岩石的破坏准则
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这样，等倾面上的剪应力为 考虑单向受力时，只有一个主应力不为零，设为R，则代入上式有 ，推出： 适用条件：塑性，
5、莫尔理论及莫尔库伦准则
该理论是目前应用最多的一种强度理论。 该理论假设，岩石内某一点的破坏主要取决于它的大主应力和小主 应力，即σ1和σ3，而与中间主应力无关。也就是说，当岩石中某一平面 上的剪应力超过该面上的极限剪应力值时，岩石破坏。而这一极限剪应 力值，又是作用在该面上法向压应力的函数，即 。 这样，我们就可以根据不同的σ1、σ3绘制莫尔应力图。 每个莫尔圆都表示达到破坏极限时应力状态。
9、经验破坏准则
现行的破坏理论并不能全面的解释岩石的破坏性态，只能对某一方 面的岩石性态做出合理的解释，但对其它方面就解释不通。因此，许多 研究者在探求经验准则，目前应用较多的经验破坏准则为霍克（Hoke） 和布朗（Brown）经验破ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ准则。
1 Hoke和Brown发现，大多数岩石材料（完整岩块）的三轴压缩 试验破坏时的主应力之间可用下列方程式描述：
推出：
则，最大切向应力
2）．岩块中的最大切向应力所在的裂隙 上面导出了某一条裂隙上的最大切向应力，但在多条裂隙中，哪一 条裂隙的 最大？ ，与，的关系为： ， 代入 中， 显然与β有关，对其求导，便可求得为最大的那条裂隙，即确定出β 角。 即取 则，， ①，有＝0或代入中， ＝0时， 或 0 ＝时，或0。 共四个可能极值，与σ1平行或垂直的裂隙。 ②将 代入 中， 共有两个极值，即与σ1斜交裂隙中有两个方向裂隙的切向应力达极 值。 因为＝0或时，或－1。 因此，与σ1斜交时，必须≠0或， 即 时 才是与σ1斜交，则要求
或写成 破坏 稳定
这个理论适用于塑性岩石，不适用于脆性岩石。 该理论未考虑中间主应力的影响。
4、八面体剪应力理论（Von.Mises）
该理论认为岩石达到危险状态取决于八面体剪应力。其破坏准则为
已知单元体三个主应力，， ，取坐标系平行于主应力。作一等倾 面（其法线N与三个坐标轴夹角相同）。八个象限的等倾面构成一个封 闭的正八面体，此八面体上剪应力和法向应力即为八面体应力。
为研究等倾面上的应力，取一由等倾面与三个主应力面围成的四面 体来研究。
N与x、y、z的夹角分别为，且 。 设：，， 则有 设等倾面ABC面积为S，则三个主应力面(，，面)的面积分别为 根据力的平衡条件 , , 推出：，
而 等倾面S上合力： 所以： 另，等倾面S上的法向应力为各分力px、py、pz在N上的投影之和， 即
R — Rt或Rc 推出：
破坏
实验指出，该理论与脆性材料实验值大致符合，对塑性材料不适用。
3、最大剪应力理论（H.Tresca）
该理论认为岩石材料的破坏取决于最大剪应力，即当最大剪应力达 到单向压缩或拉伸时的危险值时，材料达到破坏极限状态。其破坏准则 为：
在复杂应力状态下，最大剪应力
单位拉伸或压缩时，最大剪应力的危险值 则有
许多部门和学者从不同角度提出不同的破坏准则，目前岩石破坏准 则主要有：最大正应力理论
最大正应变理论 最大剪应力理论（H.Tresca） 八面体应力理论
莫尔理论及库伦准则 格里菲思理论（Griffith） 伦特堡理论（Lundborg） 经验破坏准则
1、最大正应力理论
这是较早的一种理论，该理论认为岩石的破坏只取决于绝对值最大 的正应力。即岩石内的三个主应力中只要有一个达到单轴抗压或抗拉强 度时，材料就破坏。
麦克林托克认为，在压缩应力场中，当裂缝在压应力作用下闭合 时，闭合后的裂缝在全长上均匀接触，并能传递正应力和剪应力。由于 均匀闭合，正应力在裂纹端部不产生应力集中，只有剪应力才能引起缝 端的应力集中。这样，可假定裂纹面在二向应力条件下，裂纹面呈纯剪 破坏。其强度曲线如图。由图可知
OC＝ BD=（半径） OD=（圆心）
Rc—完整岩石单轴抗压强度（MPa）； m—与岩石类型有关的系数 m值是根据岩石的完整程度，结晶及胶结情况，通过大量试验结果及经 验而确定的。 岩石完整、结晶或胶结好，m值就越大，最大的为25。
2 对于岩体，Hoke和Brown建议： m和S——常数，取决于岩石的性质以及在承受破坏应力σ1和σ3以前岩 石扰动或损伤的程度。完整岩块S=1，岩石极差时S=0。 当取σ3=0时，可得到岩体的单轴抗压强度：
该值为 直线在轴上的截距，但与实测的Rt有差别，需对＜0时的直线段 进行修正。
岩石破坏的判断条件： ， 破坏
， 极限 ，稳定
6、格里菲思（Griffith）理论
以上各理论都是把材料看作为连续的均匀介质，格里菲思则认为： 当岩石中存在许多细微裂隙，在力的作用下，在缝端产生应力集中，岩 石的破坏往往从缝端开始，裂缝扩展，最后导致破坏。
，
II. 由（*）式，当时， 代入 ， 则有：
等于0，处于极限状态； 大于0， 破坏； 小于0， 稳定。 上面的准则是用σ1、σ3表示的，也可用，表示 将 代入 中， 推出：，
显然与莫尔圆的色线接近，在时的包线更接近实际。
7、修正的格里菲思理论
格里菲思理论是以张开裂隙为前提的，如果压应力占优势时裂隙会 发生闭合，压力会从裂隙一边壁传递到另一边，从而缝面间将产生摩 擦，这种情况下，裂隙的发展就与张开裂隙的情况不同。麦克林托克 （Meclintock）考虑了这一影响，对格里菲思理论进行了修正。
岩石的破坏准则
对岩石试样的室内及现场试验，可获得岩石试样的强度指标，但对 复杂应力状态下的天然岩体，又是如何判断其破坏呢？因此，就必须建 立判断岩石破坏的准则（或称强度理论）。
岩石的应力、应变增长到一定程度，岩石将发生破坏。用来表征岩 石破坏条件的函数称为岩石的破坏准则。
岩石在外力作用下常常处于复杂的应力状态，许多试验指出，岩石 的强度及其在荷载作用下的性状与岩石的应力状态有着很大的关系。在 单向应力状态下表现出脆性的岩石，在三向应力状态下具有延性性质， 同时它的强度极限也大大提高了。
或 此时，裂隙的最大拉应力为 （*） 如果， 则 ，则必为负值（拉应力） 此时由推出，即为0或90°，表明裂隙与σ1平行或正交。 因为，考查＝0，的极值，则 （**） 为最大拉应力。 式（*）（**）即为岩石中的达到某一临界值时就会产生破坏。 为了确定m值，做单轴抗拉试验，使σ3垂直裂隙面（椭圆长轴），则这 时的 推出 这说明裂隙边壁最大应力与m乘积必须满足的关系。 此时，格菲思强度理论的破坏准则为： I. 由（**）式，当时，， 则
EB=， OE=σ, ED=OD-OE=-σ
AB=EB＝ ＝
由 AB=BD-AD，可推出
式中，摩擦系数 另外，按格里菲思理论，推出 取为，裂隙面上的压应力，则有 ①＝ ②当很小时，取＝0时（勃雷斯Brace）
＝ 当时<0时（拉应力），上两式不适用。 低应力时，格里菲思与修正的格里菲思理论较为接近，高应力时差
根据几何关系， ，得出 代入中，得到 另由公式推导：将1、3表示的 和 代入中，导出 或 对求导， 推出： 破坏面与最大主应力面的夹角 而与最大主应力方向的夹角
为）
2）．用主应力1、3表达的强度准则 将 和 的表达式代入 中，
利用关系： 化简得： 当3=0时（单轴压缩）：，
令，则， 当1=0时（单轴抗拉）：
别大（当σ3>0时）。
8、伦特堡（Lundborg）理论
伦特堡根据大量的岩石强度试验认为，当岩石内的正应力达到一定 限度，即相应于岩石的晶体强度时，由于晶体破坏，继续增加法向荷载 就不再增大抗剪强度。用下式来描述岩石在荷载下的破坏状态：
，——研究点的正应力和剪应力（MPa） ——当没有正应力时（σ=0）岩石的抗切强度（MPa） ——岩石晶体的极限抗切强度（MPa） A——系数，与岩石种类有关。 当岩石内的剪应力τ和正应力σ达到上述关系时，岩石就发生破坏。 式中的τ实际上是代表最大的剪应力，因而是强度。 上式中的,,A 由试验确定，见P55表3-5。
由于s＝0～1，则 如果令σ1=0，则得到岩体的单轴抗拉强度。 从Rcm和Rtm中可看出，当S=1时，Rcm=Rc为完整岩块，当S=0时， Rtm=Rcm=0为完全破损的岩石。因此，处于完整岩石和完全破损岩石 之间的岩体，其S值在1~0之间。
一系列莫尔圆的包线即为强度曲线
由此可知，材料的破坏与否，一方面与材料内的剪应力有关，同时也与 正应力有关
关于包络线： 抛物线：软弱岩石 双曲线或摆线：坚硬岩石
直线：当σ＜10MPa 时
为简化计算，岩石力学中大多采用直线形式：
c——凝聚力（MPa） ——内摩擦角。
该方程称为库伦定律，所以上述方法合称为：莫尔库伦准则。
当岩石中任一平面上 时，即发生破坏。
即：
下面介绍用主应力来表示莫尔库仑准则。
任一平面上的应力状态可按下式计算
①
②
—最大主应力面（1）与滑动面夹角。
根据莫尔应力圆，可建立任一滑动面的抗剪强度指标与主应力之间 关系。
1）c和值与1、3和角关系 在1~3的应力圆上，找出2的应力点T（TM为半径 则，与直径TM垂直且与圆相切的直线即为
在岩石中任取一条裂隙，其长轴与1方向成角。格里菲思假定，裂 隙是张开的，且形状接近于椭圆，一旦拉应力超过岩石的局部抗拉强 度，在张裂隙的边壁就开始破裂。
1）.任一裂隙的应力。 假定： ①椭圆可作为半元限弹性介质中的单个孔洞处理， ②二维问题处理，取
椭圆参数方程：， 椭圆的轴比为： 椭圆裂隙周壁上偏心角的α的任意点的切向应力 可用弹性力学中英 格里斯（Inglis）公式表示： 由于裂缝很窄，轴比很小，形状扁平，所以最大应力显然发生在靠 近椭圆裂隙的端部，即α很小的部位，当时，， 又由于m，α很小，略去高次项，则有 m为定值，当，，确定时，、也为定值，则仅随α而变。这是任一条裂 隙沿其周边的切向应力。 显然在椭圆周边上，随α不同有不同的值，对α求导。
或
适用条件： 单向应力状态。对复杂应力状态不适用。 写成解析式：
破坏
2、最大正应变理论
该理论认为岩石的破坏取决于最大正应变，即岩石内任一方向的正 应变达到单向压缩或拉伸时的破坏数值时，岩石就发生破坏。
则破坏准则为 式中 ——岩石内发生的最大应变值；
——单向拉、压时极限应变值； 这一破坏准则的解析式为（由广义虎克定律）
5、莫尔理论及莫尔库伦准则
该理论是目前应用最多的一种强度理论。 该理论假设，岩石内某一点的破坏主要取决于它的大主应力和小主 应力，即σ1和σ3，而与中间主应力无关。也就是说，当岩石中某一平面 上的剪应力超过该面上的极限剪应力值时，岩石破坏。而这一极限剪应 力值，又是作用在该面上法向压应力的函数，即 。 这样，我们就可以根据不同的σ1、σ3绘制莫尔应力图。 每个莫尔圆都表示达到破坏极限时应力状态。
9、经验破坏准则
现行的破坏理论并不能全面的解释岩石的破坏性态，只能对某一方 面的岩石性态做出合理的解释，但对其它方面就解释不通。因此，许多 研究者在探求经验准则，目前应用较多的经验破坏准则为霍克（Hoke） 和布朗（Brown）经验破ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ准则。
1 Hoke和Brown发现，大多数岩石材料（完整岩块）的三轴压缩 试验破坏时的主应力之间可用下列方程式描述：
推出：
则，最大切向应力
2）．岩块中的最大切向应力所在的裂隙 上面导出了某一条裂隙上的最大切向应力，但在多条裂隙中，哪一 条裂隙的 最大？ ，与，的关系为： ， 代入 中， 显然与β有关，对其求导，便可求得为最大的那条裂隙，即确定出β 角。 即取 则，， ①，有＝0或代入中， ＝0时， 或 0 ＝时，或0。 共四个可能极值，与σ1平行或垂直的裂隙。 ②将 代入 中， 共有两个极值，即与σ1斜交裂隙中有两个方向裂隙的切向应力达极 值。 因为＝0或时，或－1。 因此，与σ1斜交时，必须≠0或， 即 时 才是与σ1斜交，则要求
或写成 破坏 稳定
这个理论适用于塑性岩石，不适用于脆性岩石。 该理论未考虑中间主应力的影响。
4、八面体剪应力理论（Von.Mises）
该理论认为岩石达到危险状态取决于八面体剪应力。其破坏准则为
已知单元体三个主应力，， ，取坐标系平行于主应力。作一等倾 面（其法线N与三个坐标轴夹角相同）。八个象限的等倾面构成一个封 闭的正八面体，此八面体上剪应力和法向应力即为八面体应力。
为研究等倾面上的应力，取一由等倾面与三个主应力面围成的四面 体来研究。
N与x、y、z的夹角分别为，且 。 设：，， 则有 设等倾面ABC面积为S，则三个主应力面(，，面)的面积分别为 根据力的平衡条件 , , 推出：，
而 等倾面S上合力： 所以： 另，等倾面S上的法向应力为各分力px、py、pz在N上的投影之和， 即
R — Rt或Rc 推出：
破坏
实验指出，该理论与脆性材料实验值大致符合，对塑性材料不适用。
3、最大剪应力理论（H.Tresca）
该理论认为岩石材料的破坏取决于最大剪应力，即当最大剪应力达 到单向压缩或拉伸时的危险值时，材料达到破坏极限状态。其破坏准则 为：
在复杂应力状态下，最大剪应力
单位拉伸或压缩时，最大剪应力的危险值 则有
许多部门和学者从不同角度提出不同的破坏准则，目前岩石破坏准 则主要有：最大正应力理论
最大正应变理论 最大剪应力理论（H.Tresca） 八面体应力理论
莫尔理论及库伦准则 格里菲思理论（Griffith） 伦特堡理论（Lundborg） 经验破坏准则
1、最大正应力理论
这是较早的一种理论，该理论认为岩石的破坏只取决于绝对值最大 的正应力。即岩石内的三个主应力中只要有一个达到单轴抗压或抗拉强 度时，材料就破坏。
麦克林托克认为，在压缩应力场中，当裂缝在压应力作用下闭合 时，闭合后的裂缝在全长上均匀接触，并能传递正应力和剪应力。由于 均匀闭合，正应力在裂纹端部不产生应力集中，只有剪应力才能引起缝 端的应力集中。这样，可假定裂纹面在二向应力条件下，裂纹面呈纯剪 破坏。其强度曲线如图。由图可知
OC＝ BD=（半径） OD=（圆心）
Rc—完整岩石单轴抗压强度（MPa）； m—与岩石类型有关的系数 m值是根据岩石的完整程度，结晶及胶结情况，通过大量试验结果及经 验而确定的。 岩石完整、结晶或胶结好，m值就越大，最大的为25。
2 对于岩体，Hoke和Brown建议： m和S——常数，取决于岩石的性质以及在承受破坏应力σ1和σ3以前岩 石扰动或损伤的程度。完整岩块S=1，岩石极差时S=0。 当取σ3=0时，可得到岩体的单轴抗压强度：
该值为 直线在轴上的截距，但与实测的Rt有差别，需对＜0时的直线段 进行修正。
岩石破坏的判断条件： ， 破坏
， 极限 ，稳定
6、格里菲思（Griffith）理论
以上各理论都是把材料看作为连续的均匀介质，格里菲思则认为： 当岩石中存在许多细微裂隙，在力的作用下，在缝端产生应力集中，岩 石的破坏往往从缝端开始，裂缝扩展，最后导致破坏。
，
II. 由（*）式，当时， 代入 ， 则有：
等于0，处于极限状态； 大于0， 破坏； 小于0， 稳定。 上面的准则是用σ1、σ3表示的，也可用，表示 将 代入 中， 推出：，
显然与莫尔圆的色线接近，在时的包线更接近实际。
7、修正的格里菲思理论
格里菲思理论是以张开裂隙为前提的，如果压应力占优势时裂隙会 发生闭合，压力会从裂隙一边壁传递到另一边，从而缝面间将产生摩 擦，这种情况下，裂隙的发展就与张开裂隙的情况不同。麦克林托克 （Meclintock）考虑了这一影响，对格里菲思理论进行了修正。
岩石的破坏准则
对岩石试样的室内及现场试验，可获得岩石试样的强度指标，但对 复杂应力状态下的天然岩体，又是如何判断其破坏呢？因此，就必须建 立判断岩石破坏的准则（或称强度理论）。
岩石的应力、应变增长到一定程度，岩石将发生破坏。用来表征岩 石破坏条件的函数称为岩石的破坏准则。
岩石在外力作用下常常处于复杂的应力状态，许多试验指出，岩石 的强度及其在荷载作用下的性状与岩石的应力状态有着很大的关系。在 单向应力状态下表现出脆性的岩石，在三向应力状态下具有延性性质， 同时它的强度极限也大大提高了。
或 此时，裂隙的最大拉应力为 （*） 如果， 则 ，则必为负值（拉应力） 此时由推出，即为0或90°，表明裂隙与σ1平行或正交。 因为，考查＝0，的极值，则 （**） 为最大拉应力。 式（*）（**）即为岩石中的达到某一临界值时就会产生破坏。 为了确定m值，做单轴抗拉试验，使σ3垂直裂隙面（椭圆长轴），则这 时的 推出 这说明裂隙边壁最大应力与m乘积必须满足的关系。 此时，格菲思强度理论的破坏准则为： I. 由（**）式，当时，， 则
EB=， OE=σ, ED=OD-OE=-σ
AB=EB＝ ＝
由 AB=BD-AD，可推出
式中，摩擦系数 另外，按格里菲思理论，推出 取为，裂隙面上的压应力，则有 ①＝ ②当很小时，取＝0时（勃雷斯Brace）
＝ 当时<0时（拉应力），上两式不适用。 低应力时，格里菲思与修正的格里菲思理论较为接近，高应力时差
根据几何关系， ，得出 代入中，得到 另由公式推导：将1、3表示的 和 代入中，导出 或 对求导， 推出： 破坏面与最大主应力面的夹角 而与最大主应力方向的夹角
为）
2）．用主应力1、3表达的强度准则 将 和 的表达式代入 中，
利用关系： 化简得： 当3=0时（单轴压缩）：，
令，则， 当1=0时（单轴抗拉）：
别大（当σ3>0时）。
8、伦特堡（Lundborg）理论
伦特堡根据大量的岩石强度试验认为，当岩石内的正应力达到一定 限度，即相应于岩石的晶体强度时，由于晶体破坏，继续增加法向荷载 就不再增大抗剪强度。用下式来描述岩石在荷载下的破坏状态：
，——研究点的正应力和剪应力（MPa） ——当没有正应力时（σ=0）岩石的抗切强度（MPa） ——岩石晶体的极限抗切强度（MPa） A——系数，与岩石种类有关。 当岩石内的剪应力τ和正应力σ达到上述关系时，岩石就发生破坏。 式中的τ实际上是代表最大的剪应力，因而是强度。 上式中的,,A 由试验确定，见P55表3-5。
由于s＝0～1，则 如果令σ1=0，则得到岩体的单轴抗拉强度。 从Rcm和Rtm中可看出，当S=1时，Rcm=Rc为完整岩块，当S=0时， Rtm=Rcm=0为完全破损的岩石。因此，处于完整岩石和完全破损岩石 之间的岩体，其S值在1~0之间。
一系列莫尔圆的包线即为强度曲线
由此可知，材料的破坏与否，一方面与材料内的剪应力有关，同时也与 正应力有关
关于包络线： 抛物线：软弱岩石 双曲线或摆线：坚硬岩石
直线：当σ＜10MPa 时
为简化计算，岩石力学中大多采用直线形式：
c——凝聚力（MPa） ——内摩擦角。
该方程称为库伦定律，所以上述方法合称为：莫尔库伦准则。
当岩石中任一平面上 时，即发生破坏。
即：
下面介绍用主应力来表示莫尔库仑准则。
任一平面上的应力状态可按下式计算
①
②
—最大主应力面（1）与滑动面夹角。
根据莫尔应力圆，可建立任一滑动面的抗剪强度指标与主应力之间 关系。
1）c和值与1、3和角关系 在1~3的应力圆上，找出2的应力点T（TM为半径 则，与直径TM垂直且与圆相切的直线即为
在岩石中任取一条裂隙，其长轴与1方向成角。格里菲思假定，裂 隙是张开的，且形状接近于椭圆，一旦拉应力超过岩石的局部抗拉强 度，在张裂隙的边壁就开始破裂。
1）.任一裂隙的应力。 假定： ①椭圆可作为半元限弹性介质中的单个孔洞处理， ②二维问题处理，取
椭圆参数方程：， 椭圆的轴比为： 椭圆裂隙周壁上偏心角的α的任意点的切向应力 可用弹性力学中英 格里斯（Inglis）公式表示： 由于裂缝很窄，轴比很小，形状扁平，所以最大应力显然发生在靠 近椭圆裂隙的端部，即α很小的部位，当时，， 又由于m，α很小，略去高次项，则有 m为定值，当，，确定时，、也为定值，则仅随α而变。这是任一条裂 隙沿其周边的切向应力。 显然在椭圆周边上，随α不同有不同的值，对α求导。
或
适用条件： 单向应力状态。对复杂应力状态不适用。 写成解析式：
破坏
2、最大正应变理论
该理论认为岩石的破坏取决于最大正应变，即岩石内任一方向的正 应变达到单向压缩或拉伸时的破坏数值时，岩石就发生破坏。
则破坏准则为 式中 ——岩石内发生的最大应变值；
——单向拉、压时极限应变值； 这一破坏准则的解析式为（由广义虎克定律）