两点之间的距离

角线的平方和。 证明：以A为原点，AB为x轴
建立直角坐标系。 y 则四个顶点坐标分别为 A(0,0),B(a,0),D(b,c)C(a+b,c)
第D一(b步,c):建立C(坐a+b,c) 标系，用坐标表 示有关的量。
解析法 | AB |2 a2 | CD |2 a2
A (0,0)
x B (a,0)
思考2:已知平面上两点P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则 x2-x1可怎样表示？从而点P1和P2的距 离公式又可作怎样的变形？
1 | P1P2 || y2 y1 | 1 k 2
| P1P2 || x2 x1 | 1 k 2
| y2 y1 |
O x1
x2
x
| P1Q || x2 x1 |
两点间距离公式
y | P1Q || x2 x1 |
P2(x2,y2)
| P2Q || y2 y1 |
P1(x1,y1)
Q(x2,y1)
O
x
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y 1)2
两点间距离公式
y
|x|
P (x,y)
| AD |2 b2 c2 | BC |2 b2 c2 第二步:进行有
| AC |2 (a b)2 c2 | BD |2 (b a关)2代 数c2运算
| AB |2 | CD |2 | AD |2 | BC |2 2(a2 b2 c2 )
（3） PQ = 0-62 + -2-02 =2 10
（4） MN 5 22 112 13
例题分析
例:已知点A(1,2), B(2, 7),在x轴上求一点P,使 得 | PA|| PB |,并求 | PA| 的值.
解：设所求点为P(x,0)，于是有
|PA| (x1)2 (0 2)2 x2 2x 5 |PB| (x 2)2 (0 7)2 x2 4x11
|y|
O(0,0)
x
| OP | x2 y2
数形结合
练习
1、求下列两点间的距离：
(1)、A(6，0),B(-2，0) (2)、C(0，-4),D(0，-1)
(3)、P(6，0),Q(0，-2) (4)、M(2，1),N(5，-1)
解：
（1） AB = -2-62 + 0-02 =8
（2） CD = 0-02 + -1+42 =3
由|P A||P B|得 x2 2x 5 x2 4x11
解得x=1，所以所求点P(1,0)
|PA| (11)2 (0 2)2 2 2
练习
已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1,5)间的 距离等于10，求点P的纵坐标。
(7,11)或(7, 1)
例4.证明平行四边形四条边的平方和等于两条对
| AC |2 | BD |2 2(a2 b2 c2 ) | AB |2 | CD |2 | AD |2 | BC |2 | 运A第C算三|结2步果:|把翻BD代译|数2成
因此，平行四边形四条边的平方和等于几两何条关对系角。线
的平方和。
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系.
两点间的距离
复习
1、在数轴上两点的距离公式
A（xA，yA） B（xB，yB）
A
0
B
AB xB xA BA xA xB
2、平面直角坐标系下两直线的交点的求法
联立解方程组
两点间距离公式
y
y2
P2(x2, y2)
| P2Q || y2 y1 |
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y1 P1(x1,y1)
Q(x2,y1)
1
1 k2
思考3:上述两个结论是两点间距离公式 的两种变形，其使用条件分别是什么？
思考4:若已知 x1 x2 和 x1 x2 ，如何
求 | x2 x1 |？
| x2 x1 | (x1 x2 )2 4x1x2
收获
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
特别地,原点O与任一点P(x, y)的距离: | OP | x2 y2
小结
1、牢记两点间的距离公式； 2、解析法证题的建系方法；
思考
已知△ABC的三个顶点A(-1,0),B(1,0),
C(
1, 2
3 2
)
试判断△ABC的形状.
分析：计算三边的长，比较后可得结论.
知识探究（二）：距离公式的变式探究
思考1:已知平面上两点P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则 y2-y1可怎样表示？从而点P1和P2的距离 公式可作怎样的变形？
| P1P2 || x2 x1 | 1 k 2