随机变量的数学期望与方差

再看一个例子。
例设 某 班 有 N个 学 生 ， 他 们 有m种 不 同 的 身 高 ：
x1,x2, ,xm ， 身 高 为 xk的 学 生 共 有 nk个 （ 1km ） ，
则 平 均 身 高 为 ：
x n 1 x 1 n 2 x 2 n m x m N
x 1 n N 1 x 2 n N 2 x m n N m k m 1 x k n N k
0, 其 他
随机变量的标准化
设 Var(X)>0, 令 Y XE(X)
Var(X)
则有 E(Y)=0, Var(Y)=1. 称 Y 为 X 的标准化.
2.3.3 切比雪夫不等式
设随机变量X的方差存在(这时均值也存在), 则 对任意正数ε，有下面不等式成立
P{|XE(X)|}Var(X) 2
P { |XE (X )|} 1V a r(2X )
X01 2 P 1/2 1/4 1/4 求 E(X2+2).
例2.2.6
设随机变 X的量分布律为
求随机变Y量 X函 2的数 数学期望
解： 法一 先求Y的分布律为
E ( Y ) 0 0 . 2 1 0 . 5 4 4 0 0 . 2 9 0 5 . 1 2 . 3 00
法二
E ( Y ) ( 2 ) 2 0 . 1 ( 0 1 ) 2 0 . 1 0 2 0 0 . 25 1 2 0 . 2 2 2 0 0 . 1 3 2 5 0 . 1 2 . 3 00
率，故平均身高就是 X 的一切可能值与相应的概率乘积 之和。
2.2.2 数学期望的定义
定义 2.2.1 （1）设离散型随机变量 X 的分布律为
PX xk pk , k 1,2,
若级数 xk pk 绝对收敛,则称级数 xk pk 的和为随
k 1
k 1
机变量 X 的数学期望(mathematical expectation),
§2.2 随机变量的数学期望
➢ 分赌本问题(17世纪) ➢ 甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元. ➢ 无平局，谁先赢3局，则获全部赌注. ➢ 当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博. ➢ 问如何分赌本?
两种分法
1. 按已赌局数分： 则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/3 2. 按已赌局数和再赌下去的“期望” 分
0
其它
1
2
解: (1) E(X)= xp(x)dx0xxdx1x(2x)dx
1x31(x21x3)2
30
31
=
1
(2) E(X2) = x2p(x)dx1x3dx2x2(2x)dx
0
1
= 7/6
所以, Var(X) = E(X2)[E(X)2] = 7/6 1 = 1/6
课堂练习
1x, 1x0 设 X~p(x)1x, 0x1 则方差 Var(X)=( )。
f(x)(x1 21), x
求E(X)
解：
1 x
E(X)(x21)dx
因为广义积分
| x| (x2 1)
dx不收敛
所 以 E (X)不 存 在
练习P82#8 某厂推土机发生故障后的维修时间 T是是一个随机变量(单位:h),其密度函数为
0.02e0.02t , t0;
p(t)
0,
t0,
试求平均维修时间 .
定义2.3.1 若 E(XE(X))2 存在，则称 E(XE(X))2 为 X 的方差，记为
Var(X)=D(X)= E(XE(X))2
对于离散型随机变量
D (X) [xiE(X)2 ]pi i1
其 P (X 中 xi)p i, i 1 ,2 ,是 X 的分布
对于连续型随机变量
D (X ) [x E (X )]2f(x )d x
例设2X.3~.2p(x)xnn!ex x0
0
x0
证明 P (0X2 (n 1 ))n
n 1
证明:
E(X) =
xxn exdx 0 n!
1 n!
(n
2)
=
n+1
E(X2) =
x2
0
xnexdx n!
1 (n n!
3)
=
(n+1)(n+2)
所以, Var(X) = E(X2)(EX)2 = n+1, 由此得
证明 设X的概率密度 f(x)为 ,则有
P (|X|) f(x)dx
|x|
| |x|
x|2 2
f(x)dx
1 2 (x)2f(x)dx2 2
切比雪夫不等式也可以写成
P(X | |)1 2 2
注意点
在概率论中"XE(X)"称为大偏差.
其概率 PXE(X)称为大偏差发生的概率。
2.3.2 方差的性质
(1) Var(c)=0. 性质 2.3.2 (2) Var(aX+b) = a2 Var(X). 性质 2.3.3 (3) Var(X)=E(X2)[E(X)]2. 性质 2.3.1
例2.3.1
x 0x1
设 X ~ p(x)2x 1x2 , 求 E(X), Var(X).
日走时误差 -3 -2 -1 0 1 2 3 （秒） 概率（甲） 0.1 0.15 0.15 0.2 0.15 0.15 0.1 概率（乙） 0.05 0.05 0.1 0.6 0.1 0.05 0.05
问题：能否用一个数值来刻画随机变 量X与其数学期望的偏离程度呢？
2.3.1 方差与标准差的定义
练习1
设X~
2x, p(x)0,
0x<1 其它
求下列 X 的函数的数学期望.
(1) 2X1, (2) (X 2)2
解: (1) E(2X 1) = 1/3,
(2) E(X 2)2 = 11/6.
§2.3 随机变量的方差与标准差
引例： 两个牌号手表的日走时误差情况如下 表。问哪一种牌号的手表走时更为准确？
注意点
➢ 数学期望简称为期望. ➢ 数学期望又称为均值. ➢ 数学期望是一种加权平均.
2.2.3 数学期望的性质
定理2.2.1 设 Y=g(X) 是随机变量X的函数， 若 E(g(X)) 存在，则
E(g(X))i1g(xi)P(Xxi)
g(x)p(x)dx
例2.2.5 设随机变量 X 的概率分布为
记为 E(x)即
E(X) xkpk k1
定义 2.2.2 设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x),若广
义积分 xf ( x)dx绝对收敛，则称积分 xf ( x)dx的值
为随机变量 X 的数学期望。记为 E(X) , 即
E(X)=
xf(x)dx
数学期望简称期望，又成为统计平均值，简称 均值。数学期望的量纲与随机变量的量纲相同
P ( 0 X 2 ( n 1 ) ) P ( | X E X | n 1 )
1(nn11)2
n n 1
(这ຫໍສະໝຸດ Baidu, = n+1)
定理 2.3.2
Var(X)=0 P(X=a)=1
： 因为再赌两局必分胜负，共四种情况：
甲甲、甲乙、乙甲、乙乙 所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/4
2.2.1 数学期望的概念
1654年帕斯卡提出如下的分法：设想再赌下去 ，则甲最终所得X为一个随机变量，其可能的 取值为0或100，分布列为
X 0 100 P 1/4 3/4
甲的“期望” 所得是：01/4 +100 3/4 = 75.
例2.2.7
某公司经销某种原料,根据历史资料表明:这
种原料的市场需求量X(单位:吨)服从
(300,500)上的均匀分布.每售出1吨该原料, 公司可获利1.5(千元);若积压1吨,则公司损失 0.5(千元).问公司该组织多少货源,可使平均 收益最大?
例2.2.8 设随机X在 变区 量 (0,间 )内服从均, 匀
求随机变 Y量 sinX 函 的数 数学期望
解： 法一
利用分布函数法Y的 求概 得率密度
fy(y)
2 1y2
,
0y1
0, 其它
1
2
2
E(Y)0y1y2d y
法二
依题意X的概率密度为
f(x)1,
0,
0x
其它
12
E (Y)0sixn d x
数学期望的性质
(1) E(c) = c (2) E(aX) = aE(X) (3) E(g1(X)+g2(X)) = E(g1(X))+E(g2(X))
例2.2.3
设 X 的 密 度 函 数 为 f( x ) e x , x 0 ,求 E ( X ) 0 , x 0
解： 依题意, X的概率密度为
于是有
ex, x0
f(x) 0, x0
E(X)
x f(x)dx
x
exdx
0
x
ex
exdx
00
1 exdx 1
0
例2.2.4
设随机 X服 变 C 从 量 au分 ch,布 概 y 率密度为
上式中x1 ,
x2 ,, x m ,为各种可能的身高，而
n1 ,n2 ,,nk NN N
为相应的百分比。
用概率的术语来说， 从班中任选一个学生作为实 验 E , 选中的学生身高 X 为随机变量，此时 x1,, xm 就 是 X 所有可能取的一切值，而 n1 , n2 ,, nm 便是相应的概
NN N
E ( X 1 ) 0 0 . 3 1 0 . 3 2 0 . 2 3 0 . 2 1 . 3 由E(X1)知甲平均一天 1.3件 生次 产,而 品 出 E ( X 2 ) 0 0 . 2 1 0 . 5 2 0 . 3 3 0 1 . 1 所以甲的技术水平比乙 低
例2.2.1
X 1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.4 0.3
解
E(X) = 1×0.2+0×0.1+1×0.4+2×0.3 = 0.8.
例2.2.2 甲乙两工人每天相生同产数出量同种类品型，的
用 X1,X2分别表示甲生 乙产 两次 人 ,经 品 某统 数 天计
试比较他们技术水平的 高低。
解： 根据定,X义 1的数学期望
其中f (x)是X的概率密度
该公式是计算 方差一个很重 要的公式
D (X ) E (X 2 ) [E (X )2]
注意点
(1) 方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度. 方差越大, 则随机变量的取值越分散.
(2) 称X = (X)= Var(X) 为X 的标准差. 标准差的量纲与随机变量的量纲相同.