数字信号处理总复习深圳大学

(4)若不是整数，但是一个有理数 N k ，则周期为N
(5)若是一个无理数，如结果包含 函数

，则正弦信号不是周期
问题

什么叫线性移不变系统？（P20）

满足可加性

满足比例性

线性移不变系统什么时候是因果系统？

充要条件：
h(n) 0
n0

任意序列都可表示为单位抽样序列的移位加权和
x(n)

计算量大，计算量为O(N2)

具体地，直接计算傅立叶变换时，需计算 复数乘法N 2次 复数加法N (N – 1)

计算中，重复计算的项较多
快速傅立叶变换

降低运算量的思路——(1)合并重复项，(2)利用对称性、 周期性和可约性，将长序列的DFT变成短序列的DFT

快速傅立叶变换的计算量

复数乘法 复数加法

nx n
dX z z dz
Z

时间反转
卷积
Z x n X 1/ z

Z x1 n x2 n X1 z X 2 z
Z变换的性质

初值定理

终值定理
离散时间傅立叶变换

变换对：
X e
j
x n e
* xep (n) xep (( N n)) N RN (n)
实部圆周偶对称
Re[ xep (n)] Re[ xep (( N n)) N RN ( n)]
虚部圆周奇对称
Im[ xep (n)] Im[ xep (( N n)) N RN (n)]
xep (n) xep (( N n)) N RN (n)
az 1 z (1 a 2 ) 当 a 1时，X ( z ) 1 1 az 1 az (1 az )( z a)
ROC : a < z 1 / a
零点：z 0,
j Im[ z ]
a
0
极点：z a, a 1
Re[ z ] 1/ a
逆Z变换
围线积分法（留数法） 部分分式展开 幂级数展开（长除法）
虚部圆周偶对称
Im[ xop (n)] Im[ xop (( N n)) N RN (n)]
幅度圆周偶对称
幅角没有对称性
xop (n) xop (( N n)) N RN (n)
抽样Z变换——频域抽样理论
由频域抽样序列 X (k ) 还原得到的周期序列是原非周期序 列的周期延拓序列，其周期为频域抽样点数N。
第三章 离散傅立叶变换（DFT）
周期序列的傅立叶级数（DFS）
X (k ) DFS[ x(n)] x(n)e
n 0 N 1 N 1 j 2 nk N nk x(n)WN n 0 N 1
1 x(n) IDFS[ X (k )] X (k )e N k 0

N log 2 N 2 N log 2 N

直接计算傅立叶变换与快速傅立叶变换的计算量的比较：
mF (DFT) N 2N mF (FFT) N log N log 2 N 2 2
2
FFT的计算公式
k X (k ) X 1 (k ) WN X 2 (k ) N k X ( k ) X ( k ) W 1 N X 2 (k ) 2
n

j n
1 以及 x n 2



X e j e jn d

单位圆上序列的z变换——序列的傅立叶变换——离 散时间傅立叶变换
需记忆的表格
新教材： P64：表2.1 几种序列的z-变换及其收敛域 P90：表2.2 z-变换的主要性质和定理 P99：表2.3 序列傅立叶变换的主要性质 P107：表2.4 一些常用的傅立叶变换对
k
x ( k ) ( n k )

例: 用单位脉冲序列表示信号 x(n)
a3
a2
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
a6
n
x(n) a3 (n 3) a2 (n 2) a6 (n 6)

抽样定理——奈奎斯特定理
fs 2 fh

满足奈奎斯特定理的条件下，信号的重建不会产生频谱混叠， 可精确重建原信号
第二章 z变换与离散时间傅立叶变换（DTFT）

z变换的定义——z变换仅针对时域离散序列x(n)而言
X z

n


x n z n
j
z是一个复变量，可表示为
z re
Im
单位圆
r=1 0 2
Re
例：有限长序列： x(-1)=2, x(0)=1, x(1)=1.5, x(2)=-2, x(3)=0.5的z变换？
j Im[ z ]
Rx
Re[ z ]
Baidu Nhomakorabea
0
n1 0
包括z 处
几种序列的收敛域
Rx 是距离 3. 左边序列的收敛域——半径为Rx 的圆内， 原点最近的极点的半径
j Im[ z ]
Re[ z ]
0
Rx
n2 0
几种序列的收敛域
4. 双边序列的收敛域
Rx Rx时，ROC : Rx Rx时，ROC : Rx z Rx
2
A2 1 z 1 X z
z 1
8
举例2（续）
X z 2 9 8 1 1 1 z 1 1 z 2 z 1

ROC 延伸到无穷 表明是一个右边序列
1 x n 2 n 9 u n 8u n 2
定义
1 0 n N 1 RN (n ) 其它n 0
离散序列的运算
移位 翻褶 和 积 累加 差分
时间尺度变换
卷积和

正弦序列的周期性 A sin(n0 ) ？
解答办法： (1)计算 2 0 (2)看 2 0 是否为整数 (3)若为整数，是周期的，周期为 2 0
j Im[ z ]
Rx
Re[ z ]
Rx
0
例4：x(n) a ，a为实数，求其z变换及其收敛域
n
解：X(z)= x(n) z n = a z n = a n z n a n z n
n n n n n0


1

= a n z n a n z n

记忆老教材P54 表2-1
（部分分式展开法）举例1: 2 阶 Z-变换
X z 1 1 1 1 1 1 z 1 z 4 2 ROC: z 1 2

分子的阶小于分母 ( z-1)，没有更高阶的极点
A1 A2 X z 1 1 1 1 1 z 1 z 4 2
幅度圆周偶对称
幅角圆周奇对称
arg[ xep (n)] arg[ xep (( N n)) N RN (n)]
共轭对称性
圆周共轭反对称序列满足：
xop (n) x (( N n)) N RN (n)
* op
实部圆周奇对称
Re[ xop (n)] Re[ xop (( N n)) N RN ( n)]
典型的离散时间序列
（2）移位（延时）单位脉冲序列
定义
1, n m (n m) 0, n m
δ(n – m)
1
0 m n
典型的离散时间序列
（3）单位阶跃序列
定义
1, n 0 u ( n) 0, n 0
u(n) 1 0 n
典型的离散时间序列
（4）矩形序列
其中：
j
2 nk N
1 N 1 nk X (k )WN N k 0
WN e
j
2 N
有限长序列的频域表示——离散傅立叶变换
X (k ) DFT [ x (n )] x (n )W
n 0 N 1 nk N
0 k N 1
1 x(n ) IDFT [ X (k )] N
n
序列的Z变换与连续信号的拉普拉斯变换的关系
S平面
z平面
Z变换的性质

线性
Z ax1 n bx2 n aX1 z bX 2 z

时移
乘以指数 微分
Z x n no z no X z

Z n zo x n X z / zo

相同的Z变换，收敛域不同，则对应的时间序列也不 同。
几种序列的收敛域
1. 有限长序列——至少是除 z 0 和 z 的有限z平面， z 0 和 z 处是否收敛需单独考虑
j Im[ z ]
Re[ z ]
0
几种序列的收敛域
Rx 是距离 2. 右边序列的收敛域——半径为Rx 的圆外， 原点最远的极点的半径
条件——频域抽样点数N大于序列长度M 即
N M
1 1 zN 内插公式：X ( z ) X (k ) k 1 N 1 WN z k 0
N 1

需要记忆的表格：

教材P171表3.3

需要理解的图表：

教材 P141 表3.1
第四章 快速傅立叶变换（FFT）
直接计算傅立叶变换的问题
n
n
（部分分式展开法）举例2
1 z 1 2z z X z 3 1 1 1 1 1 z 1 z 2 1 z 1 z 2 2 2
1 2 1 2
z 1

利用长除法计算 Bo
2 1 2 3 1 z z z 1 2 2 z 2 3 z 1 2
举例1（续）
X z 1 2 1 1 1 1 1 z 1 z 4 2 z 1 2

ROC 延伸到无穷 表明是右边序列
1 1 x n 2 u n - u n 2 4
nk X ( k ) W 0 n N 1 N k 0
N 1
离散傅立叶变换的性质
教材P171表3.3 线性

序列的圆周移位 圆周卷积和线性卷积，条件： L N1 N 2 -1 圆周卷积和线性卷积的计算 圆周卷积和线性卷积的关系



共轭对称性
圆周共轭对称序列满足：
数字信号处理 总复习 DIGITAL SIGNAL PROCESSING
康莉 深圳大学 信息工程学院
第一章 离散时间信号与系统
离散时间序列
x(n) or x(nT)
n or nT
典型的离散时间序列
（1）单位脉冲序列
定义

1 , ( n) 0,
n 0 n 0
δ(n)
1
0 n
n 1 n 0

a z
n 1


n n
az - az
1

1 az
az 1 az
1 1 az 1
az 1 z 1/ a
1
a z
n 0
n n
az az
1 0
1
1 az
1
az
1 z a
当 a 1时，无公共收敛域，X( z )不存在
1 1 A1 1 z 1 X z 1 1 1 11 4 z 4 1 2 4 1 1 A2 1 z 1 X z 2 1 1 11 2 z 2 1 4 2
2 2 z 1 1
1 5 z 1 X z 2 1 1 1 1 z 1 z 2
X z 2 A1 A2 1 1 1 z 1 1 z 2
5 z 1 1
1 A1 1 z 1 X z 9 1 2 z
X z
n


x n z n
X ( z ) 2 z 1 1.5z 1 z 2 +0.5z 3

z变换的收敛域
n


x ( n) z n M

z变换的零极点

零点——使 X z 0 的z值，即分子为零时z的取值 极点——使 X z 的z值，即分母为零时z的取值