大学物理实验

系统误差与随机误差
系统误差绝对值和符 号保持恒定的误差 主要为仪器误差 仪 随机误差绝对值和符 号的变化不可预知 的误差
随机误差的评定
( x
i 1 n i
用实验标准偏差S(x)表示随机误差的分布特征：
x )2
s ( xi )
（贝塞尔公式）
n1
（n=1时S(x)无意义，规定S(x) =0）
X 1 X 2 XHale Waihona Puke Baidun X n
N f ( X ,Y , )
可以证明，当测量次数趋于无穷，最佳值将无限接 近真值。
误差的概念及分类
由于测量量定义的不完善和测量的缺陷， 使测量结果不可避免地偏离真值。 定义：测量误差=测量值－真值 （由于真值一般不知道，所以误差也是不知 道的。〕 残差（偏差）＝测量值－算术平均值 〔算术平均值是可以得到的，偏差是可以计 算的，所以实用中常用偏差的概念。〕 分类：系统误差，随机误差，粗大误差
按条件分类：
等精度测量
√
• 非等精度测量
直接测量
间接测量
3.误差
真值与最佳值
误差与偏差
系统误差与随机误差 随机误差的评定
真值与最佳值

真值（X0或N0）就是被测量客观存在的值。
由于受到测量仪器、方法、环境等的影响等，真值一 般无法通过测量得到。
X0

被测量量多次测量值的算术平均值，称为测量 的最佳（估计）值:
测量结果表示为


直接测量：
间接测量：
x x U ( x)
N N U (N )
直接测量量的标准不确定度的分类
A类标准不确定度： 用统计方法计算的那些分量 （随机误差） 常用字母 S ( x ) 表示 B类标准不确定度： 用其他方法估算的那些分量 （系统误差－仪器误差） 常用字母 u表示。
例1.2.2 知道某游标卡尺的仪器最大允许误差为 Δ 仪 = 0.05 mm，使用矩形分布计算B类 标准不确定度。
仪 0.05 u 0.029 mm k 3
24
一些仪器的误差限请参阅讲义第13页的相关 内容。 如果仪器的误差限在上述表中没有列出，则 可取该仪器最小分度值的一半作为它的误差限。
( U )(SI)
33
第三节
有效数字与结果表示
有效数字的概念
有效数字是由可靠数字与末尾的一至两位
可疑（估读）数字组成。 有效数字在科学计量中不仅表示测量量值 的大小，而且可以反应测量结果的准确程 度，同时还反应了所用仪器的精度等级。
例如 用米尺测量长度得到 l =16.3mm 三位有效数字，其中0.3是估读数字； 用1/50卡尺测量则可能得到 l =16.28mm 四位有效数字，其中0.08是估读数字；
所以
a ( xi ) u ( xi ) ki 3
23
例1.2.1 校准证书上给出标称值为 1kg 的砝码质 量为m=1000.00032 g，包含因子k = 3， （扩展）不确定度为U = 0.24 mg，由此 可确定砝码的B类标准不确定度为
U ( m ) 0.24 u( m ) 0.080 mg k 3
2 2

1 1 Uc ( x) Uc ( y) x y
2
2
31
扩展不确定度 将合成标准不确定度 uc ( y ) 乘以一个包含因子m， 即得扩展不确定度, 用U表示。
一般来说，被测量真值落在区间[ y uc ( y ) ，y uc ( y ) ] 的概率大约只有68%, 这个概率称为测量的置信率， 相应的区间[ y uc ( y ) ， uc ( y ) ]称为在此置信率下 y 的置信区间。为了提高置信率，可以采取扩展置信 区间的方法。
2 2

例：间接测量标准不确定度计算
已知,

ln ln 解：先求 和 y x 由于 ln ln x ln( y x) ln y ，所以 y 2x 1 ln 1 x( y x ) x x y x x 1 ln 1 y( y x ) y y x y
(3)仪器安装调试后经教师检查无误后方可进 行实验操作。
(4)注意观察实验现象，认真记录测量数据，
将数据填入实验记录表格,数据须经指导老师 检查及签字。 (5)实验后请将使用的仪器整理好，归回原处。 经教师允许后方可离开实验室。 (6)课后按要求完成实验报告,并在下次实验时 交来。
实验数据处理基础知识
采取减少系统误差的措施
（1）从误差来源上消除系统误差 （2）用修正法消除系统误差 （3）应用测量技术消除恒定系统误： 换测法 替代法 异号法
第二节
不确定度
不确定度的概念
定义：不确定度是表征被测量量真值所处范围的概
率。以字母 U 表示。
不确定度这个概念反映了测量量最佳值附近的 －个范围，这个范围以一定概率包含着被测量的真 （x 值。理解为“真值”在 U ( x )) ~ ( x U ( x )) 范围内的 可能性。
4
ln v 2 d d ln v 1 h h
，所以
体积的相对合成标准不确定度表达式
uc (V ) 2uc (d ) 2 uc (h) 2 [ ] [ ] V d h
30
例1
x y
x uc ( x ) y uc ( y)
直接测量量标准不确定度的计算
A类标准不确定度为
S ( xi ) S( x) n
n 1 xi x n( n 1) i 1


2
一般
n6
n1
S( x) 0
B类标准不确定度为
a u k
u
ui2
i
B类标准不确定度是由测量仪器的缺陷，实验者 的读数习惯，实验方法等因素引入的不确定度。
不管是A或者B类标准不确定度，都指的是直接 测量量的标准不确定度。 26
间接测量量不确定度计算公式
设间接测量量 与 k 个彼此独立的直接测量量 间有关系：
其中
由
x
1
,
f ( x, y, z ,) y , y y x 2 x n
1 2
n
x S( x)
y S ( y )
则间接测量量的平均值为： f x, y , z , 其不确定度可先求全微分再取方和根得出：
Sx越小，表示测量值越密集，离散程度越小.
Sx较大
Sx较小
系统误差
在对同一被测量量的多次测量中，保持
恒定或以可预知的方式变化的误差
产生系统误差的原因
（1）仪器构造上的不完善 （2）安装调整误差 （3）个人误差 （4）方法误差或理论误差
消除系统误差的方法
（1）已定值系统误差： 修正值＝测量值－零点读数 （2）未定值系统误差：不可消除
直接测量量有效数字的确定
直接测量量原始数据的有效数字的末位
可由测量仪器、量具的误差限的数位确 定。 一种简单而粗略的办法是对可连续读数 仪表（如米尺、卡尺、千分尺、分光计、 温度计及指针式仪表等等）一般估读到 分度值的下一位；对数字式仪表一般则 直接读取所显示的数字。
大学物理实验
绪 论
大学物理实验课的作用
大学物理实验课是高等工科 院校的一门必修基础课程，是对 学生进行科学实验基本训练，提 高学生分析问题和解决问题能力 的重要课程。物理实验课和物理
理论课具有同等重要的地位。
大学物理实验课的任务
通过大学物理实验课的学习，学 生应在习惯、知识、能力三方面达到 如下要求。 （一）培养良好的科学实验素养。
f 2 f 2 f 2 uc ( ) uc ( x) uc ( y ) uc ( z ) ... x z y
2 2 2
当函数为乘除关系时，先求对数函数全微 分再取方和根得出不确定度的相对值为：
U c ( ) ln f ln f Uc ( x) Uc ( y) x y
有效数字位数的确定


数据中的所有非零数字、非零数字之后的零以及非零数字 之间的零，都是有效数字。 2.327kg有4位有效数字,其中7是存疑数字; 220v有3位有效数字,其中0是存疑数字; 0.002cm有1位有效数字,其中2是存疑数字. 0.00mm有1位有效数字,其中末位0是存疑数字 注意： 单位换算不影响有效数字的位数 例如 2.327kg=2.327×10-3 t=2327g= 2.327×106mg 科学计数法规定，小数点前仅写出1位数字。
2
2
UC ( ) Urel ( )
例1.2.4 圆柱体的体积公式为 V 1 d 。设已经测 h 4 h h uc ( h) 得， d d uc (d ) , ，写出体积的相对合 成标准不确定度表达式。
2
解：由于 ln v ln 1 2ln d ln h
（二）掌握物理实验理论基础知识, 加深对物理学原理的理解。
（三）具有相应的实验能力。
物理实验基本程序和要求
1.实验课前预习
(1)预习讲义中与本实验相关的全部内容。 (2)写出预习报告（实验题目、目的、原理、 主要计算公式、原理简图）,准备原始实验 数据记录表格。
2.课堂实验操作
(1)上课需带实验讲义、笔、尺、计算器等。 (2)必须在了解仪器的工作原理、使用方法、 注意事项的基础上，方可进行实验。
U rel ( ) U c ( )
x( y x ) y
求 U

ln ln Uc ( x) Uc ( y) x y
2
2
则
y 2x x Uc ( x) Uc ( y) x( y x ) y( y x )
对于测量值分散区间的半宽为 a 的确定方式为 1）如果检定证书、说明书等资料明确给出了不确 定度及包含因子 ki 时，a U ( xi ) 。 标准不确定度
a U ( xi ) u ( xi ) ki ki
2）在缺乏任何信息的情况下，一般使用矩形分 布（教材第8页）， 3 ，而 a 则取仪器的误 k 差限，即仪器的最大允许误差。
估算方法：
如果已知被测量的测量值分散区间的半宽为a， 且落在至区间的概率为100%。通过对其分布规律的 估计可得出B类标准不确定度 u 为：
a u( xi ) ki
——ki是包含因子，取决于测量值的分布规
律。 对于矩形分布（平均分布）， k 3 。物理实 验中没有特别说明时，使用矩形分布计算B类标准不 确定度。
在物理实验课程中，包含因子m 一般取 2，即此 时的置信率约为95%，表示被测量真值处于此扩展区 间中的可能性为95％。 （ m＝3时，置信率可达到 32 99.7％）
U m uc ( y)
测量结果的表示
物理试验中，用扩展不确定度报告测量结果 直接测量量
x ( x U x )(SI)
间接测量量
2 2
uc ( )
例2

uc ( x ) uc ( y)
2
2
xy x / y
由于 ln ln x ln y ，所以
U rel ( ) U c ( )
ln ln Uc ( x) Uc ( y) x y
测量与误差 不确定度 有效数字与实验结果 数据处理方法
第一节 测量与误差
1. 测量的含义
• 测量就是把待测物理量与作为计量单 位的同类已知量相比较，找出被测量 是单位的多少倍的过程。
倍数→ 读数+单位→数据 测量的要素：对象，单位，方法，准确度
2. 测量的分类
按方法分类：
直接测量 间接测量
例：
误差限为0.5mm.
直接测量量的合成标准不确定度
A类和B类不确定度的合成标准不确定度：
U c ( x) S 2 ( x ) u 2
S ( x ) 表示A类标准不确定度
u 表示B 类标准不确定度 如果一个测量量的B类标准不确定度有多个部分 构成，则 B类标准不确定度为
2 u u12 u2 ...