海南大学应用多元统计分析 复习真题

定义2.1 将p 个随机变量12,,,p X X X L 的整体称为p 维随机向量，记为12(,,,)p X X X '=L X 。

定义 2.2 设12(,,,)p X X X '=L X 是p 维随机向量，它的多元分布函数定义为

121122()(,,,)(,,,)p p p F x F X X X P X x X x X x ∆=≤≤≤L L （2.2）

记为~()F x X ，其中12(,,,)p p x x x R '=∈L x ，p R 表示p 维欧氏空间。 多维随机向量的统计特性可用它的分布函数来完整地描述。 定义 2.3 设12(,,,)p X X X '=L X 是p 维随机向量，若存在有限个或可列个p 维数向量,,,21Λx x ，记()k k P X x p ==，(1,2,)k =L 且满足121=++Λp p ，则称X 为离散型随机向量，称()k k P X x p ==，(1,2,)k =L 为X 的概率分布。

设12~()(,,,)p F x F x x x ∆L X ，若存在一个非负函数),,,(21p x x x f Λ，使得对一切12(,,,)p

p x x x R '=∈L x 有1

12121()(,,,)(,,,)p

x x p p p F x F x x x f t t t dt dt -∞

-∞

∆=⎰⎰

L L

L L （2.3）

则称X 为连续型随机变量，称),,,(21p x x x f Λ为分布密度函数，简称为密度函数或分布密度。

一个p 元函数),,,(21p x x x f Λ能作为p R 中某个随机向量的密度函数的主要条件是：

（1）0),,,(21≥p x x x f Λ，p p R x x x ∈'∀),,,(21Λ； （2）⎰⎰+∞

∞-+∞

∞

-=1),,,(12

1

p p

dx dx x

x x f ΛΛΛ

离散型随机向量的统计性质可由它的概率分布完全确定，连续型随机向量的统计性质可由它的分布密度完全确定。 定义2.4 设12(,,,)p X X X '=L

X 是p 维随机向量，称由它的)(p q <个

分量组成的子向量1

2

()(,,,)q

i i i i X X X '=L X 的分布为X 的边缘（或边际）分布，相对地把X 的分布称为联合分布。

当X 的分布函数是12(,,,)q F x x x L 时，(1)X 的分布函数即边缘分布函

数为：

1211(,,,)(,,)q q q F x x x P X x X x =≤≤L L

111(,,,,,)q q q p P X x X x X X +=≤≤≤∞≤∞L L 12(,,,,,,)q F x x x =∞∞L L 当X 有分布密度),,,(21p x x x f Λ时（亦称联合分布密度函数），则(1)X 也有分布密度，即边缘密度函数为：

⎰⎰+∞

∞

-+∞

∞

-+=p q p

q dx dx x

x f x x x f ,,),,(),,,(11

211ΛΛΛ

Λ

定义 2.5 若p 个随机变量12,,,p X X X L 的联合分布等于各自的边

缘分布的乘积，则称12,,,p X X X L

是相互独立的。

定义2.6 设12(,,,)p X X X '=L X ，若()(1,,)i E X i p =L 存在且有限，则称12()((),(),,())p E E X E X E X '=L X 为X 的均值（向量）或数学期望，有时也把()E X 和()i E X 分别记为μ和i μ，即12(,,,)p μμμ'=L μ，容易推得均值（向量）具有以下性质： （1）()()E E =AX A X （2）()()E E =AXB A X B

（3）()()()E E E +=+AX BY A X B Y

其中，X 、Y 为随机向量，A 、B 为大小适合运算的常数矩阵。 定义 2.7 设12(,,,)p X X X '=L X ，12(,,,)p Y Y Y '=L Y ，称()(())(())D E E E '∆--X X X X X

111212122

212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)p p p p p p Cov X X Cov X X Cov X X Cov X X Cov X X Cov X X Cov X X Cov X X Cov X X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

L L

M M M

L

（2.4）

为X 的方差或协差阵，有时把()D X 简记为Σ，(,)i j Cov X X 简记为ij σ，从而有()ij p p σ⨯=Σ；称随机向量X 和Y 的协差阵为 ()(())(())Cov E E E '∆--,X Y X X Y Y 111212122

212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)p p p p p p Cov X Y Cov X Y Cov X Y Cov X Y Cov X Y Cov X Y Cov X Y Cov X Y Cov X Y ⎡⎤⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

L L

M M M

L （2.5）

当=X Y 时，即为()D X 。

若()=Cov ,0X Y ，则称X 和Y 不相关，由X 和Y 相

互独立易推得()=Cov ,0X Y ，即X 和Y 不相关；但反过 来，当X 和Y 不相关时，一般不能推知它们独立。

当A 、B 为常数矩阵时，由定义可以推出协方差阵有如下性质： （1）对于常数向量a ，有()()D D +=X a X （2）()()D D ''==AX A X A A ΣA （3）(,)(,)Cov Cov '=AX BY A X Y B

（4）设X 为n 维随机向量，期望和协方差存在，记()E =μX ，()D =ΣX ，A 为n n ⨯常数阵，则 ()()E tr ''=+X AX A ΣμA μ

这里我们应该注意到，对于任何的随机向量12(,,,)p X X X '=L

X 来

说，其协差阵Σ都是对称阵，同时总是非负定（半正定）的。大多数情况是正定的。

若12(,,,)p X X X '=L X 的协差阵存在，且每个分量的方差大于零，则称随机向量X 的相关阵为()()ij p p Corr ρ⨯==R X ，其中

(,)ij Cov X X σρ=

=

p j i ,,1,Λ= （2.6）

为i X 与j X 的相关系数。 在数据处理时，为了克服由于指标的量纲不同对统计分析结果带来的影响，往往在使用各种统计分析之前，常需要将每个指标“标准化”

，即进行如下变换*()j X E X X -=

， 1,,j p =L （2.7）

那么由（2.7）构成的随机向量***

*12(,,,)p X X X '=L X 。令，

1122(,,,)pp diag σσσ=L C ，有： *1(())E -=-X C X X

那么，标准化后的随机向量*X 均值和协差阵分别为

*11()[(())][(())]0

E E E E E --=-=-=X C X X C X X

*111

1

1

1

1

()[(())][(())]()D D E D E D -------=-=-===X C X X C X X C C X C C ΣC R

即标准化数据的协差阵正好是原指标的相关阵。 定理2.1 设~(,)P N X μΣ，则有()E =X μ，()D =X Σ