全同性原理

内找到另一个粒子的几率为(几率密度仍为P)
2 4r P (r )dr r dr | (r ) | d
2 A k
2
A k
dr
2r dr 2 d sin (kr cos ) sin d 3 (2 ) 0 0
4r dr 1 2 sin (kr cos )d(krcos ) 3 (2 ) kr 0
任何可观测量，特别是Hamiltonian量，对于 任何两个粒子的交换是不变的，即交换对称 性。
例1
He原子中两个电子组成的体系 （我们只研究电子的运动规律）
电子的Hamiltonian表达式可以写为
两电子动能 两电子与核库仑能 两电子相互作用能
2 2 2 2 2 ˆ ˆ p p 2e 2e e 1 2 ˆ H 2m 2m r1 r2 | r1 r2 |
这样由前面的知识可知
1 1 A ik r k (r ) (1 P e 12 ) 3/ 2 (2 ) 2
2i e 3/ 2 (2 )
ik r
e 2i
ik r
2i sin( k r ) 3/ 2 (2 ) 因此对于一个粒子，在半径(r , r dr )的球壳
来描述。其中 q (i 1,2, N ) 表示第i个
i
粒子的全部坐标（空间和自旋）。 若Pij表示第i个粒子与第j个粒子的全部 坐标变换，即
பைடு நூலகம்
Pij (q1 , q2 ,, qi , q j ,, qN ) (q1 , q2 ,, q j , qi ,, qN )
根据全同性原理，有
本征值为 k，k .
讨论它们在空间距离的几率分布
（1）无交换对称性（或不考虑交换对称性） 两粒子的波函数可表示为
(2 ) 作变换 1 r r1 r2 R (r1 r2 ) 2 1 以及 k (k k ) K k k 2 上式中 r 相对坐标 R 质心坐标 质心总动量 相对动量 K k
③全同粒子的本征态 对于全同粒子，由前述可知
Pij HP H
1 ij
[ Pij , H ] 0 (i j )
而Pij是不显含时间的，故所有Pij都是守恒量。 ˆ 有共同的本征态。 且与H
容易证明，不是所有的Pij都对易。 比如对任意全同粒子系的波函数
( ri rj rk ) Pij ( Pjk ( ri rj rk )) ( rj rk ri )
Pjk ( Pij ( ri rj rk )) ( rk ri rj )
( rj rk ri )？ ( rk ri rj )
即在此情况下，我们推不出
Pij Pjk Pjk Pij
或
[ Pij，Pjk ] 0
即不是所有的Pij都对易。 但容易看出，如果 ( ri rj rk ) 满足交换
P(r )
r 0
1
这说明，玻色子统计吸引，费米子统计排斥 当r 时，P(r ) 1 说明交换对称性只在两单粒子波函数交叠处 起作用，即此时才明显地体现出交换对称性。
(q1 , q2 ,, q j , qi ,, qN )
c (q1 , q2 ,, qi , q j ,, qN )
但
Pij (q1 , q2 ,, qi ,q j ,, qN )
2
Pij [ Pij (q1 , q2 ,, qi , q j ,, qN )] cPij (q1 , q2 ,, qi , q j ,, qN )
1、全同粒子
经典粒子： 有轨迹，可分辨 热统中有介绍
①概念： 在量子力学中，把固有性质如电荷、 质量、磁矩、自旋等内禀属性完全相 同的粒子称为全同粒子。 故全同粒子在本质上是不可分辨的。 因而不能编号，交换任意两粒子不影响体系
②性质
用量子力学的的第五个基本原理描述---全同性原理：
全同粒子体系的状态不因粒子的交换而改变 全同粒子具有的性质：
在忽略粒子间相互作用的情况下，完全对 称和反对称波函数可通过单粒子态基矢乘 积形式构造出来；
若有相互作用，则可按无相互作用基矢进 行展开。 我们下面分别以双全同粒子体系和 N 全同 粒子体系为例来进行说明。
2、两个全同粒子组成的体系 ①简介
忽略相互作用，Hamiltonian可表为
ˆ h( q ) h( q ) H 1 2
1 同样， 是归一化因子, P 12是交换算符 2
A 由上式可知，若k1 k2，则 kk 0（不存在）
泡利不相容原理
泡利不相容原理：
在全同费米子体系中，不可能有两个或两个 以上的粒子处于同一个单粒子态中（包括坐 标、自旋量子数完全相同） 统计排斥性
③全同性原理对散射体系的影响
设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态，
故
ˆ 不变 q1 q2 H ˆ]0 [P , H
12
设h(q)的单粒子本征态为k (q)，本征能为 k， 则有 h(q)k (q) k (q)
ˆ ）的一组完备量子数 其中k为力学量（包含H
设一个粒子处于 k1 态，另一个粒子处于 k 态, 则它们组成的双粒子态
2
按照全同粒子波函数的特点 ----满足交换对称 但任意两粒子态的乘积不一定满足这种交换 对称，比如 若k1 k 2 则 k1 (q1 ) k2 (q2 ) 与 k1 (q2 ) k2 (q1 ) 不满足交换对称。 如何构造对称波函数？ 针对不同体系！
3）复合粒子： 由基本粒子组成，视其总自旋而定。
奇数个费米子组成的粒子仍为费米子；
由偶数个费米子或玻色子组成的粒子均 为玻色子。
一般粒子的标记：
质量数 （核子数）
n m
Al
中子数
质子数
如：
2 1
H1 H2
4 2
He 2
核子数为偶数，玻色子
He1 核子数为奇数，费米子
3 1
3 2
⑤全同粒子波函数的构造方法
3
k k
(r1 , r2 )
1
e
i ( k r1 k r2 )
则 r r1 R 2 K k k 2 此时波函数可表为 k k (r1 , r2 )

r r2 R 2 K k k 2
归一化波函数可表成

S k1k 2
1 (1 P 12 ) k1 ( q1 ) k 2 ( q2 ) 2
其中
1 是归一化因子 2
P 12是交换算符
b.
k1 k2（量子态相同）
归一化波函数可表成
(q1 , q2 ) k (q1 )k (q2 )
S kk
这是自然的结果。 以上两种情况所构造的波函数都是交换对称的。
前面我们实际上学习了量子力学的四个 基本原理： 原理1 微观体系的状态可以用波函数完全描述 原理2 力学量可以用厄米算符来描述
原理3 体系状态的波函数可以用算符的本征 函数来展开
原理4 体系状态的波函数要满足Schrödinger 方程。 今天我们开始学习第五个基本原理---全同性原理
§5.5 全同粒子系统 和波函数的交换对称性
2）对费米子， 交换反对称，归一化波函数 可表成

A k1k 2
1 (q1 , q2 ) [ k1 (q1 ) k2 (q2 ) k1 (q2 ) k2 (q1 )] 2 1 k1 (q1 ) k1 (q2 ) 2 k2 (q1 ) k2 (q2 )
1 (1 P 12 ) k1 ( q1 ) k 2 ( q2 ) 2
令其等于 dr
1 ik r e 3/ 2 (2 )
r
4r 2 P(r )dr
2
因为球壳体积为4r dr，则P(r )为几率密度 单位体积的几率
这里P(r ) 1 (2 )
3
（常数），即均匀分布。
（2）考虑交换反对称波函数-----费米子 1 根据前述 r r1 r2 R (r1 r2 ) 2 1 k (k k ) K k k 2 现在让 1 2 R不变，K不变，但r 变号 但由于k，k 为量子态标记，与粒子占居无关 k 不变
k (q1 ) k (q2 )、 k (q2 )k (q1 ) 对应的能量都是 k k -----能量交换简并 1 2
1 2 1 2
②波函数的构造
1）对玻色子， 交换对称，分两种情况 a.
k1 k2（量子态不同）
1 (q1 , q2 ) [ k1 (q1 ) k2 (q2 ) k1 (q2 ) k2 (q1 )] 2
对称或反对称，则所有的 Pij 都是对易的。 试分析。
事实上，对全同粒子体系来说，所有的Pij 所处的地位应该是相同的。唯一可能的选 择是量子态是所有Pij的共同本征态。 仔细分析表明，这种共同本征态是存在的 ----完全对称波函数或完全反对称波函数。
既然所有Pij都是守恒量，所以其对称性不 随时间变化,即全同粒子的统计性质(Bose 或Fermi统计)是不变的。
显然当两个电子交换时， Hamiltonian不变。设交换 算符为P12，则有 ? 1 故 [P P HP 12 , H ] 0 12 12 H
-e
r2 +
2e
-e
r1
例2 考虑N个全同粒子组成的多粒子体系， 其量子态用波函数
(q1 , q2 ,, qi , q j ,)
1
3
(2 ) ( R) ( r ) K k
e
i ( K R k r )
质心运动（不考虑） 相对运动（研究目标）
即
k (r )
这样，对于一个粒子，在半径(r , r dr )的球壳 内找到另一个粒子的几率为 1 2 2 2 r dr | k (r ) | d 4 r dr 3 (2 )
2 e 3/ 2 (2 )
ik r
e 2
ik r
2 cos( k r ) 3/ 2 (2 )
同理可得 见下页图。
P (r )
S
sin( 2kr) 1 3 (2 ) 2kr 1
可以看出，在空间波函数对称情况下，两个粒 子靠近的几率最大，而在交换反对称的情况下 两个粒子靠近的几率最小。无交换对称时，
2
2
2

r
4r 2dr sin( 2kr) 1 3 (2 ) 2kr
即
P (r )
A
sin( 2kr) 1 3 (2 ) 2kr 1
这就是两全同粒子波函数交换反对称时在空间 相对距离的几率分布，见下图。
（3）考虑交换对称波函数 -------玻色子 1 1 S ik r 此时 (r ) (1 P e 12 ) 3/ 2 k (2 ) 2
④全同粒子的分类 所有的基本粒子可分为两类： 玻色子和费米子 1）玻色子： 波函数满足交换对称， 凡自旋为整数倍， 遵从Bose-Einstein统计的粒子。 如π介子（s=0）、光子（ s=1 ）等。
2）费米子：
凡自旋为 / 2 的奇数倍（s 1 / 2,3 / 2， )， 波函数对粒子的交换是反对称，遵从FermiDirac统计的粒子。 如电子、质子、中子等，s=1/2
c (q1 , q2 ,, qi ,q j ,, qN )
2
而
Pij 1
2
2
（想一想，为什么？）
所以
c 1 c 1
可见，全同粒子满足下列关系之一：
Pij Pij
结论：
（交换对称） （交换反对称）
对全同粒子波函数的一个很强的限制，即 全同粒子的波函数对两个粒子的交换要么是 对称的，要么是反对称的。这一点务必记住！