椭圆的解题方法和技巧

椭圆的解题方法和技巧

安徽省宿州市褚兰中学海平

一、椭圆的定义的应用

椭圆的定义是用椭圆上的点到焦点的距离来描述的，因此在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时，应先想到用定义求解，常会有事半功倍之效。

例1 的三边、、成等差数列且满足，、两点的坐标分别是、。求顶点的轨迹。

分析：数列与解析几何相联系，往往构成综合性较大的题目，历来是高考考查的热点之一。

解析：∵、、成等差数列，∴，即，又，∴。

根据椭圆的定义，易得点的轨迹方程为。

又∵，∴，即，

∴，∴。

故点的轨迹是椭圆的一半，方程为（）。又当时，点、、在同一条直线上，不能构成三角形，∴。

∴点的轨迹方程为。

评注：该例是先由条件找到动点所满足的几何关系，寻找出满足椭圆定义的条件，然后确定椭圆的方程。解题时，易忽略这一条件，因此易漏掉这一限制；由于、、三点构成三角形，故应剔除使、、共线的点。

例2 、椭圆上一点到两焦点、的距离之差为2，试判

断

的形状。

分析：由椭圆定义知，的和为定值，且二者之差为题设条

件，故可求出的两边。

解析：由，解得。

又，故满足。

∴

为直角三角形。

评注：由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称作焦点三角形。利用焦点三角形能有意识地考查定义、三角形正（余）弦定理、内角和定理及面积公式能否灵活运用。 二、利用待定系数法确定椭圆的标准方程。

例3、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点

1(6,1)P ,2(3,2)P ,求椭圆的方程.

【解析】设椭圆方程为22mx ny 1+=（m ＞0,n ＞0且m≠n ）. ∵椭圆经过1P ，2P 点，∴1P ，2P 点坐标适合椭圆方程， 则①6m+n=1，② 3m+2n=1，①②两式联立，解得m=

19, n= 1

3

. ∴所求椭圆方程为22

x y 193

+=

评注：运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于a ，b 的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1（m ＞0,n ＞0,m≠n ），由题目所给条件求出m ，n 即可.

三、 利用向量解决椭圆问题

几何中突出向量的工具作用成为高考命题的新亮点，向量本身具有“数”与“形”的双重身份，常把向量的代数式转化为坐标表示或利用其几何关系求解．

()()()2

2

410,14

111

()()222

12||y x M l A B O P OP OA OB N l M P NP +==+u u u r u u u r u u u r u u u r

例、最值问题

设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于、两点，是坐标原点，

点满足，点的坐标为，．当绕点旋转时，

求：动点

的轨迹方程；的最大值与最小值．

()()11222222122

122121222

0,1 1.()()1(4)2301424.

8414()()()212244l M k l y kx A x y B x y y kx k x kx y x k x x k y y k x x y y k OP OA OB k k

=+=+⎧⎪

++-=⎨+

=⎪⎩⎧

+=-⎪⎪+⎨⎪+=

⎪+⎩++-=+==++u u u r u u u r u u u r 直线过点，

当斜率存在时，设其斜率为，则的方程为记，，，，

由，得，

所以解，：，析则．

()(

)222222222()40.

0,0111

.

1644

1117||()()3(40.

1||6611

||.

4).

226124

2P x P x y k x y y AB P x x NP x y y y x NP x x NP +-=≤-≤≤=-+-=-+-=++=-=u u u u r u u r u u u r 点的轨迹方程为当时，取得设点的坐标为，，则，消去得当斜率不存在时，的中点为原点，也满足上述方程．所以由点的轨迹方程知，即所以故当时，取得最小值为

评注：由向量作为载体的解析几何问题一要利用向量的几何意义，二要熟悉向量的坐标运算．而与椭圆有关的求最值问题则常与求函数的值域相联系． 例5、参数范围问题

()()()(01)0,1||()12||G ABC A B x M MA MC GM AB R C k l C P Q AP AQ k λλ∆-==∈=u u u r u u u u r u u u u r u u u r

u u u r u u u r

已知点是的重心，，，，在轴上有一点，满足，．求点的轨迹方程；

若斜率为的直线与点的轨迹交于不同的两点、，且满足，试求的取值

(

)22

2()()33()(0)

31(0)3

13

1(0)

x y

C x y G ABC G GM AB R GM AB x

M x M y x x C y x λλ∆=∈=+=≠+=≠u u u u r u u u r

P 设，，为的重心，则，．

因为，所以，

而点在轴上，则，．整理得．

所点的轨迹方析：程为以解

()()

()2

22222222211220||.

013

(13)63(1)0*(6)4(13)3(1)0130**()()2k l C P Q AP AQ k l y kx m x y k x kmx m l km k m k m P x y Q x y ==≠=++=+++-=∆=-+⋅->+->u u u r u u u r

①当时，与椭圆有两个不同的交点、，

由椭圆的对称性知②当时，可设的方程为，代入，整理得，

，因为直线与椭圆交于不同的两点，所以，即，设，，，，

11222121222

1200000222

2()()63(1)

1313()2

31313||11313-13AN P x y Q x y km m x x x x k k

x x

PQ N x y x km m y kx m k k AP AQ AN PQ m

k k k k km k -+=-=+++==

-=+=++=⊥++⋅=⋅=-+u u u r u u u r u u u r u u u r 设，，，，

则，，则中点，的坐标为，，又，所以，

所以，

()()()()2

213**12

1,00,1,11k m k k k -+=<∈-U 得，代入得，

所以．的取值范围得，是综合①②．

． 评注：解决参数的取值范围问题常用的方法有两种：①不等式(组)求解法：根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式(组)得出参数的取值范围；②函数值域求解法：把所讨论的参数表示为有关某个变量的函数，通过讨论函数的值域求参数的变化范围．