系.
新知探索
类似地，在空间选定一点 和一个单位正交基底 {，，} ，
以点为原点，分别以，，的方向为正方向、以它们的
来的相反数，所以对称点为1 (−2， − 1， − 4).
(2)由于点关于平面对称后，它在轴、轴的分量不变，在轴的分量变为
原来的相反数，所以对称点为2 (−2，1， − 4).
(3)设对称点3 (，，)为，则点为线段3 的中点，由中点坐标公式，可得
2.3.1 空间直角坐标系的建立 2.3.2 空间直角坐标系中点的坐标
z
1350 o 1350 x y
有了空间直角坐标系，那空间中的任意一点Ａ 有了空间直角坐标系，那空间中的任意一点Ａ怎样来表示它 的坐标呢？ 的坐标呢？ 经过A 经过A点作三个 平面分别垂直于x 平面分别垂直于x轴、
z
y轴和z轴，它们与x 轴和z 它们与x 轴、y轴和z轴分别交 轴和z 于三点，三点在相应 于三点， 的坐标轴上的坐标
不实心不成事，不虚心不知事，不自是者博 闻，不自满者受益。
z
4 3
墙 墙 地面
4
1
(4,5,3)
5
O 1
y某一个定点０ 从空间某一个定点０引三条互相 垂直且有相同单位长度的数轴， 垂直且有相同单位长度的数轴，这样 就建立了空间直角坐标系０ xyz． 就建立了空间直角坐标系０－xyz．
o y x
点Ｏ叫作坐标原点，x，y，z轴统称为坐标轴，这三条 叫作坐标原点， 轴统称为坐标轴， 坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xoy平面、 坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xoy平面、 xoy平面 yoz平面、 zox平面 平面． yoz平面、和 zox平面． 平面
右手系：伸出右手， 右手系：伸出右手，让四指与大拇指垂 直，并使四指先指向x轴正方向，然后让 并使四指先指向x轴正方向， 指向y 四指沿握拳方向旋转 90o 指向y轴正方 向，此时大拇指的指向即为z轴正向.我 此时大拇指的指向即为z轴正向. 们也称这样的坐标系为右手系 ．
z 说明: 说明:
☆本书建立的坐标系
o
都是右手直角坐标系. 都是右手直角坐标系.
y x
空间直角坐标系的画法: 空间直角坐标系的画法:
1.x轴与y 1.x轴与y轴、x轴与z轴均成135°, 轴与 轴与z轴均成135° 135 而z轴垂直于y轴． 轴垂直于y 2.y轴和z轴的单位长度相同，x 2.y轴和z轴的单位长度相同， 轴和 轴上的单位长度为y 轴上的单位长度为y轴（或z轴） 的单位长度的一半． 的单位长度的一半．
2.14空间直角坐标系ppt课件
求距离的步骤：①建立适当的坐标系，并写出 相关点的坐标；②代入空间两点间的距离公式 求值．
4．已知A(1,2，－1)，B(2,0,2)． (1)在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|； (2)若xOz平面上的点M到A点的距离与到B点的 距离相等，求点M的坐标满足的条件．
解析： (1)由于点 P 在 x 轴上，故可设 P(a,0,0)， 由|PA|＝|PB|得 a－12＋4＋1＝ a－22＋4， 即 a2－2a＋6＝a2－4a＋8，解得 a＝1， 所以点 P 的坐标为(1,0,0)．
点P关于xOy平面对称后，它在x轴，y轴的分量 均不变，在z轴的分量变为原来的相反数， 所以点P关于xOy平面的对称点P2的坐标为(－2,1 ，－4)． 设点P关于点A的对称点坐标为P3(x，y，z)， 由中点坐标公式可得
－22＋x＝1 1＋ 2 y＝0 4＋ 2 z＝2
x＝4
，解得y＝－1 . z＝0
一、空间直角坐标系
1．空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：从空间某一定点
O 引三条两两垂直，且有相同单位长
度的数轴：_x_轴__、__y_轴__、__z_轴_____，这样
就建立了一个_空__间__直__角__坐__标__系__O__－__x_y_z___.
(2)相关概念：__点__O___叫做坐标原点，_x_轴__、__y_轴__、__z_轴____
互相垂直且有相同单位长 定点o• 度的数轴,这样就建立了空
y纵轴
间直角坐标系O-xyz.点O 横 x
叫坐标原点;
轴
2.两条确定一个坐标平
面,分别称为xoy面,yoz面,zox面
yoz面
xoy面
x
z
zox 面
空间直角坐标系
一、空间向量的基本概念
平面向量
空间向量
定义
具有大小和方向的量
表示法 几何表示：有向线段 AB 字母表示: a
向量的模
向量的大小 AB a
相等向量 相反向量 单位向量 零向量
长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 模为1的向量，没有规定方向 模为0的向量，与任何向量共线
空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，
( x y z 1)
判断四点共面，或直线平行 于平面
1.下列命题中正确的有：B
(1) p xa yb p 与 a 、b 共面 ; (2) p 与 a 、b 共面 p xa yb ；
(3) MP x MA y MB P、M、A、B共面；
(4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
预备知识
数轴Ox上的点M
实数x
O
直角坐标平面上的点M
y
M
x
x
实数对(x，y)
y A(x,y)
Ox
x
一、空间直角坐标系 —Oxyz
z
竖轴
1
纵轴
o
1
1
y
x
右手直角坐标系
横轴
右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让 右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的 正方向，如果中指指向 z 轴的正方向，则称这 个坐标系为右手直角坐标系．
【温故知新】
平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
五、共面向量
2. 如果两个向量 a,不b 共线，
(4.3.1空间直角坐标系)课件新人教版必修2
第2页，共28页。
第3页，共28页。
知识探究（一）：空间直角坐标系
思考1:数轴上的点M的坐标用一个实数x 表示，它是一维坐标；平面上的点M的 坐标用一对有序实数（x，y）表示，它 是二维坐标.设想：对于空间中的点的 坐标，需要几个实数表示？
(x,y) y
Ox x
第4页，共28页。
O
x
思考2:平面直角坐标系由两条互相垂 直的数轴组成，设想：空间直角坐标 系由几条数轴组成？其相对位置关系 如何？
z
B
O
y
A
C
x
第21页，共28页。
思考2:在空间直角坐标系中，设点 P（ x，y，z）在xOy平面上的射影为M，则 点M的坐标是什么？|PM|,|OM|的值分别 是什么？
M(x,y,0)
|PM|=|z|
z
O
P
y
x
M
| OM | x 2 y2
第22页，共28页。
思考3:基于上述分析，你能得到点 P（ x，y，z）与坐标原点O的距离公式吗？
4.3 空间直角坐标系
4.3.1 空间直角坐标系
第1页，共28页。
问题提出
t
p
1 2
5730
对于直线上的点，我们可以通过数 轴来确定点的位置；对于平面上的点， 我们可以通过平面直角坐标系来确定点 的位置；对于空间中的点，我们也希望 建立适当的坐标系来确定点的位置. 因 此，如何在空间中建立坐标系，就成为 我们需要研究的课题.
z
xO A x
Байду номын сангаас
z
z M
C
M
z
y
O
y
x
By
M
人教版高中数学选择性必修1《空间直角坐标系》PPT课件
又GD＝34，故G点坐标为0，34，0. 由H作HK⊥CG于K，由于H为C1G的中点． 故HK＝12，CK＝18， ∴DK＝78， 故H点坐标为0，78，12.
[方法技巧] 求某点P的坐标的方法
(1)找到点P在x，y，z轴上的射影； (2)确定射影在相应坐标轴上的坐标； (3)求出点P的坐标．
[对点练清] 已知正四棱锥 P-ABCD 的底面边长为 5 2，侧棱长为 13， 建立的空间直角坐标系如图，写出各顶点的坐标．
解：因为|PO|＝ |PB|2－|OB|2＝ 169－25＝12， 所以各顶点的坐标分别为 P(0,0,12)， A52 2，－52 2，0，B5 2 2，52 2，0， C－52 2，52 2，0，D－522，－522，0.
题型二 空间向量的坐标表示 [学透用活]
[典例2] 如图所示，PA垂直于正方形ABCD 所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且 PA＝AB＝1.试建立适当的空间直角坐标系，求 向量―M→N 的坐标．
中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标．
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系．点E在z轴上，它 的x坐标、y坐标均为0，而E为DD1的中点，故其坐标为 0，0，12.
由F作FM⊥AD，FN⊥DC，垂足分别为M，N， 由平面几何知识知FM＝12，FN＝12， 故F点坐标为12，12，0. 点G在y轴上，其x，z坐标均为0，
[课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通
1．在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，|AB|＝5，|AD|＝4，|AA1|＝4， A1C1 与 B1D1 相交于点 P，建立适当的空间直角坐标系，求出 点 C，B1，P 的坐标(写出符合题意的一种情况即可)． 以下是两名同学的解法．
1.3.1空间直角坐标系课件(人教版)
j，
k 都叫做坐
标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，
Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分.
二、探究新知
z
1、空间直角坐标系
k
②画法
①画轴：画空间直角坐标系Oxyz时，一般使
∠xOy=135°(或45°)，∠yOz=90°.
②建系：建立右手直角坐标系 .
说明：本书建立坐标系的都是右手直角坐标系.
B B OD 0i 0 j 2k (0,0,2)
′
′
′
A C A D D C 3i 4 j 0k (3,4,0)
AC AO OC OC 3i 4 j 2k (3,4,2)
′
(2)关于z轴和原点的对称点的坐标．
(3)M(1，-2，3)关于点(-1，2，-3)的对称点.
解：(1)M(1，-2，3)关于坐标平面xOy对称的点是(1，-2，-3)，
关于xOz面对称的点是(1，2，3)，
(2)M(1，-2，3)关于z轴对称的点是(-1，2，3)．
关于坐标原点对称的点是(-1，2，-3)．
②关于哪条坐标轴对称，那个坐标不变，另两个变成相反数；
③关于原点对称的点则三个坐标都变为相反数；
z
④关于某个点对称可类比平面直角坐标系中点的对称．
k
i
x
j
O
y
随堂练习
4、在空间坐标系Oxyz中，AB e1 2e2 3e3 , (e1 , e 2 , e 3 )分别是与x轴、y轴、
(1，-2，-3)
z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
k 都叫做坐
标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，
Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分.
二、探究新知
z
1、空间直角坐标系
k
②画法
①画轴：画空间直角坐标系Oxyz时，一般使
∠xOy=135°(或45°)，∠yOz=90°.
②建系：建立右手直角坐标系 .
说明：本书建立坐标系的都是右手直角坐标系.
B B OD 0i 0 j 2k (0,0,2)
′
′
′
A C A D D C 3i 4 j 0k (3,4,0)
AC AO OC OC 3i 4 j 2k (3,4,2)
′
(2)关于z轴和原点的对称点的坐标．
(3)M(1，-2，3)关于点(-1，2，-3)的对称点.
解：(1)M(1，-2，3)关于坐标平面xOy对称的点是(1，-2，-3)，
关于xOz面对称的点是(1，2，3)，
(2)M(1，-2，3)关于z轴对称的点是(-1，2，3)．
关于坐标原点对称的点是(-1，2，-3)．
②关于哪条坐标轴对称，那个坐标不变，另两个变成相反数；
③关于原点对称的点则三个坐标都变为相反数；
z
④关于某个点对称可类比平面直角坐标系中点的对称．
k
i
x
j
O
y
随堂练习
4、在空间坐标系Oxyz中，AB e1 2e2 3e3 , (e1 , e 2 , e 3 )分别是与x轴、y轴、
(1，-2，-3)
z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
空间直角坐标系及点的坐标表示PPT课件
定义
在空间直角坐标系中，一个点P 可以用三个实数x、y、z来表示，
这三个实数称为点P的坐标。
坐标轴
空间直角坐标系由三条互相垂直 的坐标轴X、Y、Z组成，其中X 轴与Y轴构成平面直角坐标系。
点的坐标表示
点P在直角坐标系中的表示方法 为(x, y, z)。
点在极坐标系中的表示
01
02
03
04
定义
在空间中，一个点P可以用极 径ρ和极角θ来表示，这种表示
通过球面坐标与直角坐标之间的转换公式将点在球面坐标系中的坐标转换为直 角坐标系中的坐标。
坐标系的扩展与推广
参数方程表示
通过引入参数方程来表示点的位置， 使得点的表示更加灵活和多样。
多维空间坐标系
将二维或三维直角坐标系扩展到更高 维度的空间，用于描述更复杂的多维 几何对象。
05
空间直角坐标系的实践 案例
计算几何量
通过空间直角坐标系，可以方便地计算几何量，如两点之间的距离、 点到直线的距离等。
在物理学中的应用
01
பைடு நூலகம்
02
03
描述物体运动轨迹
在物理中，物体的运动轨 迹通常可以用空间直角坐 标系来表示。
描述力场和电场
通过空间直角坐标系，可 以描述各种物理场，如重 力场、电场等。
计算物理量
利用空间直角坐标系，可 以方便地计算物理量，如 速度、加速度等。
镜像坐标系
将坐标系沿某一轴进行对 称，得到镜像坐标系，如 极坐标系。
拉伸坐标系
通过拉伸坐标轴上的单位 长度来改变坐标系的尺度， 但不改变其方向。
坐标系的转换
笛卡尔坐标系到极坐标系的转换
通过极坐标与笛卡尔坐标之间的转换公式将点在笛卡尔坐标系中的坐标转换为 极坐标系中的坐标。
空间直角坐标系.ppt
即
0 32 y 12 0 12 0 02 y 12 0 22
解之得
y 3, 2
故所求点为
M
0,
3 2
,
0
.
例 3 求证以 M1(4,3,1)、 M2(7,1,2)、 M3(5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
化简得 2x 6y 2z 7 0
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.
前面三个例子中，所讨论的方程都是一次方程， 所考察的图形都是平面.可以证明空间中任意一个平 面的方程式三元一次方程
Ax By Cz D 0,
其中 A, B,C, D 均为常数，A, B,C 且不全为0.
八个卦限中点的坐标
卦限 点的坐标 x, y, z 卦限 点的坐标 x, y, z
Ⅰ x>0,y>0,z>0
Ⅴ x>0,y>0,z<0
Ⅱ x<0,y>0,z>0
Ⅵ x<0,y>0,z<0
Ⅲ x<0,y<0,z>0
Ⅶ x<0,y<0,z<0
Ⅳ x>0,y<0,z>0
Ⅷ x>0,y<0,z<0
（2）过 B 点的中线长为________；（3）过 C 点中 线 长为___________；
6. 已知平行四边形 ABCD的两个顶点 A( 2 ,3 ,5 ), B(1 , 3 , 2 )及它的对角线的交点 E( 4 ,1 , 7 )，则 顶点 C 的坐标 为_________，顶点 D 的坐标为_____ ______；
0 32 y 12 0 12 0 02 y 12 0 22
解之得
y 3, 2
故所求点为
M
0,
3 2
,
0
.
例 3 求证以 M1(4,3,1)、 M2(7,1,2)、 M3(5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
化简得 2x 6y 2z 7 0
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.
前面三个例子中，所讨论的方程都是一次方程， 所考察的图形都是平面.可以证明空间中任意一个平 面的方程式三元一次方程
Ax By Cz D 0,
其中 A, B,C, D 均为常数，A, B,C 且不全为0.
八个卦限中点的坐标
卦限 点的坐标 x, y, z 卦限 点的坐标 x, y, z
Ⅰ x>0,y>0,z>0
Ⅴ x>0,y>0,z<0
Ⅱ x<0,y>0,z>0
Ⅵ x<0,y>0,z<0
Ⅲ x<0,y<0,z>0
Ⅶ x<0,y<0,z<0
Ⅳ x>0,y<0,z>0
Ⅷ x>0,y<0,z<0
（2）过 B 点的中线长为________；（3）过 C 点中 线 长为___________；
6. 已知平行四边形 ABCD的两个顶点 A( 2 ,3 ,5 ), B(1 , 3 , 2 )及它的对角线的交点 E( 4 ,1 , 7 )，则 顶点 C 的坐标 为_________，顶点 D 的坐标为_____ ______；
《空间直角坐标系》课件8 (北师大版必修2)
空间直角坐标系
直线上的点M可以用实数表示:
O
M
x
x
平面的点M可以用有序实数对表示： 0 y 那么立体空间中 M (x0,y0) y0 的点又应该怎样 x 表示呢?
O x0
空间直角坐标系
y z
z
o
x
y x
右手系
y
平面的点M用实数对表示：
y0 空间坐标系中的点M的坐标用 有序实数组(x0,y0,z0)来表示 其中:
2
M 2 M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6,
2
M 3 M1
2
(4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
原结论成立.
M 2 M 3 M 3 M1 ,
例2
设 P 在 x 轴上，它到 P1 (0, 2 ,3) 的距离为
D
G
F
o
C B
y
Ⅲ
z
zox 面
Ⅱ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ Ⅷ
o
y
Ⅵ Ⅴ
ⅠxBiblioteka 空间直角坐标系共有八个卦限
二、空间两点间的距离
设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为空间两点
z
R
M2
M1
d M1 M 2 ?
P
o
在直角 M 1 NM 2 Q 及 直 角 M PN 1 N 中， 使用勾股定理 y 可以求得距离
z
M (x0,y0)
x
O x0
x0是点M的横坐标,
y0是点M纵坐标, z0是点M的竖坐标
直线上的点M可以用实数表示:
O
M
x
x
平面的点M可以用有序实数对表示： 0 y 那么立体空间中 M (x0,y0) y0 的点又应该怎样 x 表示呢?
O x0
空间直角坐标系
y z
z
o
x
y x
右手系
y
平面的点M用实数对表示：
y0 空间坐标系中的点M的坐标用 有序实数组(x0,y0,z0)来表示 其中:
2
M 2 M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6,
2
M 3 M1
2
(4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
原结论成立.
M 2 M 3 M 3 M1 ,
例2
设 P 在 x 轴上，它到 P1 (0, 2 ,3) 的距离为
D
G
F
o
C B
y
Ⅲ
z
zox 面
Ⅱ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ Ⅷ
o
y
Ⅵ Ⅴ
ⅠxBiblioteka 空间直角坐标系共有八个卦限
二、空间两点间的距离
设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为空间两点
z
R
M2
M1
d M1 M 2 ?
P
o
在直角 M 1 NM 2 Q 及 直 角 M PN 1 N 中， 使用勾股定理 y 可以求得距离
z
M (x0,y0)
x
O x0
x0是点M的横坐标,
y0是点M纵坐标, z0是点M的竖坐标
课件高中数学_人教版必修：空间直角坐标系PPT课件_优秀版
x A (3, 0, 0)
B '(3, 4, 2)
4y
C (0, 4, 0)
B(3, 4, 0)
典型例题
例3 .结晶体的基本单位称为晶胞,如图是食盐晶胞的示意图(可看成 是八个棱长为 1/2的小正方体堆积成的正方体), 其中色点代表钠原 子,黑点代表氯原子. 如图,建立空间直角坐标系Oxyz后,试写出全部 钠原子所在位置的坐标.
数对（a,b,c)叫做点P的坐标 给定有序实数组(x,y,z),如何确定点的位置.
1
• （2）y轴对称的点P 为_(___x,_y_,___z_) ; 如图,建立空间直角坐标系Oxyz后,试写出全部钠原子所在位置的坐标.
注意 空间直角坐标系的画法
（1）x轴对称的点P1为__________;
2
• （3）z轴对称的点P 为__(__x_, __y_, _z_) . 如图,建立空间直角坐标系Oxyz后,试写出全部钠原子所在位置的坐标.
墙 墙
地面
新知探究
1.空间直角坐标系
如图,OABC-D1A1B1C1是单位正方体.以O为原点,分别以 射线OA,OC,OD1 的方向为正方向,以线段OA,OC, OD1的 长为单位长,建立三条数轴：x轴、y 轴、z 轴.这时我们说 建立了一个空间直角坐标系O-xyz .
其中点O叫做坐标原点, x
z
Ⅲ
z
yz 面 (-x0 , -y0)
（2）y轴对称的点P2为__________; 给定有序实数组(x,y,z),如何确定点的位置. 给定有序实数组(x,y,z),如何确定点的位置.
zx面
Ⅱ
以O为原点,分别以射线OA,OC,OD1 的方向为正方向,以线段OA,OC, OD1的长为单位长,建立三条数轴：x轴、y 轴、z 轴.
B '(3, 4, 2)
4y
C (0, 4, 0)
B(3, 4, 0)
典型例题
例3 .结晶体的基本单位称为晶胞,如图是食盐晶胞的示意图(可看成 是八个棱长为 1/2的小正方体堆积成的正方体), 其中色点代表钠原 子,黑点代表氯原子. 如图,建立空间直角坐标系Oxyz后,试写出全部 钠原子所在位置的坐标.
数对（a,b,c)叫做点P的坐标 给定有序实数组(x,y,z),如何确定点的位置.
1
• （2）y轴对称的点P 为_(___x,_y_,___z_) ; 如图,建立空间直角坐标系Oxyz后,试写出全部钠原子所在位置的坐标.
注意 空间直角坐标系的画法
（1）x轴对称的点P1为__________;
2
• （3）z轴对称的点P 为__(__x_, __y_, _z_) . 如图,建立空间直角坐标系Oxyz后,试写出全部钠原子所在位置的坐标.
墙 墙
地面
新知探究
1.空间直角坐标系
如图,OABC-D1A1B1C1是单位正方体.以O为原点,分别以 射线OA,OC,OD1 的方向为正方向,以线段OA,OC, OD1的 长为单位长,建立三条数轴：x轴、y 轴、z 轴.这时我们说 建立了一个空间直角坐标系O-xyz .
其中点O叫做坐标原点, x
z
Ⅲ
z
yz 面 (-x0 , -y0)
（2）y轴对称的点P2为__________; 给定有序实数组(x,y,z),如何确定点的位置. 给定有序实数组(x,y,z),如何确定点的位置.
zx面
Ⅱ
以O为原点,分别以射线OA,OC,OD1 的方向为正方向,以线段OA,OC, OD1的长为单位长,建立三条数轴：x轴、y 轴、z 轴.
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A(0, 0, 0), B(3, 0, 0), C(3, 2, 0), D(0, 2, 0), A’(0, 0, 1), B’(3, 0, 1),
C’(3, 2, 1), D’(0, 2, 1). z
A’
D’
B’
A o
C’
Dy
B
C
x
练习1.如图建立空间直角坐标系, 已知正方体的棱长为2, 求正
方体各顶点的坐标.
空间直角坐标系中点的坐标
问题提出 在日常生活中, 常常需要确定空间物体的位置, 根据你的
生活经验, 讨论以下问题: （1）你父母来学校开家长会, 你怎样向他们介绍你的教室? （2）你如何在图书馆中查找某本书? 归纳: 解决此类问题都需要知道__3__个数!
空间直角坐标系(一) 一、建立空间直角坐标系
(2) (2,3,0), (2,0,4), (0,3,4).
(3) (1,3, 5).
O
y
x
练习4.
z
A(0, 0, 8)
北
A
B(2, 5, 3)
B
D(6,12, 3)
D
O x
C
C(0,13,1)
E
E(6,16, 3) y
五、课堂小结
1.建立空间直角坐标系
z
空间坐标系包括原点O, x 轴, y 轴, z 轴.
z
答案：A(2,0,0) B(2,2,0)
D'
C'
C(0,2,0) D(0,0,0)
A'
B'
A'(2,0,2) B'(2,2,2)
C'(0,2,2) D'(0,0,2)
D A x
C y
B
练习2.建立空间直角坐标系, 求作下列各点： A(2,2,0), B(1,3,0), C(2,2,3), D(2, 1,1), E(0,0, 2).
z 第三个是 z 坐标, 称为点的竖坐标. Q(0, 0, z)
给定点P的坐标如何 在空间直角坐标系中作出 该点？
P (x, y, z)
O
M (x, 0, 0)
x
N (0, y, 0) y
Q (x, y, 0)
z
N(0, y, 0)
O
y
Q (x, y, 0)
M(x, 0, 0)
x Q(0, 0, z)
B
1• •D
y
x
小提示：坐标轴
上的点至少有两个 坐标等于0；坐标面 上的点至少有一个
坐标等于0.
点P的位置 原点o x轴上 y轴上 z轴上
坐标形式 (0, 0, 0) (x, 0, 0) (0, y, 0) (0, 0, z)
点P的位置 xoy面内 yoz面内 zox面内
坐标形式 (x, y, 0) (0, y, z) (x, 0, z)
四、例题与练习
例1.如图，点P1在x轴正半轴上，OP1 2, P1P在xoz平面上，且
垂直于x轴，PP1 1. 求点P1和P 的坐标. z
z 4
P(3,-2,4)
P(2,0,1)
或 (2,0,-1)
P
o
y
-2
o
y
P1
P1
3
x
x
例2.在空间直角坐标系中作出点P(3,-2,4).
例3.在同一空间直角坐标系中画出下列各点：
P (x, y, z)
三、点P在各卦限中x、y、z坐标的符号
点P所在卦限 坐标符号
点P所在卦限 坐标符号
Ⅰ
(+,+,+) Ⅴ
(+,+,-)
Ⅱ
(-,+,+) Ⅵ
(-,+,-)
Ⅲ (-,-,+)
Ⅶ (-,-,-)
Ⅳ (+,-,+)
Ⅷ (+,-,-)
特殊位置的点的坐标
z
•C 1 •E
F• O • A• 1
z D
C
O
A E x
y B
练习3.在空间直角坐标系O-xyz中： (1)哪个坐标平面与x轴垂直? 哪个坐标平面与y轴垂直?哪个坐标 平面与z轴垂直? (2)写出点P(2, 3, 4)在三个坐标平面内的射影的坐标; (3)写出点P(1, 3, 5)关于原点成中心对称的点的坐标
z
答案： (1)yOz, xOz, xOy.
记作：空间直角坐标系O-xyz.
O
y
2.空间直角坐标系中点的坐标
x
在空间直角坐标系中, 用一个三元有序数组来刻画空间
点的位置. 空间任意一点P的坐标记为(x, y, z),
x 是横坐标, y 是纵坐标, z是竖坐标.
点M
（x，y，z）
空间坐标系包括原点O, x 轴, y 轴, z 轴.
记作：空间直角坐标系O-xyz.
右手系
空间直角坐标系共有八个卦限
z
O
y
Байду номын сангаас
x
二、空间直角坐标系中点的坐标
在空间直角坐标系中, 用一个三元有序数组来刻画空间 点的位置. 空间任意一点P的坐标记为(x, y, z),
第一个是 x 坐标, 称为点的横坐标; 第二个是 y 坐标, 称为点的纵坐标;