2019-2020年电磁悬浮系统课程设计报告.docx

研究生课程考核试卷

科目：现代控制理论教师：

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卷面成绩平时成绩课程综合成绩阅卷评语：

阅卷教师 (签名)

重庆大学研究生院制

电磁悬浮系统课程设计报告

1.设计要求

简易电磁悬浮系统的物理模型如下图所示。其中电源提供高频交流电压从而使得电磁铁线圈流过高频交流电流，产生高频交变的电磁场，进而在金属小球表面产生涡流，涡流形成的电磁场与线圈产生的电磁场之间产生相互作用力。通过控制电磁铁线圈中流过的电流，使之产生的电磁力与金属球的重力相平衡，金属球则可稳定的在空中保持悬浮。电磁力与线圈电流i的平方成正比，与电磁铁和小球之间的距离x成反比，即

2

Ki

F

h

其中K为电磁力系数。

假设系统的参数为M=0 g，K=0.0001，L=0.01H，R=1Ω，g=9.8m/ s2。当电流i=7A时，小球位于平衡点h=0.01m处，试求：

（1）以线圈电压v为输入量，电磁铁和小球之间的距离x为输出量，通过近似线性化处理建立系统的状态空间表达式；

（2）对系统作稳定性分析，判断小球能否位于平衡点；

（3）假设系统的控制要求为：偏离平衡点后能够自动回到平衡点，其中稳定时间<0.5s、超调量<5。试设计带状态观测器状态反馈系统，并绘制模拟仿真图；

（4）根据模拟仿真图，绘制系统综合前后的响应曲线，判断系统在外加扰动的情况下小球能否回到平衡点。

2.系统分析与设计

设控制对象处于悬浮的平衡位置，电磁铁绕组上的电流为i，当它对控制对象产生的吸力F和控制对象的重力Mg相平衡时，控制对象将处于一种平衡状态,静止在该位置上。

假设在平衡位置悬浮体受到一个向下的扰动，悬浮体就会偏离其平衡位置向下运动，此时传感器检测出悬浮体偏离其平衡位置的位移并将位移相对应的电压输出至控制器，控制器将这一位移信号变换为控制信号，功率放大器又将该控制信号变换为控制电流。相对于平衡位置，此时的控制电流增大，因此,电磁铁的吸力F变大了，从而使控制对象返回到原来的平衡位置。

如果控制对象受到一个向上的扰动并向上运动,此时控制器使得功放的输出电流减小，电磁铁的吸力F变小了,控制对象也能返回到原来的平衡位置。因此，不论控制对象受到向上或向下的扰动，只要在控制器的控制下相应地及时改变控制电流的值，控制对象始终能处于稳定的平衡状态。

控制系统组成如图2.1所示。

图2.1 磁悬浮控制系统组成

2.1状态空间表达式

1）求原系统的状态空间表达式

由题中条件可以得到原系统KVL的如下关系式：

di

=+

v iR L

dt

当系统稳定时，即小球悬浮静止时有：

2

Ki

F Mg

==

h

取向下为正方向，a为小球向下的加速度，对小球在竖直方向受力分析：

dv Mg F Ma M dt

-== 其中：

22dx dv d x v dt dt dt

==， 由于模型为非线性化系统，结构较复杂，先对上式进行近似线性化处理，在点0i =7A ，h=0.01m 处用泰勒级数展开，忽略二阶及二阶以上项，有：

()()22000022Ki Ki Ki F i i x h h h h

=+--- 将数值带入（4）计算得：

0.980.1449F i x =-+-

整理上述表达式得：

1(0.14490.98)1()x v v Mg i x M i v iR L

⎧⎪=⎪⎪=-++⎨⎪⎪=-⎪⎩&&& 取输入量v ，输出量x ，状态变量()1x x t =，()2x v t =，()3x i t =，代入原式可得：

1221333980 2.829.4-100100x x x x x x x u =⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩&&&

可以得到系统的能控标准型状态空间表达式为：

[]11223312301009800 2.8000100100100x x x x u x x x y x x ⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎪⎢⎥⎪=⎢⎥⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎩

&&& 其中：

0109800 2.800100A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 00100B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

[]100C = 0D =

2）系统稳定性分析

由李雅普诺夫第一法，渐近稳定的充要条件是A 的特征值均有负实部。

10980 2.800100s sI A s s -⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥+⎣⎦ 2(100)980100)sI A s s s -=+-⨯+（

32100980980000s s s +--=

解得：

123100s s s =-⎧⎪=⎨⎪=⎩

由特征值判断，所以该系统不稳定，经过微小扰动后，小球不能位于平衡点。

2.2状态反馈与状态观测器设计

1）判断原系统的能控和能观测性

200280[] 0280280001000100001000000c Q B AB A B -⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

()3c rank Q =

故该系统完全可控，闭环极点可任意配置。

21000109801 2.8o C Q CA CA ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

()3o rank Q =

故该系统可观测，状态观测器存在。

2）状态反馈设计

原系统无开环零点，所以设计的闭环系统的动态性能完全由闭环极点所决定。由题要求其中稳定时间<0.5s 、超调量<5。

希望的3个闭环极点这样安排：选择一对主导极点s 1和s 2另外一个极点s 3远离这两个极点。将原闭环系统近似成只有主导极点的二阶系统。利用典型二阶