高中数学必修五不等式方法与题型总结

不等式的题型方法总结

1 不等式性质

1、不等式的性质：课本性质请自己整理。 注意：如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。

如（1）对于实数中，给出下列命题：①

；②；③；④；⑤

；⑥；⑦；⑧，则。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知，，则的取值范围是______（答：）；（3）已知，且则

的取值范围是______（答：）

2.比较大小的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量（一般先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小）或放缩法 ；(8)图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象），直接比较大小。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 一、a b -与0比较大小。 1、基本功练习 1.1 比较3(1)2a +

+

与3

4(1a

--的大小。 解析：注意立方和差公式。

3322

()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++

1.2 比较22123x +与32120x +的大小，其中x R ∈。

1.3 ,a b 都是正数，比较11

2222()()a b

b a

+

大小。

1.4 比较62019x +与422018x x ++的大小，其中

x R ∈。

1.5 已知,,,a b c d ∈{正实数}，且b c <，比较ab d +与

ac bc d ++的大小。

1.6 已知0,1,0x x m n >≠>>，比较1

m m x x

+

与1

n n

x x +

的大小。 1、综合能力提升

2.1 已知正数,,a b c 满足lg a 、lg b 、lg c 成等差数列，比较222a b c -+与2

()a b c -+的大小。

2.2 已知420202A x =+，3222019B x x =++，

x R ∈，比较A 与B 的大小。

2.3 设,a b 都是正实数，且a b ≠，比较55a b +与

3223a b a b +的大小。

2.4 设,a b 都是正实数，*

,m n N ∈，且1m n ≤≤，比较n n a b +与n m m m n m a b a b --+的大小。 二、

a

b

作商与1比较大小。 1、基本功练习

1.1 比较1816与1618的大小

1.2 比较

的大小。 1.3

2、能力提升

2.1 设,a b 都是正实数，比较2

a b +与1

()b a

a b a b +的大小。

,,a b c 22,a b ac bc >>若则22,ac bc a b >>若则220,a b a ab b <<>>若则11

0,a b a b <<<若则0,b a

a b a b

<<>若则

0,a b a b <<>若则0,a b c a b c a c b >>>>--若则

11

,a b a b

>>若0,0a b ><11x y -≤+≤13x y ≤-≤3x y -137x y ≤-≤a b c >>0,a b c ++=c a 12,2⎛

⎫-- ⎪⎝

⎭

2.2 设,a b 都是正实数，且a b ≠，比较a b a b 与b a a b 的大小。

解析：即可用作商也可用作差。

2.3 已知{lg ,110}x y y t t ∈=<<，比较log (1)a x -与log (1)a x +的大小。

3

2×3次方后比较大小，去根号。

4、1()(1)(1)p q

p q p q x

x x x x ++-+=++，因式分解的

一种题型。

5、特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。

2 基本不等式

1、基本不等式证明不等式。（应用）

1.1 设,,a b c 都是正数，求证：

bc ca ab a b c a b c

++≥++。 解析：不等号两边同时乘以2.

1.2 已知,a b 是正数，2c a b >+，求证： （1）2c ab >

（2

）c a c <<解析：第一问不等号两边同时平方。

第二问变型为a c -<然后两边同时平

方。

1.3

,,a b c 都是正数，求证

：

)a b c ≥++。

解析：找2

2

a b +与()a b +的关系。注意：

222a b ab +≥，两边同时加22a b +即可。

1.4 ,,a b c 是不全相等的正数，求证：

222222()()()6a b c b c a c a b abc +++++>。

1.5 设,,a b c 是正数，求证：

3332221

()()3

a b c a b c a b c ++≥++++。

解析：本题属于难题：要由基本不等式引申得到

22()()2()a b a b ab a b ++≥+，所以

3322a b a b ab +≥+

想办法凑出

1

3

等其他部分。 1.6

,,a b c

都是正数，求证：

444()a b c abc a b c ++≥++

1.7

设

,a b 是实数，求证：

0.511

log (

)144a

b a b +≤+-。 2

、2

a b +≥求最大值最小值。

注意： 利用重要不等式求函数最值时， “一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”常用的方法为：拆、凑、平方。

如1.的最小值。 2.的最小值

3.

的最大值。

4. 的最小值

5.若，则的最小值是______

6.正数满足，则的最小值为_____。

7.常用不等式有：

（1） （请尝试自己证明上述不等式) ；

（2）a 、b 、c R ，（当且仅当时，取等号）； （3）若，则

。 1y x x

=

+2y 4

23(0)y x x x =-->423(0)y x x x

=-->21x y +=24x y +,x y 21x y +=11

x

y

+22

11a b a b

+≥+∈222a b c ab bc ca ++≥++a b c ==0,0a b m >>>b b m

a a m

+<+