《微观经济十八讲》第三章价格变化对消费者的配置效应与福利效应

h i *
xi p j

xi ( p, y ) u 常量 x j ( p , y ) y
右边第一项是替代效应。如果无差异曲线凸向 原点，则替代效应是正的。这是为什么？
xi ( p, y ) x j ( p, y ) 是收入效应。 y

此时，符号不确定。
自价格效应
xi ( p, y ) x ( p, u ) xi ( p, y ) xi ( p, y ) pi pi y
总替代和总互补
xi 0, p j xi 0 p j
总替代

总互补
试说明在马歇尔需求中，总替代关系和总 互补关系并不一定具有对称性（像希克斯 需求关系那样）。

例：交叉价格效应中的非对称性
u( x1, x2 ) ln x1 x2 , 讨论x1和x2之间的总替代或总互补关系.
MU1 p1 利用消费者最优解的性质： MU 2 p2 1 p 可得： 1 p1 x1 p2 x1 p2 y p1 x1 p2 x2 p2 p2 x2

xi ( p, y) xih ( p, v( p, y))
e( p, u* ) e( p, v( p, y)) y,

当价格上升时，有：
D( p 0 , y ) D h ( p 0 , u 0 ) D( p1 , y ) D h ( p1 , u1 )

上式左边为马歇尔需求函数，右边为 希克斯需求函数。
第三章
价格变化对消费者的 配置效应与福利效应
本章要点
一、价格变动对消费者的配置效应（其 中又分替代效益和收入效应）； 二、价格变动的福利效应（消费者剩 余）； 三、显示性偏好理论：研究价格变动的 效应的另一种思路与途径。

§1.价格变化的替代效应与收入效应
一、价格消费曲线与收入消费曲线
p2 x2 p2 1 y y

Y不变，p2上升表示x2支出比例下降，从而x1 的需求量上升。
x1 1 0 p2 p1
x2 0 p1
x1 对x2是替代的

x1 与x2是无关的
因此，它们却非总互替代品，也不是总互 补品。总替代关系并非一定是对称的。
§3.弹性
一、定义

令 xi ( p, y) 为产品i的马歇尔需求函数。则


首先计算马歇尔需求函数：
y y * x , x2 2 p1 2 p2
* 1

再计算间接效用函数：v( p1 , p2 , y)
y
1/2 2 p1 p1/2 2
1/2 * * 将y 2vp1 p1/2代入x1 和x2 , 可得: 2
1/2 vp1/2 h vp1 2 x1h 1/2 , x2 1/2 p1 p2
1
2
q0
q

就是在消费者购买某种商品的过程中，愿意付出的货币与 实际付出的货币价格的差额。
Cs ( pi p0 ) pi np 0
i 1 i 1
n
n

对于连续的需求函数，D 消费者剩余定义为：
D p) (
Cs
p1

p p
0
D ( p )dp
时，消费者剩余为
xih ( p, u * ) xi ( p, e( p, u * )) xi ( p, e( p, u * )) e( p, u* ) p j p j y p j
由引理1:e( p, u* ) e( p, v( p, y)) y,
e( p 0 , u 0 ) 利用谢泼特引理 : xi xih ( p 0 , u 0 ) , (i 1, 2,, n) pi

1.弹性类型：充分弹性；缺乏弹性；单位弹 性。 2.弹性与销售收入之间的关系。 3.厂商的定价策略。 4.需求等弹性的几何意义。


p
1
0.5
A
说明需求曲线上点 弹性的变化规律； 厂商的定价策略。
O
0.5
1
q
§4.价格变化的福利效应与消费者的剩余
一、消费者剩余
p
p
p1
p2
p0
q D( p)

要证明上式是非正的。需要利用e(p,u)函数的 性质：凹性。
函数f ( x)为凹函数, 如果对于x1 , x 2 X , t [0,1],都有: tf ( x1 ) (1 t ) f ( x 2 ) f (tx1 (1 t ) x 2 )

现需证明：
对于p1 , p 2 p, t [0,1],有: te( p1 , u ) (1 t )e( p 2 , u ) e((tp1 (1 t ) p 2 ), u ) 假定p p1时, x1使花费最小,且达到u; p p 2时, x 2使花费最小, 且达到u.
0 x2
TE IE SE
1 x1 x1s x10 B3 B2
u
O
B1 x1
§2.斯拉茨基公式
一、斯拉茨基公式的证明
【定理】x(p,y)为马歇尔需求，u*为p和y下的 效用水平，则：
xi ( p, y ) x ( p, u ) xi ( p, y ) x j ( p, y ) p j p j y
p
Dh ( p, u 0 )
p1
A
p
0
e
C
B
d
D( p, y)
Dh ( p, u1 )
q
补偿性变化和等值性变化


这是对由于价格变化而对于消费者的福利水平 的合理度量，不过它是以不同的价格水平为其 参照的。 等值性变化是以涨价以后的福利水平为基础， 计算价格变化对消费者所造成的货币损失。补 偿性变化则是以原来的效用水平为基准，计算 由于价格变化对于消费者所造成的货币损失。

h 由于希克斯补偿后的支出要保证让 ( x1h , x2 ) 在新的价格上收支平衡，即：
e 1 x1h ( p1 1, p2 1, v 2)
h 1 x2 ( p1 1, p2 1, v 2)
1 2 1 2 4

而原来的收入只有2，因此希克斯补偿=4-2=2。
xi ( p, y ) y i y xi ( p, y)
xi ( p, y) p j ij p j xi ( p, y)
收入弹性
xi ( p, y ) pi ii pi xi ( p, y)
交叉价格弹性
pi xi ( p, y ) Si y
自价格弹性
一、弹性区域

当商品的价格由 p 0 变化为 p1
Cs 0 D ( p ) dp
p
p
p
社会福利净损失
p1
p0
D D( p )
O
q1
q0
q
二、补偿性变化与等值性变化
1.补偿性需求函数 xh ( p, u0 )价格变化后， 希克斯补偿性需求函数： 对消费者进行相应补偿后，需求发生的变化。 由斯拉茨基公式和引理1和引理2。

因为上式需求取决于效用而非收入，故是X1 和X2的补偿性需求函数。在v不变时（v看作 常数），它只随价格而变，这即是希克斯补 偿性需求函数。
0 p1 0.25, p2 =1,y=2,所以,v=2. 0 h h h h p1 1, x1 =4 x1 2, x2 =1 x2 2.
h i *

净替代效应为非正。
x ( p, u ) 0 pi
h i

证明：
e( p 0 , u 0 ) 利用谢泼特引理 : xi xih ( p 0 , u 0 ) , (i 1, 2,, n) pi
xih ( p, u ) 2 e( p, u ) pi 2 pi
x2
PCC
价格消费曲线

O

B1
B2
B3
x1
x2
ICC
收入消费曲线
O
x1
二、替代效应与收入效应的图示

例：福利分房到货币分房的效应
x2
1 x1 x1s 0 替代效应：
收入效应： x1s x10 0 总效应： x x x0 0
s 1
1 SE IE TE x1 x10 0
p1 0.25 p1 =1,p2不变, 因此,p 1 0.25 0.75.
* 0 x1 ( p10 , p2 , y 2) 4

要在p1变化后仍让消费者购买4单位的x1，因此 斯拉茨基补偿=4×0.75=3。

对斯拉茨基公式的补充说明
替代效应与收入效应
xi ( p, y ) x ( p, u ) xi ( p, y ) x j ( p, y ) p j p j y
二、几点说明

引理3：马歇尔需求与希克斯需求的关系
x2
希克斯需求：替代效应
( Fra Baidu bibliotek10 , p10 )
p1' p10 p1''
O

马歇尔需求：总效 应
x1 ( p, y)
x1h ( p, u ) x
' 1
x x x
* 1
0 1
** 1
x1''
x1

斯拉茨基补偿与希克斯补偿的计算

斯拉茨基补偿：价格变动时，按价格变动前的 消费量x0为基准，以消费者保持相同的消费计 划为目标，对价格变动后的消费者实行补偿。 1 m ( p1 p10 ) x10
h i *
总效应TE
替代效应SE
收入效应IE

引理1：
e( p, u) e( p, v( p, y)) y

引理2：
xi ( p, y) xih ( p, v( p, y))

引理3：
xih ( p, u) xi ( p, e( p, u))
由引理3: xih ( p, u) xi ( p, e( p, u))对p j 求偏导得 :

于是，对任何别的达到u的x，都有：
p1 x1 p1 x, p2 x2 p2 x

令 x x* ( x*能达到u)
tp1 x1 (1 t ) p2 x2 [tp1 (1 t ) p2 ]x*
te( p1 , u) (1 t )e( p2 , u) e((tp1 (1 t ) p 2 ), u) 即


希克斯补偿：以使消费者保持相同效用水平为 目标的补偿。价格变动后，消费计划可改变， 但可达到以前的效用。 如果知道效用函数形式，可先求出希克斯补偿 需求函数，再求出希克斯补偿。

例：
u 如效用函数为：( x1 , x2 ) x1 x2 ，p2 不变， （ p2=1），收入y=2 。P1由0.5上升到1。求希 克斯补偿，并与斯拉茨基补偿进行比较。
xih ( p, u * ) xi ( p, y ) xi ( p, y ) 因而有 : x j ( p, y ) p j p j y
xi ( p, y ) xih ( p, u * ) xi ( p, y ) 即 x j ( p, y ) p j p j y

xih ( p, u ) 因此，e()为凹函数. 0 pi
x1 x1 x1 ( )u x1 ( ) p0 p1 p1 w
x1 p1 x1 p1 x1 p1 w ( )u x1 ( ) p0 p1 x1 p1 x1 w x1 w E11 11 a11
并由1:u* v( p, y), 可知 :
由引理2和3: xh ( p, u* ) x j ( p, e( p, u* )) x j ( p, y), 所以 j
e( p, u * ) x h ( p, u * ) x h ( p, v( p, y )) j j p j e( p, u * ) x j ( p, y ) p j

但劣等品不一定是吉芬商品。
dx ( ) x ( ) x ( ) 0, 但xi | || | dy dy pi
i i i

) 由自价格效应公式可知： xi ( 0 pi
净替代效应的对称性

由谢泼特引理可导出：
h i
e( p, u ) x h ( p, u ) x ( p, u ) j p j pi p j pi
需求规律与吉芬商品

由斯拉茨基公式可导出：若物品是正常品，则
xi ( ) dx ( ) 0, 因此, 0 dy pi
i

上式的含义即是需求规律：价格与需求呈反向 变动关系。 而吉芬商品则是，价格与需求呈同向变动关系。


这必定有：
xi ( ) dxi ( ) 0, 即商品一定是劣等品, 因此, 0 dy pi