泛函分析部分知识点汇总

度量空间：把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离，

使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤。

泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量空间，例如赋范

线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间。

一、度量空间的进一步例子

1、度量空间

设x 是一个集合，若对于x 中任意两个元素x,y ,都有唯一确定的实数d(x,y)与之

对应，而且这一对应关系满足下列条件：

1°

的充要条件为x=y 2° 对任意的z 都成立，

则称 d(x,y) 是 x,y 之间的距离，称 d(x,y)为度量空间或距离空间。

x 中的元素称为点。

2、常见的度量空间

（1）离散的度量空间 设 x 是任意的非空集合，对 x 中的任意两点 ，令 称 为离散的度量空间。

（2）序列空间S

令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中的任意两点

令 称 为序列空间。

（3）有界函数空间B(A ）

设A 是一个给定的集合，令B(A)表示A 上有界实值（或复值）函数全体，对

B(A)中任意两点x,y ，定义 （4）可测函数空间

设M(X)为X 上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m 为勒贝格测度，

若 ，对任意两个可测函数 及 由于 ，所以这是X 上的可积函数。令 （5）C[a,b]空间

令C[a,b] 表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续函数全体，对 C[a,b]中任意两

点x,y ，定义

二、度量空间中的极限、稠密集、可分空间

1、收敛点列

设 是（X ，d ）中点列，如果存在 ，使 则称点列 是（X ，d ） 中的收敛点列，x 是点列 的极限。 收敛点列性质：

（1）在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收敛点列的极限是唯

一的。

（2）M 是闭集的充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。

(,)0,(,)0d x y d x y ≥=(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+,x y X ∈1,(,)0,if x y d x y if x y ≠⎧=⎨=⎩(,)X d 1212(,,...,,...),(,,...,,...),n n x y ξξξηηη==1||1(,)21||i i i i i i d x y ξηξη∞=-=+-∑(,)S d (,)sup |()()|

t A d x y x t y t ∈=-()m X <∞()f t ()g t |()()|11|()()|

f t

g t f t g t -<+-|()()|(,)1|()()|X f t g t d f g dt f t g t -=+-⎰(,)max |()()|a t b d x y x t y t ≤≤=-{}n x x X ∈lim (,)0n n d x x →∞={}n x {}

n x

2、收敛点列在具体空间中的意义

（1）n 维欧式空间中：

为 中的点列， 即： 按欧式距离收敛于x 的充要条件是 依坐标收敛于

（2）序列空间S 中：

为 S 中的点列，

（3）C[a,b]空间

设 及X 分别为C[a,b] 中的点列及点，

（4）可测函数空间M(X)

设 及 f 分别为可测函数空间中的点列及点，

3、稠密集，可分空间

（1）设X 是度量空间，E 和M 是X 中的两个子集，令 表示M 的闭包，如

果 ，那么称集M 在集E 中稠密。 等价定义：

如果E 中任何一点x 的任何邻域都含有集M 中的点，就称M 在E 中稠密。

对任一 ，有M 中的点列 ，使得

（2）当E=X 时，称集M 为X 的一个稠密子集。

（3）如果X 有一个可数的稠密子集时，称X 为可分空间。

三、连续映射

1、度量空间中的连续性

设 X=(X,d)，Y=（Y ，d ） 是两个度量空间，T 是X 到Y 中的映射, 如果对于任意给定 ，存在 ，使对X 中一切满足 的x ，成立 则称T 在 连续。

我们也可以用集显来定义映射的连续性

连续性的极限定义

设T 是度量空间(X,d)到（Y ，d ） 中的映射，那么T 在 连续的充要条件为当 时，必有 2、连续映射

如果映射T 在X 的每一点都连续，则称T 是X 上的连续映射。

称集合 为集合M 在映射T 下的原像。

定理：

度量空间X 到Y 的映射T 是X 上的连续映射的充要条件为Y 中任意开集M

的原像 是X 中的开集。

n R ()()()12(,,...,),1,2,...,

m m m m n x m ξξξ==12(,,...,)n n x R ξξξ=∈()lim (,)0,()1m m i i m d x x m i n ξξ→∞

=⇔→→∞≤≤{}m x m x ()()()12(,,...,,...),1,2,...,m m m m n x m ξξξ==12(,,...,,...)n x S

ξξξ=∈()lim (,)0(),m m i i m d x x m ξξ→∞

=⇔→→∞{}n x (,)max |()()|n n a t b d x x x t x t ≤≤=-lim (,)0{}[,]n n n d x x x a b x →∞=⇔在上一致收敛于 {}n f lim (,)0()n n n d f f f t →∞=⇔⇒f(t)E M

⊂x E ∈{}n x ()n x x n →→∞0,

x X ∈0ε>0δ>0(,)

d x x δ<0(,)d Tx Tx ε<0x 0,

x X ∈0()n x x n →→∞0()

n Tx Tx n →→∞{|,}x x X Tx M Y ∈∈⊂1T M -