第2讲 矩阵分析及弹性力学基础
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
σ 11 σ 1 σ 11 σ σ σ σ 13 22 2 22 → σ 33 = σ 3 → σ 33 σ 23 σ 23 σ 4 σ 12 σ 33 σ σ σ 5 23 13 σ 12 σ 6 σ 31
0阶张量(标量)：无自由指标的量 1阶张量(矢量)：有1个自由指标的量，如ui 2阶张量：有2个自由指标的量，如σij , εij n阶张量：有n个自由指标的量
北京航空航天大学
一点的应力状态和应变状态都符合张量的定义， 指标记法为σij 和εij，是二阶张量
σ 11 σ σ = 21 σ 31
ε11 ε = ε 21 ε 31
ε12 ε 22 ε 32
剪切应变需要乘以2，这是源于能量表达式的需要。 北京航空航天大学
弹性系数矩阵的Voigt标记
北京航空航天大学
平面问题及其基本方程
弹性体在满足一定条件时，其变形和应力 的分布规律可以用在某一平面内的变形和 应力的分布规律来代替，这类问题称为平 面问题。平面问题分为平面应力问题和平 面应变问题。
若取
a ji = aij
2 + ann xn
则
f ( x1 , x2 ,L , xn ) = a11 x12
+ a12 x1 x2 + a13 x1 x3 + L + a1n x1 xn + a23 x2 x3 + L + a2 n x2 xn
2 + a21 x2 x1 + a22 x2
+ LLLLLLLLLLLLLLL
北京航空航天大学
Voigt标记
含义：在有限元编程中，常常将对称的二 阶张量写成列向量，将非常棘手的对称四 阶张量（如弹性系数矩阵Dijkl）转换成二 阶张量。这种转换过程称为voigt标记。 转换规则：
应力张量（动力学量）的转换 应变张量（运动学量）的转换
北京航空航天大学
应力张量的Voigt标记
σ=
N A
N sin θ sin θ A N sin θ τ= cos θ A
σ=
显然，点p在不同截面上的应力是不同的。为分析点p的应力状态，即 通过p点的各个截面上的应力的大小和方向，在p点取出的一个无穷小 平行六面体。用六面体表面的应力分量来表示p点的应力状态。
北京航空航天大学
一点的应力状态
无穷小正六面体, 六面体的各棱边 边平行于坐标轴
北京航空航天大学
第一个下标表示应力的作用面，第二个下标表 示应力的作用方向。 正应力由于作用表面与作用方向垂直，通常用 一个下标。 应力分量的方向定义 ：
如果某截面上的外法线是沿坐标轴的正方向，这个 截面上的应力分量以沿坐标轴正方向为正； 如果某截面上的外法线是沿坐标轴的负方向，这个 截面上的应力分量以沿坐标轴负方向为正。
北京航空航天大学
位移
位移就是位置的移动。物体内任意一点的 位移，用位移在x，y，z坐标轴上的投影u、 v、w表示。
北京航空航天大学
应 力—物体内某一点的内力
F3
应力S在其作用截面上的法向 分量为正应力σ，切向分量称 为剪应力，用τ表示。
F1 F2
∆Q lim =S ∆A→ 0 ∆A
北京航空航天大学
du ε= dL
dL dL+du
北京航空航天大学
与应力的定义类似，物体内任意一点的变 形，可以用六个应变分量表示：
ε x、ε y、ε z、γ xy、γ yz、γ zx
或
ε1、ε2、ε3、γ12、γ 23、γ 31
北京航空航天大学
指标记法和求和约定
自由指标：表达式每一项中只出现一次的下标， 如σij ,其中i,j为自由指标，可以自由变化。三维 问题中， i,j的变化范围为1,2,3，分别和直角坐 标系三个坐标轴x,y,z对应。 重复指标（哑指标）：表达式的每一项中重复 出现的下标，如aijxj=bi ，j为哑指标。 求和约定：哑指标意味着求和。
北京航空航天大学
剪应力互等
τ xy = τ yx , τ yz = τ zy , τ zx = τ xz
物体内任意一点的应力状态可以用六个独 立的应力分量来表示
σ x、σ y、σ z、τ xy、τ yz、τ zx
或
σ1、σ2、σ3、τ12、τ23、τ31
北京航空航天大学
应变
物体的形状改变可以归结为长度和角度的改变。 各线段的单位长度的伸缩，称为正应变，用ε表 示。 两个垂直线段之间的直角的改变，用弧度表示， 称为剪应变，用γ表示。
按一般写法：
∑a x
j =1 ij
3
j
= bi ,
(i = 1, 2,3)
用指标记法，则为
aij x j = bi （指标变化范围为1,2,3）
采用指标记法后，方程(组)的表达形式得到简练。
北京航空航天大学
张量及Voigt标记
大部分连续介质力学和有限元相关的文献 采用张量符号和指标记法 张量的定义：不同坐标系下满足一定变换 关系的物理量,如 u, σ, ε 张量通常采用指标记法表示
北京航空航天大学
二次型的微商
f ( x1 , x2 ,L , xn ) = x Ax =
T i , j =1
∑a xx
ij i
n
j
∂f n ∂x 2∑ a1i xi 1 i =1 a11 a12 L a1n x1 n ∂f a a L a x 2∑ a2i xi ∂f 2n 2 = ∂x2 = i =1 = 2 21 22 = 2 Ax M ∂x M M M M M an1 an 2 L ann xn n ∂f 2∑ ani xi ∂x n i =1 ∂ 对向量x各元素的偏导数 ∂x
σ 11 σ = σ 21 σ 31
σ 12 σ 22 σ 32
北京航空航天大学
应变张量的Voigt标记
ε11 ε1 ε11 ε ε ε 22 2 22 ε13 → ε 33 = ε 3 → ε 33 ε 23 2ε 23 ε 4 2ε12 ε 33 2ε ε 2ε 5 23 13 2ε12 ε 6 2ε 31
北京航空航天大学
平面应力问题
σz = 0 τ zx = 0 τ zy = 0
很薄的等厚薄板，只在板边上受到平行于板面并且不沿厚度变化 的面力，体力也平行于板面且不沿厚度变化。
北京航空航天大学
平面应变问题
εz = 0
τ zx = 0 τ zy = 0
很长的柱形体，支承情况不沿长度变化，在柱面上受到平行于横截 面而且不沿长度变化的面力，体力也如此分布。
北京航空航天大学
三大类基本方程
爱因斯坦求和约定在微分几何、张量分析、连 爱因斯坦求和约定在微分几何、张量分析、 续介质力学等学科中,对于表达式和推导的简化, 续介质力学等学科中,对于表达式和推导的简化, 有着十分重要的作用。 有着十分重要的作用。
北京航空航天大学
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3
北京航空航天大学
2.2 弹性力学基础
关于弹性力学 五个基本假定 外力和内力 应力、应变、位移 指标记法和求和约定 张量及Voigt标记 平面问题基本方程及边界条件 三维问题基本方程及边界条件
北京航空航天大学
关于弹性力学
弹性力学是研究弹性体在约束和外载荷作 用下内力和变形分布规律的一门学科。
力学学科各分支的关系
σ 12 σ 13 =σ σ 22 σ 23 ij σ 32 σ 33
ε11 ε ε = 21 ε 31
ε12 ε13 =ε ε 22 ε 23 ij ε 32 ε 33
σ 12 = σ 21 = τ 12 σ 23 = σ 32 = τ 23 σ 31 = σ 13 = τ 31
北京航空航天大学
外力和内力
体力—分布在物体体积内的力，例如重力 和惯性力。 面力—分布在物体表面上的力，例如接触 压力、流体压力。
分布力：连续分布在表面某一范围内 集中力：分布力的作用面积很小时的简化
内力—外力作用下，物体内部相连各部分 之间产生的相互作用力。
北京航空航天大学
位移、应力、应变
对变形体受力和变形进行描述的基本变量 位移——物体变形后的形状 应力——物体的受力状态 应变——物体的变形程度
力学学科 中学力学 理论力学 材料力学 结构力学 弹性力学 弹塑性力学 研究对象 质点 质点系及刚体 简单变形体(构件) 数量众多的简单变形体 任意变形体 任意变形体 特征 无变形 无变形 小变形 小变形 小变形 任意变形
北航空航天大学
五个基本假定
连续性：无空隙，能用连续函数描述 均匀性：各个位置物质特性相同 各向同性：同一位置的物质各个方向上具有相 同特性 线弹性：变形和外力的关系是线性的，外力去 除后，物体可恢复原状 小变形：变形远小于物体的几何尺寸，建立基 本方程时可以忽略高阶小量。
2 + an1 xn x1 + an 2 xn x2 + an 3 xn x3 + L + ann xn
北京航空航天大学
利用矩阵及其运算，二次型可表示为
a11 a12 L a1n x1 a a L a x 2n 2 21 22 f ( x1 , x2 ,L , xn ) = [ x1 x2 L xn ] M M M M an1 an 2 L ann xn A: 对称矩阵 = xT Ax
北京航空航天大学
正定二次型
二次型：含有n个变量的二次齐次多项式
f ( x1 , x2 ,L , xn ) = a11 x12 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + L + 2a1n x1 xn
2 + a22 x2 + 2a23 x2 x3 + L + 2a2 n x2 xn
+ LLLLLLLLL
正定二次型：设
f ( x1 , x2 ,L , xn ) = xT Ax 为实二次型，如果对于
f = xT Ax > 0
A: 正定矩阵
任意的非零实向量X，都有 ，
北京航空航天大学
关于正定矩阵
正定矩阵是特殊的对称实矩阵 正定矩阵的对角元aii>0 正定矩阵的行列式|A|>0 A为正定矩阵的充要条件是A的所有顺序 主子式皆大于0
第2讲 矩阵算法及弹性力学基础
金朝海 jch666@
北京航空航天大学
2.1 矩阵算法
线性方程组的表示 行向量和列向量 矩阵加、减、乘法运算 矩阵的转置、对称矩阵、单位矩阵 矩阵行列式 矩阵求逆 矩阵的微分和积分 正定矩阵（正定二次型）
北京航空航天大学
线性方程组的表示
求解方法：高斯消元法、迭代法 北京航空航天大学
行向量和列向量
北京航空航天大学
矩阵加、减、乘法运算
北京航空航天大学
矩阵转置、对称矩阵、单位矩阵
对称方阵
北京航空航天大学
矩阵行列式
或
奇异矩阵(方阵)
北京航空航天大学
矩阵的逆
如果方阵A的行列式 则其逆存在，记为
A的伴随矩阵
对于：
线性方程组的求解，变为求 解系数矩阵的逆矩阵 北京航空航天大学
矩阵的微分和积分
北京航空航天大学
1 2 1 ε 23 = ε 32 = γ 23 2 1 ε 31 = ε13 = γ 31 2
ε12 = ε 21 = γ 12
对张量的理解
张量不随坐标系的改变而改变
例如位移矢量ui ：无论从哪一个坐标系观察， 它反映的总是A点移动到B点的客观事实，不 随观察者所在的坐标系而改变。 再如应力张量σij和应变张量εij ，尽管在不同 的坐标系中具有不同的分量，但是它们所描 述的却是某点的同一个应力和应变状态。
0阶张量(标量)：无自由指标的量 1阶张量(矢量)：有1个自由指标的量，如ui 2阶张量：有2个自由指标的量，如σij , εij n阶张量：有n个自由指标的量
北京航空航天大学
一点的应力状态和应变状态都符合张量的定义， 指标记法为σij 和εij，是二阶张量
σ 11 σ σ = 21 σ 31
ε11 ε = ε 21 ε 31
ε12 ε 22 ε 32
剪切应变需要乘以2，这是源于能量表达式的需要。 北京航空航天大学
弹性系数矩阵的Voigt标记
北京航空航天大学
平面问题及其基本方程
弹性体在满足一定条件时，其变形和应力 的分布规律可以用在某一平面内的变形和 应力的分布规律来代替，这类问题称为平 面问题。平面问题分为平面应力问题和平 面应变问题。
若取
a ji = aij
2 + ann xn
则
f ( x1 , x2 ,L , xn ) = a11 x12
+ a12 x1 x2 + a13 x1 x3 + L + a1n x1 xn + a23 x2 x3 + L + a2 n x2 xn
2 + a21 x2 x1 + a22 x2
+ LLLLLLLLLLLLLLL
北京航空航天大学
Voigt标记
含义：在有限元编程中，常常将对称的二 阶张量写成列向量，将非常棘手的对称四 阶张量（如弹性系数矩阵Dijkl）转换成二 阶张量。这种转换过程称为voigt标记。 转换规则：
应力张量（动力学量）的转换 应变张量（运动学量）的转换
北京航空航天大学
应力张量的Voigt标记
σ=
N A
N sin θ sin θ A N sin θ τ= cos θ A
σ=
显然，点p在不同截面上的应力是不同的。为分析点p的应力状态，即 通过p点的各个截面上的应力的大小和方向，在p点取出的一个无穷小 平行六面体。用六面体表面的应力分量来表示p点的应力状态。
北京航空航天大学
一点的应力状态
无穷小正六面体, 六面体的各棱边 边平行于坐标轴
北京航空航天大学
第一个下标表示应力的作用面，第二个下标表 示应力的作用方向。 正应力由于作用表面与作用方向垂直，通常用 一个下标。 应力分量的方向定义 ：
如果某截面上的外法线是沿坐标轴的正方向，这个 截面上的应力分量以沿坐标轴正方向为正； 如果某截面上的外法线是沿坐标轴的负方向，这个 截面上的应力分量以沿坐标轴负方向为正。
北京航空航天大学
位移
位移就是位置的移动。物体内任意一点的 位移，用位移在x，y，z坐标轴上的投影u、 v、w表示。
北京航空航天大学
应 力—物体内某一点的内力
F3
应力S在其作用截面上的法向 分量为正应力σ，切向分量称 为剪应力，用τ表示。
F1 F2
∆Q lim =S ∆A→ 0 ∆A
北京航空航天大学
du ε= dL
dL dL+du
北京航空航天大学
与应力的定义类似，物体内任意一点的变 形，可以用六个应变分量表示：
ε x、ε y、ε z、γ xy、γ yz、γ zx
或
ε1、ε2、ε3、γ12、γ 23、γ 31
北京航空航天大学
指标记法和求和约定
自由指标：表达式每一项中只出现一次的下标， 如σij ,其中i,j为自由指标，可以自由变化。三维 问题中， i,j的变化范围为1,2,3，分别和直角坐 标系三个坐标轴x,y,z对应。 重复指标（哑指标）：表达式的每一项中重复 出现的下标，如aijxj=bi ，j为哑指标。 求和约定：哑指标意味着求和。
北京航空航天大学
剪应力互等
τ xy = τ yx , τ yz = τ zy , τ zx = τ xz
物体内任意一点的应力状态可以用六个独 立的应力分量来表示
σ x、σ y、σ z、τ xy、τ yz、τ zx
或
σ1、σ2、σ3、τ12、τ23、τ31
北京航空航天大学
应变
物体的形状改变可以归结为长度和角度的改变。 各线段的单位长度的伸缩，称为正应变，用ε表 示。 两个垂直线段之间的直角的改变，用弧度表示， 称为剪应变，用γ表示。
按一般写法：
∑a x
j =1 ij
3
j
= bi ,
(i = 1, 2,3)
用指标记法，则为
aij x j = bi （指标变化范围为1,2,3）
采用指标记法后，方程(组)的表达形式得到简练。
北京航空航天大学
张量及Voigt标记
大部分连续介质力学和有限元相关的文献 采用张量符号和指标记法 张量的定义：不同坐标系下满足一定变换 关系的物理量,如 u, σ, ε 张量通常采用指标记法表示
北京航空航天大学
二次型的微商
f ( x1 , x2 ,L , xn ) = x Ax =
T i , j =1
∑a xx
ij i
n
j
∂f n ∂x 2∑ a1i xi 1 i =1 a11 a12 L a1n x1 n ∂f a a L a x 2∑ a2i xi ∂f 2n 2 = ∂x2 = i =1 = 2 21 22 = 2 Ax M ∂x M M M M M an1 an 2 L ann xn n ∂f 2∑ ani xi ∂x n i =1 ∂ 对向量x各元素的偏导数 ∂x
σ 11 σ = σ 21 σ 31
σ 12 σ 22 σ 32
北京航空航天大学
应变张量的Voigt标记
ε11 ε1 ε11 ε ε ε 22 2 22 ε13 → ε 33 = ε 3 → ε 33 ε 23 2ε 23 ε 4 2ε12 ε 33 2ε ε 2ε 5 23 13 2ε12 ε 6 2ε 31
北京航空航天大学
平面应力问题
σz = 0 τ zx = 0 τ zy = 0
很薄的等厚薄板，只在板边上受到平行于板面并且不沿厚度变化 的面力，体力也平行于板面且不沿厚度变化。
北京航空航天大学
平面应变问题
εz = 0
τ zx = 0 τ zy = 0
很长的柱形体，支承情况不沿长度变化，在柱面上受到平行于横截 面而且不沿长度变化的面力，体力也如此分布。
北京航空航天大学
三大类基本方程
爱因斯坦求和约定在微分几何、张量分析、连 爱因斯坦求和约定在微分几何、张量分析、 续介质力学等学科中,对于表达式和推导的简化, 续介质力学等学科中,对于表达式和推导的简化, 有着十分重要的作用。 有着十分重要的作用。
北京航空航天大学
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3
北京航空航天大学
2.2 弹性力学基础
关于弹性力学 五个基本假定 外力和内力 应力、应变、位移 指标记法和求和约定 张量及Voigt标记 平面问题基本方程及边界条件 三维问题基本方程及边界条件
北京航空航天大学
关于弹性力学
弹性力学是研究弹性体在约束和外载荷作 用下内力和变形分布规律的一门学科。
力学学科各分支的关系
σ 12 σ 13 =σ σ 22 σ 23 ij σ 32 σ 33
ε11 ε ε = 21 ε 31
ε12 ε13 =ε ε 22 ε 23 ij ε 32 ε 33
σ 12 = σ 21 = τ 12 σ 23 = σ 32 = τ 23 σ 31 = σ 13 = τ 31
北京航空航天大学
外力和内力
体力—分布在物体体积内的力，例如重力 和惯性力。 面力—分布在物体表面上的力，例如接触 压力、流体压力。
分布力：连续分布在表面某一范围内 集中力：分布力的作用面积很小时的简化
内力—外力作用下，物体内部相连各部分 之间产生的相互作用力。
北京航空航天大学
位移、应力、应变
对变形体受力和变形进行描述的基本变量 位移——物体变形后的形状 应力——物体的受力状态 应变——物体的变形程度
力学学科 中学力学 理论力学 材料力学 结构力学 弹性力学 弹塑性力学 研究对象 质点 质点系及刚体 简单变形体(构件) 数量众多的简单变形体 任意变形体 任意变形体 特征 无变形 无变形 小变形 小变形 小变形 任意变形
北航空航天大学
五个基本假定
连续性：无空隙，能用连续函数描述 均匀性：各个位置物质特性相同 各向同性：同一位置的物质各个方向上具有相 同特性 线弹性：变形和外力的关系是线性的，外力去 除后，物体可恢复原状 小变形：变形远小于物体的几何尺寸，建立基 本方程时可以忽略高阶小量。
2 + an1 xn x1 + an 2 xn x2 + an 3 xn x3 + L + ann xn
北京航空航天大学
利用矩阵及其运算，二次型可表示为
a11 a12 L a1n x1 a a L a x 2n 2 21 22 f ( x1 , x2 ,L , xn ) = [ x1 x2 L xn ] M M M M an1 an 2 L ann xn A: 对称矩阵 = xT Ax
北京航空航天大学
正定二次型
二次型：含有n个变量的二次齐次多项式
f ( x1 , x2 ,L , xn ) = a11 x12 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + L + 2a1n x1 xn
2 + a22 x2 + 2a23 x2 x3 + L + 2a2 n x2 xn
+ LLLLLLLLL
正定二次型：设
f ( x1 , x2 ,L , xn ) = xT Ax 为实二次型，如果对于
f = xT Ax > 0
A: 正定矩阵
任意的非零实向量X，都有 ，
北京航空航天大学
关于正定矩阵
正定矩阵是特殊的对称实矩阵 正定矩阵的对角元aii>0 正定矩阵的行列式|A|>0 A为正定矩阵的充要条件是A的所有顺序 主子式皆大于0
第2讲 矩阵算法及弹性力学基础
金朝海 jch666@
北京航空航天大学
2.1 矩阵算法
线性方程组的表示 行向量和列向量 矩阵加、减、乘法运算 矩阵的转置、对称矩阵、单位矩阵 矩阵行列式 矩阵求逆 矩阵的微分和积分 正定矩阵（正定二次型）
北京航空航天大学
线性方程组的表示
求解方法：高斯消元法、迭代法 北京航空航天大学
行向量和列向量
北京航空航天大学
矩阵加、减、乘法运算
北京航空航天大学
矩阵转置、对称矩阵、单位矩阵
对称方阵
北京航空航天大学
矩阵行列式
或
奇异矩阵(方阵)
北京航空航天大学
矩阵的逆
如果方阵A的行列式 则其逆存在，记为
A的伴随矩阵
对于：
线性方程组的求解，变为求 解系数矩阵的逆矩阵 北京航空航天大学
矩阵的微分和积分
北京航空航天大学
1 2 1 ε 23 = ε 32 = γ 23 2 1 ε 31 = ε13 = γ 31 2
ε12 = ε 21 = γ 12
对张量的理解
张量不随坐标系的改变而改变
例如位移矢量ui ：无论从哪一个坐标系观察， 它反映的总是A点移动到B点的客观事实，不 随观察者所在的坐标系而改变。 再如应力张量σij和应变张量εij ，尽管在不同 的坐标系中具有不同的分量，但是它们所描 述的却是某点的同一个应力和应变状态。