分块对角矩阵的性质
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性质 ４】 设 Ａ为 ， Ｉ ３ ｌ 阶可逆分块对角矩阵 ，Ａ＝ ｉ （ｌ Ａ ， Ａ ） ｄ ｇＡ ， ２ …， ，Ａ’ Ａ ｆ １２ …， ） ａ ， ｉ ＿ ， ， 分别为 （
Ａ（ ２ 的 矩， ＊ａ ｆ ， 伴 阵１ ｄ ＿ … 随 ．＝ｇ １ ＇ ￣ ｉ ］ （ Ａ
Ａ＝ｄａ（１Ａ ， Ａ ） ｉｇＡ， ２ …， ，Ｐ：ｄａ （ 尸 ， ， ） ｉｇ￣， ２ … ．
…Ａ ，： ］ ．
性质 ５ 设分块对角矩阵 Ａ＝ ｉ （１ Ａ ， Ａ ） ｄ ｇＡ ， ： …， 的特征值依次构成的矩阵为 Ａ， ａ 对应的特征向量构
成的矩阵为 Ｐ． Ａ “＝ ， ，…， 的特征值依次构成的矩阵为Ａ ＝ ｉ （ｉ ２ …， ） － ， ， ） ｉ １２ ） ｆ ｄ ｇ２ ， ， （ １２ …， ， ａ ｆ
充要条件是 Ａ正交 （ Ａ ’ Ｅ ） 即Ａ ＝ ．
证 明 必要 性 ． 因为各 非零 子块 Ａ （ １ ２ …， 是 正交 矩 阵 ，即 Ａ Ａ 。 Ｅ ｉ １ ２ …， ，则 ｉ ＝ ， ， ） ｉ ｊ ＝ （＝ ， ， ）
Ａ ＝ｄａ （ ｌ ２ … ，Ａ ） ｉｇ Ａ ，Ａ ， ，Ａ ） Ａ ｉｇ Ａ ，Ａ ， ［ ａ （ １ ２ … ｄ 】 ＝ｄａ （ １ ２ ｉｇ Ａ ，Ａ ，… ，Ａ ）ｉ （ １ Ａ２ … ，Ａ ） 。ｄａ Ａ ， ， ｇ 。 ＝ ｄａ （ １ １， ２ ２ ， ， ）＝Ｅ． ｉｇＡ Ａ Ａ Ａ … Ａ Ａ
性质 ５ 明，分块对角矩阵各子块 的特征值与分块对角阵的特征值相等 ，各子块特征值对应的特征向 表
量 的扩展向量就是分块对角矩阵相同特征值所对应 的特征向量．
性质 ６ 分块对角矩阵 Ａ＝ ｉ （ １ Ａ ， Ａ ） ｄ ｇＡ ， ２ …， ｓ 与分块对角矩阵Ａ＝ ｉ （ Ａ ， Ａ ） ａ ｄ ｇＡ ， ２ …， 相似 的充要 ａ
对应 的特征 向量构成的矩阵为 Ｐ（＿ ， ， ） ｊ １ ２ …， ，即有 Ａ ＝ Ａ （＝ ， ， ） ｉ ｆ １ ２ …， ，则 Ａ Ｐ ｉ Ｐ＝ Ａ，其中 ： 证明 因为 Ａ Ｉ ｆ ｆ ＝ ， ， ） ｉ ＝Ｐ （ １ ２ …， ，所以，Ａ Ｐ ｆ Ｐ＝ｄ ｇ Ａ ， ２ …， ｄ ｇ ， ２ …， ） ｉ （１ Ａ ， ａ Ａ ）ｉ （ Ｐ ， ＝ ａ ｄ ｇ １ Ａ Ｐ， Ａ ） ｄ ｇ １ｌ Ｐ ２ …， ｉ （ 毋， ｚ２ …， ｓ ＝ ｉ （ Ａ ， ２ ， ａＡ ａＰ ） ｄ ｇ Ｐ， ） ａ Ａ， ２ …， ＝ Ａ．证毕． ＝ ｉ （ ２ …， ｄ ｇ ｌＡ ， Ａ ） Ｐ ａ ￣， ｉ（
ａｊｉｔ ａｒ ｆ ｌｃ ｉｇｎｌ ｔｘ ｎ ｎ Ｇ ｖ ｎ ｍ ｅ ｅ ｒｐ ｒｅ ｆ ｉ ｎ ａ ｅ ｅｇｎ ｅｔ ，ｉ ｌ ｄｏ ｔｘ ｏ ｋ ａ ｏａ ｍａ ｉ ｄＳ ｏ ． ａ ｅ ｕ ｂ ｒ ｆ ｏ ｅ ｉｓ ｇ ｖ ｕ ，ｉ ｖｅｏ ｓ ａ ｎ ｍ ｉｏｂ ｄ ｒａ Ｏ ａ ｏｔ ｐ ｔ ｏｅ ｅ ｌ ｈ ｅ ｓ ｒ ｍｉ ｒ
条件是各非零子块 Ａ （＝ ， ， ） ｉ １２ …， 与对角矩阵 Ａ ＝ ｉ （ｉ ２ …， ） １ ２ …， 相似。 ｆ ｉ ｄａ ． ＇ ， “＝ ， ， ） ｇ￣ ｌ 证明 充分性．因为 Ａ （ １ ２ …， 与对角矩阵 Ａ ＝ ｉ （ｉ ２ …， ） ＝ ， ， ） ｉ ， ， ） ｊ ｄａ ２ ， ， （ １２ …， 相似 ，所 ｇ １ ｆ
性质 １ 设Ａ为分块对角矩阵，Ａ＝ ｉ （，Ａ， Ａ） 则ＪＩＩ １ ． 【 】 ｄ ｇ ， ：…， ， Ａ＝Ａ ， １・ Ｉ ａＡ ４ ．ｌ ． Ａ 性质 ２ 设Ａ为分块对角矩阵，Ａ＝ ｉ （ｌＡ ， Ａ） ＿ ｉ ｏ ＝ ， ， ） 则ＩＩ ０ 并 ｕ ｄ ｇＡ， ２ …， ，Ｈｌ Ｉ （ １２ …， ， Ａ≠ ， ａ ａ≠ ｉ
高 师 理 科 学 刊
第 ３ 卷 １
参 考文献 ：
【 同济大学数学教研室．线性代 数【】 版．北 京 ：高等教育 出版社 ，１９ ：６—２ １ 】 Ｍ ．３ ９９ １６ 【 姚慕生 ，高汝熹 ．高等数学 （ ） ２ ］ 二 第一分册 ・ 线性代数【】 Ｍ．武汉 ：武汉大学出版社 ， ００ ９ ９ ２０ ：８—０ 【 李 宗成 ，张建航 ， 晓峰．伴 随矩 阵的性质探讨【 ］ ３ ］ 宋 Ｍ．西安通信 学院学报 ， ０４（ ） ０５ ２０ ２ ：５－ １
ＬＩＺｏ ｇ ｈｅ ｇ ｎ －ｃ ｎ
（ ｅａｔｅ Ｆｕ ｄｔ ｎ ｉｎＣ ｍ ｎｃｆ ｎ Ｉｓｔｔ，Ｘ ＇ １１６ ｈ ａ Ｄ ｐｒ ｎ ｆ ｏｎ ａｏ ，Ｘ＇ ｏ ｕｉａｏｓ ｎｔｕｅ ｉｎ７０ ０ ，Ｃ ｉ ） ｍ ｏ ｉ ａ ｉ ｉ ａ ｎ
Ａｂ ｔａ ｔ Ｓ ｍｍａｉｅ ｅｐ ｏ ｅｔ ｓ ｆｈ ｅｅ ｍｉａ ｔ ｒｖ ｒｉｌ ｎ ｖ ｒｅｍａｒ ａｃ ｌｔ ｎ ｍｕｔ ｌ ａｉｎ ｓｒｃ ： ｕ ｒｚｄｔ ｒｐ ｒｉ ｅｄ ｔｒ ｎ ｎ ， ｅ ｅｓｂｅａ ｄｉ ｅｓ ｔｉ ｃ ｕａｉ ， ｈ ｅ ｏｔ ｎ ｘ ｌ ｏ ｌｐ ｉ ｔ ， ｉ ｃ ｏ
第 ３ 卷 第 ６ ｌ 期
２ １ ０ １庄
高 师 理 科 学 刊
Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｃｅ ｃ ｆ ｅ ｃ ｅｓ Ｃ Ｕ ｇ ｎ ｉｅ ｉ ｏ ｒ ａ ｉｎ ｅｏ ａ ｈ ｒ ｏ ｅ ｅａ ｄＵｎｖ ｒ ｔ ｏＳ Ｔ ｓ ｙ
Ｖ０． Ｎｏ６ １ ３ｌ ．
ＮＯ ． ２ １ Ｖ ０ １
１ １月
文章 编号 ：１０ — ８ ２ １ ）０ —０ ０ ０ ０７ ９ ３ １（ ０ ６ ０ ２— ３ １
Biblioteka Baidu
分块对角矩阵的性质
李宗成
（ 西安通信学院 基础部 ，陕西 西安 ７０ ０ ） １１６
摘要：对分块对角矩阵的行列式、可逆性及逆阵计算、乘法、伴随矩阵等性质进行 了总结．给出
了非零 子块矩 阵 与分块对 角矩 阵特征值 、特征 向量 、可相似 对 角化 、可 正交相似 对 角化等 方面 的 若 干性质 ，并给 出 了相应 证 明． 关 键词 ：分 块对 角阵 ；相 似 ；正 交
所 以 存 在 可 逆 矩 阵 Ｐ ， 使 得 Ｐ Ｐ＝Ａ ． 显 然 Ｐ 可 以 写 成 Ｐ＝ ｉ （ Ｐ ， ）， 且 有 Ａ ｄ ｇ￣， ２ …， ａ
Ｐ～＝ ｉ （ ～ 巧 …， ｄ ｇ￣ ， ， ａ
（ １ ２ …， ． ， ， ）
）． 由 Ｐ Ａ Ｐ＝ 可 知 ， Ａ
值 、特征 向量 、可相似对角化 、可正交相似对角化等方面的若干ｆ质 ，并给出了相应证明． 生
定义 设 Ａ为 ｎ 阶矩阵，若 Ａ的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块 ，其余子块都为零矩 阵，且
非零子块都是方阵，即
Ａ＝ △
＝
ｄａ （ １ Ａ ， ， ｉｇＡ ， ２ … Ａ ）
其中： ＝， ， ， 都是 Ａ １２ … ） 方阵， 数分 阶 别为ｎ ， … ，， ｌ ，ｚ 且∑，＝ｌ 则称Ａ 分块 矩阵 ， ， ｚ， ， 为 对角 ．
中图分类号 ：０ ５ ． １１ １ ２
文献标识码 ：Ａ
ｄ ｉ ０ ９ ９ ．ｓ． ０— ８ １ ０ １ ６ ０ ｏ：１． ６／ ｓ １ ７ ９ ３． １． ． ７ ３ ｊ ｎ０ ｉ ２ ００
Ｔ ｅｐ ｏ ｅ ｔ ｓｏ ｅｂ ｏ ｋｄａ ｏ ａ ｔｉ ｈ ｒｐ ｒｉ ｆ ｈ ｌｃ ｉｇ ｎ ｌ ｅ ｔ ｍａｒ ｘ
ｆ ＿ｌ
收稿 日期 ：２ １－ ５ ２ ０ １０ —５ －
作者简介 ：李宗成 （ ９６ ，男，陕西岐山人 ，副教授 ，从事应用数学教学研究．Ｅ ｍ ｉ ｚｘ ｎ９９ ６ ． ｒ １６ 一） — ａ ：ｌ ｉ ９９ ＠１３Ｃｎ ｌ ｃａ Ｏ
第 ６期
李宗成 ：分块对角矩 阵的性质
２ １
２ 分块对 角矩 阵的性质
Ａ ＝Ａ （＿ ， ， ）， 即 各 非 零 子 块 ｊ ｊ １２ …， ｆ
证毕．
Ａ （ ， ， ） ＝１２ …， 与对角矩 阵 ＝ ｉ （ ： …， ） ＝１ ２ …， 相似 ，且对应的相似变换矩阵就是 ｆ ｄａ ￣ ， ， （ ， ， ） ｇ １
性质 ７ 设 Ａ＝ ｉ （１ Ａ ， Ａ ） ｄａ Ａ ， ２ …， ，则各非零子块 Ａ （． ， ， ） ｇ ｊ １ ２ …， 是正交矩阵 （ ＡＡ ＝ ）的 ｆ 即 ｆｆ Ｅ
充分 陛逆推即可． 由性质 ６ 和性质 ７ 容易得到性质 ８ ．
证毕．
性质 ８ 分块对角矩 阵Ａ＝ｄ ｇＡ， ２ …， 与分块对角矩阵 Ａ＝ ｉ （ Ａ ， Ａ ） ｉ （ｌ Ａ ， Ａ ） ａ ｄ ｇＡ， ２ …， 正交相似的 ａ 充要条件是各非零子块 Ａ （＝ ， ， ） 『 １２ …， 与对角矩阵 Ａ ＝ ｉ （ 】 ２ …， ） １２ …， 正交相似． ｆ ｆ ｄａ ￣ ， ， “＝ ， ， ） ｇ 本文对分块对角矩阵的性质作了系统地归纳和总结 ，在此基础上给出并证明了各非零子块与分块对角 矩阵之间特征值 、特征 向量、可相似对角化、可正交相似对角化方面的若干结论．
以存在可逆矩阵 ＝ ， ， ） 使得 ～ ｉ ＝ ｆ １２ …， ） 令 Ｐ＝ ｉ （ ， ， ） 则 Ｐ可逆 ， １ ２ …， ， Ａ ４（＿， ， ． ｄｇｌ ａ ￣ …， ，
且 Ｐ ｄ 一＝ ｉ ａ ， ， ）． 因 此 Ｐ Ａ ｄ 巧 …， Ｐ＝ ｉ ， ， ） Ａ， ， ） ， ２…， ） …， ｄ ｉ …， （ １ ｉ Ｐ ， ＝
ｄａ ｏ ａｉ ｔ ｎ ｓｍｉ ｒ ｏ ｏ ａ ｉｇ ｎ ｌ ａｉｎ ｏ ｏ － ｅ ｕ － ｌｃ ｔ ｘ ａ ｄ ｂｏ ｋ ｄａ ｏ ａ ｔｉ， ａ ｄ ｉｇ ｎ ｌ ａｉ ， ｉ ｌ ｏｔ ｇ ｎ ｌ ａ ｏ ａｉ ｔ ｆｎ ｎ ｚ ｒ ｓ ｂ ｂｏ ｋ ｍａｒ ｌｃ ｉｇ ｎ ｍａｒ ｚ ｏ ｒ ａ ｈ ｄ ｚ ｏ ｏ ｉ ｎ ｌ ｘ ｎ
ｄ ｉ
Ａ ， 巧
， …，
） ｄａ（ Ａ ， Ａ ） Ａ，即 Ａ与 ／相似． ＝ ｉ Ａ ， ２ …， ＝ ｇ １
必要性．因为分块对角矩阵 Ａ＝ ｉ （， Ａ ， Ａ ） ｄａ Ａ ， ２ …， 与分块对角矩阵 Ａ＝ ｉ （ｌ Ａ ， Ａ ） ｇ ｄａ Ａ ， ２ …， 相似 ， ｇ
ｍｅ ｗ ｉ ａ ｅｔ ｅｃ ｒｅ ｐ ｎ ｉ ｇｐ ｏ ｏ ｔ ｔ ｎ ａ ｈ ｌ ｇ ｖ ｏ ｒ ｓ ｏ ｄ ｎ ｒ ｆ ｂ ｕ ． ｅ ｈ ｏ ａ ｉ
Ｋｅ ｏ ｄ ： ｂｏ ｋｄａ ｏ ａ ｔ ｘ； ｓｍｉ ｒ ｏｔｏ ｏ ａ ｙｗ ｒ ｓ ｌｃ ｉ ｎ ｌ ｇ ｍａｒ ｉ ｉ ｌ ； ｒ ｇｎ ａ ｈ ｌ
有Ａ ＝ｄ ｇａ ｉ （ｌ， ａ － ， …， ） ．
性质 ３ 设 Ａ Ｂ为 同型 及分 块方 法相 同的分 块对 角矩 阵 ，且 Ａ＝ ｉ （ 】 Ａ ， Ａ ） ， ｄ ｇＡ ， ２ …， ，Ｂ＝ ａ ｄ ｇＢ ， ２ …， ，则 Ａ ｉ （１ Ｂ ， Ｂ ） ａ Ｂ仍为同型分块对角矩阵 ，Ａ ｄ ｇＡＢ ， ２ ２ …， ， ． Ｂ＝ ｉ （ｌ１ Ａ Ｂ ， Ａ Ｂ ） ａ
１ 分块对角矩阵 的概念
矩阵是线性代数课程的主要内容之一 ，在线性代数理论中占有重要地位．矩阵的分块是解决矩阵疑难 问题 的有效途径和方法．分块对角矩阵由于 自身的结构特征 ， 本身具有很特殊的性质 ，现行教材对分块对 角矩阵概念和简单性质有所涉及．本文在总结原有性质的基础上给出了非零子块矩阵与分块对角矩阵特征
Ａ（ ２ 的 矩， ＊ａ ｆ ， 伴 阵１ ｄ ＿ … 随 ．＝ｇ １ ＇ ￣ ｉ ］ （ Ａ
Ａ＝ｄａ（１Ａ ， Ａ ） ｉｇＡ， ２ …， ，Ｐ：ｄａ （ 尸 ， ， ） ｉｇ￣， ２ … ．
…Ａ ，： ］ ．
性质 ５ 设分块对角矩阵 Ａ＝ ｉ （１ Ａ ， Ａ ） ｄ ｇＡ ， ： …， 的特征值依次构成的矩阵为 Ａ， ａ 对应的特征向量构
成的矩阵为 Ｐ． Ａ “＝ ， ，…， 的特征值依次构成的矩阵为Ａ ＝ ｉ （ｉ ２ …， ） － ， ， ） ｉ １２ ） ｆ ｄ ｇ２ ， ， （ １２ …， ， ａ ｆ
充要条件是 Ａ正交 （ Ａ ’ Ｅ ） 即Ａ ＝ ．
证 明 必要 性 ． 因为各 非零 子块 Ａ （ １ ２ …， 是 正交 矩 阵 ，即 Ａ Ａ 。 Ｅ ｉ １ ２ …， ，则 ｉ ＝ ， ， ） ｉ ｊ ＝ （＝ ， ， ）
Ａ ＝ｄａ （ ｌ ２ … ，Ａ ） ｉｇ Ａ ，Ａ ， ，Ａ ） Ａ ｉｇ Ａ ，Ａ ， ［ ａ （ １ ２ … ｄ 】 ＝ｄａ （ １ ２ ｉｇ Ａ ，Ａ ，… ，Ａ ）ｉ （ １ Ａ２ … ，Ａ ） 。ｄａ Ａ ， ， ｇ 。 ＝ ｄａ （ １ １， ２ ２ ， ， ）＝Ｅ． ｉｇＡ Ａ Ａ Ａ … Ａ Ａ
性质 ５ 明，分块对角矩阵各子块 的特征值与分块对角阵的特征值相等 ，各子块特征值对应的特征向 表
量 的扩展向量就是分块对角矩阵相同特征值所对应 的特征向量．
性质 ６ 分块对角矩阵 Ａ＝ ｉ （ １ Ａ ， Ａ ） ｄ ｇＡ ， ２ …， ｓ 与分块对角矩阵Ａ＝ ｉ （ Ａ ， Ａ ） ａ ｄ ｇＡ ， ２ …， 相似 的充要 ａ
对应 的特征 向量构成的矩阵为 Ｐ（＿ ， ， ） ｊ １ ２ …， ，即有 Ａ ＝ Ａ （＝ ， ， ） ｉ ｆ １ ２ …， ，则 Ａ Ｐ ｉ Ｐ＝ Ａ，其中 ： 证明 因为 Ａ Ｉ ｆ ｆ ＝ ， ， ） ｉ ＝Ｐ （ １ ２ …， ，所以，Ａ Ｐ ｆ Ｐ＝ｄ ｇ Ａ ， ２ …， ｄ ｇ ， ２ …， ） ｉ （１ Ａ ， ａ Ａ ）ｉ （ Ｐ ， ＝ ａ ｄ ｇ １ Ａ Ｐ， Ａ ） ｄ ｇ １ｌ Ｐ ２ …， ｉ （ 毋， ｚ２ …， ｓ ＝ ｉ （ Ａ ， ２ ， ａＡ ａＰ ） ｄ ｇ Ｐ， ） ａ Ａ， ２ …， ＝ Ａ．证毕． ＝ ｉ （ ２ …， ｄ ｇ ｌＡ ， Ａ ） Ｐ ａ ￣， ｉ（
ａｊｉｔ ａｒ ｆ ｌｃ ｉｇｎｌ ｔｘ ｎ ｎ Ｇ ｖ ｎ ｍ ｅ ｅ ｒｐ ｒｅ ｆ ｉ ｎ ａ ｅ ｅｇｎ ｅｔ ，ｉ ｌ ｄｏ ｔｘ ｏ ｋ ａ ｏａ ｍａ ｉ ｄＳ ｏ ． ａ ｅ ｕ ｂ ｒ ｆ ｏ ｅ ｉｓ ｇ ｖ ｕ ，ｉ ｖｅｏ ｓ ａ ｎ ｍ ｉｏｂ ｄ ｒａ Ｏ ａ ｏｔ ｐ ｔ ｏｅ ｅ ｌ ｈ ｅ ｓ ｒ ｍｉ ｒ
条件是各非零子块 Ａ （＝ ， ， ） ｉ １２ …， 与对角矩阵 Ａ ＝ ｉ （ｉ ２ …， ） １ ２ …， 相似。 ｆ ｉ ｄａ ． ＇ ， “＝ ， ， ） ｇ￣ ｌ 证明 充分性．因为 Ａ （ １ ２ …， 与对角矩阵 Ａ ＝ ｉ （ｉ ２ …， ） ＝ ， ， ） ｉ ， ， ） ｊ ｄａ ２ ， ， （ １２ …， 相似 ，所 ｇ １ ｆ
性质 １ 设Ａ为分块对角矩阵，Ａ＝ ｉ （，Ａ， Ａ） 则ＪＩＩ １ ． 【 】 ｄ ｇ ， ：…， ， Ａ＝Ａ ， １・ Ｉ ａＡ ４ ．ｌ ． Ａ 性质 ２ 设Ａ为分块对角矩阵，Ａ＝ ｉ （ｌＡ ， Ａ） ＿ ｉ ｏ ＝ ， ， ） 则ＩＩ ０ 并 ｕ ｄ ｇＡ， ２ …， ，Ｈｌ Ｉ （ １２ …， ， Ａ≠ ， ａ ａ≠ ｉ
高 师 理 科 学 刊
第 ３ 卷 １
参 考文献 ：
【 同济大学数学教研室．线性代 数【】 版．北 京 ：高等教育 出版社 ，１９ ：６—２ １ 】 Ｍ ．３ ９９ １６ 【 姚慕生 ，高汝熹 ．高等数学 （ ） ２ ］ 二 第一分册 ・ 线性代数【】 Ｍ．武汉 ：武汉大学出版社 ， ００ ９ ９ ２０ ：８—０ 【 李 宗成 ，张建航 ， 晓峰．伴 随矩 阵的性质探讨【 ］ ３ ］ 宋 Ｍ．西安通信 学院学报 ， ０４（ ） ０５ ２０ ２ ：５－ １
ＬＩＺｏ ｇ ｈｅ ｇ ｎ －ｃ ｎ
（ ｅａｔｅ Ｆｕ ｄｔ ｎ ｉｎＣ ｍ ｎｃｆ ｎ Ｉｓｔｔ，Ｘ ＇ １１６ ｈ ａ Ｄ ｐｒ ｎ ｆ ｏｎ ａｏ ，Ｘ＇ ｏ ｕｉａｏｓ ｎｔｕｅ ｉｎ７０ ０ ，Ｃ ｉ ） ｍ ｏ ｉ ａ ｉ ｉ ａ ｎ
Ａｂ ｔａ ｔ Ｓ ｍｍａｉｅ ｅｐ ｏ ｅｔ ｓ ｆｈ ｅｅ ｍｉａ ｔ ｒｖ ｒｉｌ ｎ ｖ ｒｅｍａｒ ａｃ ｌｔ ｎ ｍｕｔ ｌ ａｉｎ ｓｒｃ ： ｕ ｒｚｄｔ ｒｐ ｒｉ ｅｄ ｔｒ ｎ ｎ ， ｅ ｅｓｂｅａ ｄｉ ｅｓ ｔｉ ｃ ｕａｉ ， ｈ ｅ ｏｔ ｎ ｘ ｌ ｏ ｌｐ ｉ ｔ ， ｉ ｃ ｏ
第 ３ 卷 第 ６ ｌ 期
２ １ ０ １庄
高 师 理 科 学 刊
Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｃｅ ｃ ｆ ｅ ｃ ｅｓ Ｃ Ｕ ｇ ｎ ｉｅ ｉ ｏ ｒ ａ ｉｎ ｅｏ ａ ｈ ｒ ｏ ｅ ｅａ ｄＵｎｖ ｒ ｔ ｏＳ Ｔ ｓ ｙ
Ｖ０． Ｎｏ６ １ ３ｌ ．
ＮＯ ． ２ １ Ｖ ０ １
１ １月
文章 编号 ：１０ — ８ ２ １ ）０ —０ ０ ０ ０７ ９ ３ １（ ０ ６ ０ ２— ３ １
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分块对角矩阵的性质
李宗成
（ 西安通信学院 基础部 ，陕西 西安 ７０ ０ ） １１６
摘要：对分块对角矩阵的行列式、可逆性及逆阵计算、乘法、伴随矩阵等性质进行 了总结．给出
了非零 子块矩 阵 与分块对 角矩 阵特征值 、特征 向量 、可相似 对 角化 、可 正交相似 对 角化等 方面 的 若 干性质 ，并给 出 了相应 证 明． 关 键词 ：分 块对 角阵 ；相 似 ；正 交
所 以 存 在 可 逆 矩 阵 Ｐ ， 使 得 Ｐ Ｐ＝Ａ ． 显 然 Ｐ 可 以 写 成 Ｐ＝ ｉ （ Ｐ ， ）， 且 有 Ａ ｄ ｇ￣， ２ …， ａ
Ｐ～＝ ｉ （ ～ 巧 …， ｄ ｇ￣ ， ， ａ
（ １ ２ …， ． ， ， ）
）． 由 Ｐ Ａ Ｐ＝ 可 知 ， Ａ
值 、特征 向量 、可相似对角化 、可正交相似对角化等方面的若干ｆ质 ，并给出了相应证明． 生
定义 设 Ａ为 ｎ 阶矩阵，若 Ａ的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块 ，其余子块都为零矩 阵，且
非零子块都是方阵，即
Ａ＝ △
＝
ｄａ （ １ Ａ ， ， ｉｇＡ ， ２ … Ａ ）
其中： ＝， ， ， 都是 Ａ １２ … ） 方阵， 数分 阶 别为ｎ ， … ，， ｌ ，ｚ 且∑，＝ｌ 则称Ａ 分块 矩阵 ， ， ｚ， ， 为 对角 ．
中图分类号 ：０ ５ ． １１ １ ２
文献标识码 ：Ａ
ｄ ｉ ０ ９ ９ ．ｓ． ０— ８ １ ０ １ ６ ０ ｏ：１． ６／ ｓ １ ７ ９ ３． １． ． ７ ３ ｊ ｎ０ ｉ ２ ００
Ｔ ｅｐ ｏ ｅ ｔ ｓｏ ｅｂ ｏ ｋｄａ ｏ ａ ｔｉ ｈ ｒｐ ｒｉ ｆ ｈ ｌｃ ｉｇ ｎ ｌ ｅ ｔ ｍａｒ ｘ
ｆ ＿ｌ
收稿 日期 ：２ １－ ５ ２ ０ １０ —５ －
作者简介 ：李宗成 （ ９６ ，男，陕西岐山人 ，副教授 ，从事应用数学教学研究．Ｅ ｍ ｉ ｚｘ ｎ９９ ６ ． ｒ １６ 一） — ａ ：ｌ ｉ ９９ ＠１３Ｃｎ ｌ ｃａ Ｏ
第 ６期
李宗成 ：分块对角矩 阵的性质
２ １
２ 分块对 角矩 阵的性质
Ａ ＝Ａ （＿ ， ， ）， 即 各 非 零 子 块 ｊ ｊ １２ …， ｆ
证毕．
Ａ （ ， ， ） ＝１２ …， 与对角矩 阵 ＝ ｉ （ ： …， ） ＝１ ２ …， 相似 ，且对应的相似变换矩阵就是 ｆ ｄａ ￣ ， ， （ ， ， ） ｇ １
性质 ７ 设 Ａ＝ ｉ （１ Ａ ， Ａ ） ｄａ Ａ ， ２ …， ，则各非零子块 Ａ （． ， ， ） ｇ ｊ １ ２ …， 是正交矩阵 （ ＡＡ ＝ ）的 ｆ 即 ｆｆ Ｅ
充分 陛逆推即可． 由性质 ６ 和性质 ７ 容易得到性质 ８ ．
证毕．
性质 ８ 分块对角矩 阵Ａ＝ｄ ｇＡ， ２ …， 与分块对角矩阵 Ａ＝ ｉ （ Ａ ， Ａ ） ｉ （ｌ Ａ ， Ａ ） ａ ｄ ｇＡ， ２ …， 正交相似的 ａ 充要条件是各非零子块 Ａ （＝ ， ， ） 『 １２ …， 与对角矩阵 Ａ ＝ ｉ （ 】 ２ …， ） １２ …， 正交相似． ｆ ｆ ｄａ ￣ ， ， “＝ ， ， ） ｇ 本文对分块对角矩阵的性质作了系统地归纳和总结 ，在此基础上给出并证明了各非零子块与分块对角 矩阵之间特征值 、特征 向量、可相似对角化、可正交相似对角化方面的若干结论．
以存在可逆矩阵 ＝ ， ， ） 使得 ～ ｉ ＝ ｆ １２ …， ） 令 Ｐ＝ ｉ （ ， ， ） 则 Ｐ可逆 ， １ ２ …， ， Ａ ４（＿， ， ． ｄｇｌ ａ ￣ …， ，
且 Ｐ ｄ 一＝ ｉ ａ ， ， ）． 因 此 Ｐ Ａ ｄ 巧 …， Ｐ＝ ｉ ， ， ） Ａ， ， ） ， ２…， ） …， ｄ ｉ …， （ １ ｉ Ｐ ， ＝
ｄａ ｏ ａｉ ｔ ｎ ｓｍｉ ｒ ｏ ｏ ａ ｉｇ ｎ ｌ ａｉｎ ｏ ｏ － ｅ ｕ － ｌｃ ｔ ｘ ａ ｄ ｂｏ ｋ ｄａ ｏ ａ ｔｉ， ａ ｄ ｉｇ ｎ ｌ ａｉ ， ｉ ｌ ｏｔ ｇ ｎ ｌ ａ ｏ ａｉ ｔ ｆｎ ｎ ｚ ｒ ｓ ｂ ｂｏ ｋ ｍａｒ ｌｃ ｉｇ ｎ ｍａｒ ｚ ｏ ｒ ａ ｈ ｄ ｚ ｏ ｏ ｉ ｎ ｌ ｘ ｎ
ｄ ｉ
Ａ ， 巧
， …，
） ｄａ（ Ａ ， Ａ ） Ａ，即 Ａ与 ／相似． ＝ ｉ Ａ ， ２ …， ＝ ｇ １
必要性．因为分块对角矩阵 Ａ＝ ｉ （， Ａ ， Ａ ） ｄａ Ａ ， ２ …， 与分块对角矩阵 Ａ＝ ｉ （ｌ Ａ ， Ａ ） ｇ ｄａ Ａ ， ２ …， 相似 ， ｇ
ｍｅ ｗ ｉ ａ ｅｔ ｅｃ ｒｅ ｐ ｎ ｉ ｇｐ ｏ ｏ ｔ ｔ ｎ ａ ｈ ｌ ｇ ｖ ｏ ｒ ｓ ｏ ｄ ｎ ｒ ｆ ｂ ｕ ． ｅ ｈ ｏ ａ ｉ
Ｋｅ ｏ ｄ ： ｂｏ ｋｄａ ｏ ａ ｔ ｘ； ｓｍｉ ｒ ｏｔｏ ｏ ａ ｙｗ ｒ ｓ ｌｃ ｉ ｎ ｌ ｇ ｍａｒ ｉ ｉ ｌ ； ｒ ｇｎ ａ ｈ ｌ
有Ａ ＝ｄ ｇａ ｉ （ｌ， ａ － ， …， ） ．
性质 ３ 设 Ａ Ｂ为 同型 及分 块方 法相 同的分 块对 角矩 阵 ，且 Ａ＝ ｉ （ 】 Ａ ， Ａ ） ， ｄ ｇＡ ， ２ …， ，Ｂ＝ ａ ｄ ｇＢ ， ２ …， ，则 Ａ ｉ （１ Ｂ ， Ｂ ） ａ Ｂ仍为同型分块对角矩阵 ，Ａ ｄ ｇＡＢ ， ２ ２ …， ， ． Ｂ＝ ｉ （ｌ１ Ａ Ｂ ， Ａ Ｂ ） ａ
１ 分块对角矩阵 的概念
矩阵是线性代数课程的主要内容之一 ，在线性代数理论中占有重要地位．矩阵的分块是解决矩阵疑难 问题 的有效途径和方法．分块对角矩阵由于 自身的结构特征 ， 本身具有很特殊的性质 ，现行教材对分块对 角矩阵概念和简单性质有所涉及．本文在总结原有性质的基础上给出了非零子块矩阵与分块对角矩阵特征