《空间向量与平行关系》

• ①u＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4) • ②u＝(2，－3,0)，a＝(8，－12,0) • ③u＝(1,4,5)，a＝(－2,4,0)
• 解答本题可先判断直线的方向向量与平面的法 向量之间的位置关系，再转化为直线与平面间 的位置关系．
• [规范作答] (1)①∵a＝(4,6，－2)，b＝(－2，
－3,1)，
• ∴a＝－2b，∴a∥b，∴l1∥l2.1分 • ②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)， • ∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.2分 • ③∵a＝(－2，－1，－1)，b＝(4，－2，－8)， • ∴a与b不共线与不垂直．
• [题后感悟] 利用直线的方向向量与平面的法 向量判断直线与直线、直线与平面、平面与平 面的位置关系是直线的方向向量与平面的法向 量的基本应用，解决此类问题时需注意以下几 点：
则 E1，1，12，F0，12，0，D0，0，0， D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，
∴D→A＝D→1A1＝(1,0,0)， D→E＝1，1，12，D→1F＝0，12，－1.
•
已知正方体 ABCD －A1B1C1D1的棱长
为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：
• (1)FC1∥平面ADE；
• (2)平面ADE∥平面B1C1F.
• 由题目可获取以下主要信息：
• ①ABCD－A1B1C1D1为正方体且棱长为2； • ②E、F分别是BB1、DD1的中点． • 解答本题可先建系，求出直线的方向向量和平
面的法向量，再利用方向向量和法向量间的关 系判定线面、面面平行．
• [题后感悟] 利用向量法证明几何中的平行问 题可以通过两条途径实现，一是利用三角形法 则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化， 得到向量的共线关系；二是通过建立空间直角 坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量 进行平行关系的证明．
线面 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法 平行 向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔ a·u＝0.
面面 设α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，
平行 b2，c2)，则α∥β⇔
u∥v⇔u－λ. v
• 1．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为
b，若a·b＝0，则( )
•3．2 立体几何中的向量方法
•第1课时 空间向量与平行关系
• 1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能 运用它们证明平行问题．
• 2.能用向量语言表述线线，线面，面面的平行 关系.
• 1.求直线的方向向量，平面的法向量．(重点)
• 2.用方向向量，法向量处理线线、线面、面面 间的平行关系．(重点、难点)
• (1)能熟练的判断两向量的共线与垂直；
• (2)搞清直线的方向向量，平面的法向量和直 线、平面位置关系之间的内在联系；
• (3)将向量问题转化为几何问题时的等价性．
1.(1)设 a、b 分别是不重合的直线 l1、l2 的方向向量，判断 l1、 l2 的位置关系．
①a＝(2,3，－1)，b＝(－4，－6,2)． ②a＝(3,0，－1)，b＝(0,5,0)． (2)设 u、v 分别是平面 α、β 的法向量，判断 α、β 的位置关系． ①u＝(1，－1,2)，v＝3，2，－12. ②u＝(0,2,0)，v＝(0，－1,0)．
• 答案： C
• 3．已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直 线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x ＝________，y＝________.
解析： ∵l1∥l2，∴－x7＝3y＝48， ∴x＝－14，y＝6.
• 答案： －14 6
• 4．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、M、 N分别是BC、AE、CD1的中点，AD＝AA1＝a， AB＝2a.
• A．l∥α
B．l⊂α
• C．l⊥α
D．l⊂α或l∥α
• 解析： 因为a·b＝0，所以a⊥b，故选D.
• 答案： D
• 2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法 向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝( )
• A．2
B．－4
• C．4
D．－2
解析： ∵α∥β，∴－12＝－24＝－k2.∴k＝4.
已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－
1)，C(3，－2,0)，试求平面α的一个法向量．
[策略点睛]
• 2.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1， CD的中点，分别求平面AED与平面A1FD的法 向解量析：． 如图所示，
建立空间直角坐标系 Dxyz，设正方体棱长 为 1，
• 求证：MN∥平面ADD1A1. • 证明：以D为坐标原点，建立如图所示的空间
直角坐标系，
•
(1)设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方
向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系：
• ①a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)
• ②a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)
• ③a＝(－2，－1，－1)，b＝(4，－2，－8)
• 1．直线的方向向量
• 直线的方向向量是指和这条共直线 线 平行
或
的向量，一条直无线数 的方向向量有
个．
• 2．平面的法向量
• 直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做法平面
向Байду номын сангаасα的
．
• 3．空间中平行关系的向量表示
线线 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b 平行 ＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔ a＝λb .
• (2)设u，v分别是不同的平面α，β的法向量， 根据下列条件判断α，β的位置关系：
①u＝(－1,1，－2)，v＝3，2，－12
②u＝(3,0,0)，v＝(－2,0,0)
• (3③)设u＝u(是4,2，平－面3)，α的v＝法(1,向4，量－2，) a是直线l的方向向量， 根据下列条件判断α与l的位置关系：
• (3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向 量，判断直线l与α的位置关系．
• ①u＝(1,1，－1)，a＝(－3,4,1)． • ②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－6,9)．
解析： (1)①∵a＝(2,3，－1)，b＝(－4，－6,2)， ∴a＝－12b， ∴a∥b， ∴l1∥l2.
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