计算方法第六章作业答案

第六章作业答案（习题六P141）

4. 解：（1）设()()()()0sin cos 4

11cos sin 41>--='+-=x x x f x x x x f ， 故()x f 为增函数。又因()1441

0=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=πf f ，，所以()x f 的零点，即()0=x f 的根属于 区间⎥⎦⎤

⎢⎣⎡40π，。因对⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∈∀4,0πx ()()421cos sin 4101πϕ<≤+=

≤x x x ， 又

()()12

1sin cos 41'1<≤-=x x x ϕ， 因此迭代格式收敛。故可用迭代法求解所给方程。

（2）设()()02ln 2124>+='+-=x x x f x x f ，，

故()x f 为增函数。又因()()2211=-=f f ，，所以()x f 的零点，即()0=x f 的根属于 区间[]21，。因()x

x 242-=ϕ，则对[]21，∈∀x 有 ()12ln 22ln 2'2>≥-=x x ϕ，

因此迭代格式不收敛。故不能用迭代法求解所给方程。

当[]21，∈x 时，原方程与方程 ()2

ln 4ln x x -=

等价。令 ()()2

ln 4ln x x -=

ϕ 则[]21，∈x 时，()()22ln 3ln 2ln 4ln 1<≤-=≤x x ϕ，且 ()()12

ln 212ln 41<≤--='x x ϕ 因此迭代格式收敛。此形式能用迭代法求解。

5. 解：（1）()()32211x

x x x -='+=ϕϕ，，当[]6.1,4.1∈x 时，

()14.123<≤

'x ϕ 令729.04

.123≈=L ，则对[]6.1,4.1,∈∀y x ，有 ()()y x L y x -≤-ϕϕ

所以此迭代法收敛。

（2）()321x x +=ϕ

()()()1518.06.124.1131213132

2

32

2

<≈⨯⨯+⨯≤⋅+='--x x x ϕ

对[]6.1,4.1,∈∀y x ，有

()()1518.0<-≤-y x y x ϕϕ

所以此迭代法收敛。

（3）()11

-=x x ϕ ()()10758.16.02

11212323>≈⨯>--='--x x ϕ 故此迭代法发散。

6. 解：迭代格式 （1）

令，则 ，从而当时，，由127页定理2.4知此迭代格式在

上收敛。

因单调增且有上界，故

收敛。令 ，（1）式两端同时取极限可得

. 10．（1）()2

3x x f ='，Newton 迭代格式为 ()()

k k k k x f x f x x '-=+1 ,2,1,03223=+=k x x k

k ，α

（2） Newton 法的迭代函数为

()2

332x x x αϕ+= ()()，，4323232x

x x x αϕαϕ=''-=

' 因 ()()()，

，，02

033333≠=''='=ααϕαϕααϕ 故此迭代格式是平方收敛的。

11. 解：()()104320102223++='-++=x x x f x x x x f ，

Newton 迭代公式为

()()10

43201022231++-++-='-=+k k k k k k k k k k x x x x x x x f x f x x 取00=x 迭代得

371512014

.146666667.12321===x x x ，，,… 计算到满足精度为止。

13. 解：（1） ()()()()211,---=''='-=n n n x n n x f nx x f a x x f ， Newton 迭代公式为

()()()11

1-++-='-=n k n k k k k k nx a x n x f x f x x ()()()n n n k n k n

k a

n a f a f x a x a 212lim 21--='''-=--+∞→ （2）()()()()211,1----+-=''='-

=n n n x n an x f anx x f x a x f ， Newton 迭代公式为

()()()an x x a an x f x f x x n k k k k k k 11

++-+='-= ()()()n n n k n k n k a n a f a f x a x a 212lim

21+-='''-=--+∞→