【数论第四讲】-不定方程

不定方程

一、定义：把未知数的个数多于方程的个数的方程（组）称为不定方程．这里的“不定”指的是方程的解不定．

二、基本思路与方法：

1．因式分解法，对方程的一边进行因式分解，另一边作质因数分解，对比两边，转化为若干个方程构成的方程组，进而求解。

2．配方法，将方程的一边变为平方和的形式，另一边为常数，再用不等式予以处理。

3．不等式估计，利用不等式工具确定不定方程中某元的范围，再利用整数性“夹逼”出该元的取值。

4．运用整除性把“大数”化为“小数”，使方程的解明朗化。

5．同余方法，如果不定方程12(,,,)0n F x x x =有整数解，则对任意*m N ∈，其整数解12(,,,)n x x x 满足12(,,,)0(mod )n F x x x m ≡。利用这一条件，同余可以作为探求不定方程整数解的一块试金石。

6．构造法，在不易得出方程的全部解时，通过构造法可以提供其部分解，从而证明该方程有解或者有无穷多个解，适合于处理存在性问题。

7．无穷递降法，适合证明不定方程没有正整数解。

三、例题选讲：

例1.求所有满足方程222511(11)x y xy +=-的正整数解(,)x y 。

解：法1（因式分解）：方程即2(2)(5)11x y x y --=-，可得

解得(,)(14,27)x y =。

法2（配方法）：方程即22211812()1148

y x y -+=，即222(411)81181x y y -+⨯= 例2．将113表示成k 个连续正整数之和，求项数k 的最大值。

解：设这k 个连续正整数中最小的数为a ，则1113(1)2

ka k k =+-，即112(1)23ka k k +-=⋅，作因式分解可得11(21)23k a k +-=⋅。 显然，为了让k 尽量大，则需a 尽量小，故需k 与21a k +-的取值尽量接近，因此令523k =⋅，6213a k +-=，可得122a =，486k =。

所以，项数k 的最大值为486。

例3.解方程：x 2 + [ x ] –2 = 0，其中[ x ]表示不超过x 的最大整数． 解 令[],[0,1)x x r r =+∈，则方程变为220x x r +--=（不定方程）．

整理得22x x r +-=．因为01r ≤<，所以2021x x ≤+-<，解得

2,1x x <≤-≤或 所以[ x ] =3-或2-或1．代入方程x 2 + [ x ] –2 = 0

中得x =2-或1． 注：运用不等式确定方程中某元的范围，进而求解。

例4．找出所有整数组（x ，y ），使得33221x y y =++．

解（不等式估计法）

把方程33221x y y =++变为332(1)3x y y y =+--．由原方程可知x y >，于是得1x y ≥+． 由于332(1)3x y y y -+=--，从而有230y y --≥，解得30y -≤≤．据y 的整数性可得y 的可能取值为3-，2-，1-和0．

当3y =-时，38x =-，得2x =-；当2y =-时，31x =，得1x =；当1y =-时，32x =，此时无整数解；当0y =时，x = 1．

综上，原方程的所有整数解为（– 3，– 2），（– 2，1），（0，1）． 例5．已知正整数n 满足：9n +，169n +，279n +都是完全平方数，求n 的值。 解：设219n m +=，22169n m +=，23279n m +=，且*123123,,,m m m m m m N <<∈。 则221216915m m -=⋅，即1212(4)(4)915m m m m -+=⋅，可得

121212121212121241434549,,,4135445427415m m m m m m m m m m m m m m m m -=-=-=-=⎧⎧⎧⎧⎨

⎨⎨⎨+=+=+=+=⎩⎩⎩⎩

解得1112221764,,672111

m m m m m m ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩，即得280n =或27或7，这里只有280n =能使279n +为完全平方数。所以280n =。

三、求方程x 2＋x ＝y 4＋y 3＋y 2＋y 的整数解．

【解】【不等式估计法】

原方程可变形为4x 2+4x +1=4y 4+4y 3+4y 2+4y +1．

∴(2x +1)2=(2y 2+y )2+3y 2+4y +1=(2y 2+y )2+2×(2y 2+y )+1+(

－

y 2+2y )=(2y 2+y +1)2+(－y 2+2y )

（1）当⎩⎨⎧<+->++02014322y y y y ，即当y <－1或y >2时，

(2y 2+y )2＜(2x +1)2＜(2y 2+y +1)2

而2y 2+y 与2y 2+y +1为两相邻整数，所以此时原方程没有整数解．

（2）当y =－1时，x 2+x =0，所以x =0或－1．

（3）当y =0时，x 2+x =0，所以x =0或－1．

（4）当y =1时，x 2+x =4，此时x 无整数解．

（5）当y =2时，x 2+x =30，所以x =－6或5．

综上所述：⎩⎨⎧-==10

y x ，⎩⎨⎧-=-=11

y x ，⎩⎨⎧==00

y x ，⎩⎨⎧=-=01

y x ，⎩⎨⎧=-=26

y x ，⎩⎨⎧==25

y x ．

例6．证明：不定方程254x y =-没有整数解.

【证明】【同余方法】

若存在整数x ，y 使得254x y =-成立，对方程两边模11，可知20,1,4,9,5,3(mod11)x ≡；

若y 能被11整除，则547(mod11)y -≡，不合题设；若y 不能被11整除，则101(mod11)y ≡，可得11能整除51y -或51y +，可知51,10(mod11)y ≡，于是有548,6(mod11)y -≡，这仍与题设不合。

综上，不定方程254x y =-没有整数解。

例7．设n 是整数，它的b 进制表示是777，求最小的正整数b ，使得n 是某个整数的四次方．

分析：显然“最小的正整数b ”体现出了b 的范围，应紧紧抓住这个条件．

【解（运用整除性递降大数）】

据题意可建立等式 7772++=b b n （关于n ，b 的不定方程）．

由于n 是某个整数的四次方，故设4x n =，x 是整数。那么，77724++=b b x （转化为关于x ，b 的不定方程）．可知7能整除4x ，由于7为质数，所以7能整除x ，故设m x 7=，m 为整数，则有17243++=b b m （进一步转化为关于m ，b 的不定方程，方程更加简单）．

因为最小的正整数b 的充要条件是12++b b 取最小，即437m 最小，也就是1=m 时．故得34312=++b b ，解得18=b ．