D9_4多元复合函数的求导法则

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u u u sin u 已知 cos x r r ux u sin 2u u u r ( ) ( 2) cos ( ( ) ) r x x2 r x x x x yx y u u sin ( cos ) cos 注意利用 r r r 已有公式 u sin sin u cos ( ) r r r
z
u v w
t t t
2) 中间变量是多元函数的情形. 例如,
z f (u, v) , u ( x, y) , v ( x, y)
z z u z v f 2 1 f11 x u x v x z z u z v f 2 2 f1 2 y u y v y
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z
u v
x
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y x
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y
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又如, z f ( x, v) , v ( x, y ) 当它们都具有可微条件时, 有
z f
z f x x z y
1 f1 f 2 2 f2
x
v
x y
z f 与 不同, 注意: 这里 x x z 表示 f ( x, ( x, y ) )固定 y 对 x 求导 x
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 有增量△u ,△v ,
z z z u v o ( ) u v
z
u
t
v
t
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z z u z v o( ) 2 2 ( ( u ) ( v ) ) t u t v t t
2
u 2 sin cos u sin 2 r r r2
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2u x2
同理可得
u 2 sin cos u sin 2 2 r r r
2u 2u 2 2u sin cos 2u cos 2 sin 2 2 2 2 r r y r r2 u 2 sin cos u cos 2 2 r r r 2 1 2u 2u 2u u 2 2 2 2 2 r r x y u 2u 1 2 r (r ) 2 r r r
d (x y)
( yd x xd y)
d ( x y) (dx d y ) dy
e x y [ y sin( x y ) cos( x y)]d x
所以
z z 例1 . z e sin v, u x y, v x y, 求 , . x y
u
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t
ve
t
t
cos t
u v t
e (cos t sin t ) cos t
t
t
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
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例4. 设
2
f 具有二阶连续偏导数,
w w w , f1 , f 2 , . x x z u v 解: 令 u x y z , v x y z , 则 w f (u, v) x y zx y z w yz f2 x ( x y z, x y z ) y z f2 2w x y x y f12 f 22 x z 2 y f 2 2 f11 , y ( x z ) f12 x y z ff 22 为简便起见 引入记号 f f1 , f12 , u u v
u
e sin v
z y
u
e cos v 1
z
u v
z v v y
x y x y
eu sin v
eu cos v 1
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例2. u f ( x, y, z ) e
x2 y2 z 2
u f 解: x x
2 xe
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u u r u y r y y
r y , y r
1 x x 2 y 2 y 1 ( x ) x y2
u
r
x yx y

u y u x u u u sin cos 2 r r r x r r u u cos sin r r u 2 u 2 u 2 1 u 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) x y r r
v v ( dx d y ) x y
du
dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.
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例 6. 利用全微分形式不变性再解例1. 解: d z d( eu sin v )
eu cos v dv
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二、多元复合函数的全微分
设函数
z z dz dx dy x y
都可微,
则复合函数 z f ( ( x, y ) , ( x, y ) ) 的全微分为
z u z v ( )d y u y v y
u u ( dx d y ) x y
求
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例5. 设 极坐标系下的形式 解: 已知
二阶偏导数连续,求下列表达式在
,则
u
(1)
u u r x r x
r
(当 在二、三象限时,
y ) arctan x
u u sin cos r r
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x yx y
x
y
2ye
x2 y2 z 2
4
2 z e
x 2 y 2 z 2 x 2 cos y x 2 y 2 x 4 sin 2 y
2 ( y x sin y cos y ) e
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dz 例3. 设 z u v sin t , u e , v cos t , 求全导数 . dt d z z du z 解: z d t u d t t
则有 u 0 , v 0 , u du v dv , t dt t dt
o( )
z
u
t
v
t

(△t＜0 时,根式前加“–”号)
d z z d u z dv ( 全导数公式 ) d t u d t v d t
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说明: 若定理中
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P81 题8(2)
u f1 x u f1 y u f2 z
1 f1 y
①
②
f2
x y y z x 1 2 f1 f 2 z y
y 2 f 2 z
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P130 题 11
z f1 x
z x y
2
f2
f 11
f 13
z , x u x y
x y
f 21
f 23
作业
P81 2; 4; 6; 9; 10; *12(4); *13
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备用题
1. 已知 求
解: 由
两边对 x 求导, 得
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2. 设函数
在点
f (1,1) 1,
f x
(1,1)
2,
处可微 , 且 f 3, y (1,1)
(2001考研)
( x) f ( x, f ( x, x)) , 求
d 3 d 2 ( x) 3 ( x ) x 1 dx dx x 1 3 f1( x, f ( x, x))
解: 由题设 (1) f (1, f (1,1) ) f (1,1) 1
3 2 3 (2 3) 51
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( x, f ( x, x)) f2

Baidu Nhomakorabea
x 1
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x2 y2 z 2
u u , z x sin y, 求 , x y
2
2z e
2
x2 y2 z 2
2 x sin y
u
x y z
2 x (1 2 x sin y ) e
u f f z y y z y
2
x 2 y 2 x 4 sin 2 y
第四节 多元复合函数的求导法则
一元复合函数
第九章
求导法则
微分法则
本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分
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一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数 处偏导连续, 则复合函数 在点 t 可导, 且有链式法则
z f ( u, v )
d z z d u z dv d t u d t v d t
偏导数连续减弱为
偏导数存在, 则定理结论不一定成立.
例如: z f (u, v)
u t, vt
易知:
u 2v 2 2 , u v 0 2 2 u v 0, u 2 v2 0
但复合函数 z f ( t , t ) t
dz 1 dt 2

2 z du z dv 0 1 0 1 0 u d t v d t
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内容小结
1. 复合函数求导的链式法则 “分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导”
例如,
u
; 1
x y v 2
2. 全微分形式不变性
x y
不论 u , v 是自变量还是中间变量,
d z f u (u , v) d u f v (u , v) d v
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推广: 设下面所涉及的函数都可微 . 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z f (u, v, w) ,
u (t ) , v (t ) , w (t ) z dv z dw d z z du v d t w d t d t u d t f1 f 2 f 3
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作业
P84 题1; 2; 3; 4; 5.
Thanks
18
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思考与练习
解答提示:
P81 题7; 8(2); P130 题11
z
z y
P81 题7
z z v x
x
y
u v u v
(1)
1
yx u 2 2 2 x y u v2 ……
f 表示f ( x, v )固定 v 对 x 求导 x
口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
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z z 例1. 设 z e sin v , u x y , v x y , 求 , . x y
u
z 解: x
z v v x