数学文化漫谈

数形结合 几何、算术融为一体，体现了解析几何的思想。 实践归纳 经典之作《九章算术》总结生产和生活中产生的数学知识和计算技 能——方田，粟米，衰分，少广，商功，均输，方程，勾股。 转化思想
商高：“数之法出自圆方。”——一切数理的基础就是圆和方，圆出 自于方，方出自于矩。
极限思想 刘徽：割圆术——无限逼近 “割之弥细，所失弥少。割之又割，以 至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”。 Archimedes用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正
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后来，古希腊人控制了地中海，将数学文明推向了新的 高峰。毕达哥拉斯研究几何学和数论。柏拉图学院大门上写 着：“不懂几何者免入”（古希腊几何即数学）。欧几里得 写出了《几何原本》，用逻辑演绎的方法，展现了公理化的 几何体系，成为人类理性思维的典范。
古代希腊数学与古代中国数学
古希腊数学是奴隶主思想家为追求精神满足，探讨真理、
不过，只要把数和形做广义的理解，大概也就可以了。 数学的特点是“三性”：抽象性，严谨性，广泛应用性。——
苏联，亚历山大洛夫。
数学的构成
代数——数量关系的科学，有序思维占主导，培 养计算与逻辑思维能力； 几何——空间形式的科学，视觉思维占主导，培 养直觉能力和洞察力； 分析——数形关系的科学，量变关系占主导，函 数为对象、极限为工具，培养周密的 逻辑思维能力和建模能力。
初等代数的中心问题是研究方程或方程组的解 的存在性、解的个数、解的结构问题，因而长期以 来都把代数学理解成方程的科学。 初等代数的基本研究对象包括： 三种数——有理数、无理数、复数； 三种式——整式、分式、根式。 初等代数的中心研究对象： 方程——整式方程、分式方程、根式方程和方程组。
初等代数的基本内容 代数式的运算和方程的求解，其中代数运算的特 点是只进行有限次的运算。 初等代数运算十条规则： 五条基本运算律（加法交换律、加法结合律、乘 法交换律、乘法结合律、分配律）； 两条等式基本性质（等式两边同时加上一个数， 等式不变；等式两边同时乘以一个非零的数，等 式不变）； 三条指数律（同底数幂相乘，底数不变指数相加； 指数的乘方等于底数不变指数相乘；积的乘方等 于乘方的积）。
古代中国和古代希腊数学文明比较
制度背景 研究架构 内容思路 应用指向 奴隶制民 古代希腊 公理系统 主国家 封建制君 古代中国 算法系统 主国家
几何 演绎 证明 数形 归纳 计算 思想性 系统化
实用性 行政化
国际数学联盟与国际数学家大会
国际数学家大会（ICM），1897年第一次开会，
当初是欧洲数学家在瑞士苏黎世开的，现在由国际数学
数学的思考方式
集合与结构的建立与组合有其特有的原则和 方法，这体现为数学的独特思考方式。这些方式 包括： 分 类 化 归 符号化 模型化 类 比
抽象化 最优化
公理化
初等代数学
初等代数是代数学的古典部分，它是随着解 方程与方程组而产生并发展起来的，是研究数字 和文字的代数运算理论和方法的科学，更确切的 说，是研究实数和复数，以及以它们为系数的多 项式的代数运算理论和方法的数学分支学科。
9、勾股：利用勾股定理解决测量计算问题。
中国古代算经十书
《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《张邱建算经》 《五曹算经》《五经算术》《缉古算经》《夏侯阳算经》《缀术》
勾股定理
公元前12世纪，商高发现：“勾广三，股修四，径隅五。”——直 角三角形的三边关系
后人在此基础上研究，正式确立“勾股定理“。 公元前6世纪，毕达哥拉斯发现“毕氏定理”。 圆周率 《周髀算经》、《九章算术》：圆径一而周三——唐〃李淳风：密率 22/7——2000年前晋〃刘歆：“律嘉量斛”圆周率3.1547（歆率）— —东汉〃张衡：3.162；蔡邑：大于25/8——魏晋〃刘徽：（割圆术） 正6、12、24……192边形，得圆周率3.14（157/50），称“徽率”， 后来提出3927/1250=3.1416，正3072边形 ——南北朝〃祖冲之： 3.1415926—3.1415927（密率355/113，约率22/7）……
62 3072边形得到5位精度；Ludolph Van Ceulen用正2 边形得到了35位
精度。用它来计算一个能把太阳系包起来的圆的周长，误差还不到质子直
径的百万分之一。
《几何原本》
从5条公设和5条公理出发，运用逻辑推理证明了465个命题，共13卷， 演绎出整个古典几何体系。 五条公理 1.等于同量的量彼此相等； 2.等量加等量，其和相等； 3.等量减等量，其差相等； 4.彼此能重合的物体是全等的； 5.整体大于部分。 五条公设 1.过两点能作且只能作一直线； 2.线段(有限直线)可以无限地延长； 3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆； 4.凡是直角都相等； 5.同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内 角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。 （近代数学不区分公设，公理，统一称为公理）
16. 这个点（指定义15中提到的那个点）叫做圆心。 17. 圆的直径是任意一条经过圆心的直线在两个方向被圆截得的 线段，且把圆二等分。 18.半圆是直径与被它切割的圆弧所围成的图形，半圆的圆心与 原圆心相同。（暂无注释） 19.直线形是由直线围成的.三边形是由三条直线围成的,四边形是 由四条直线围成的,多边形是由四条以上直线围成的. 20.在三边形中,三条边相等的,叫做等边三角形;只有两条边相等 的,叫做等腰三角形;各边不等的,叫做不等边三角形. 21.此外,在三边形中,有一个角是直角的,叫做直角三角形;有一个 角是钝角的,叫做钝角三角形;各边不等的,叫做不等边三角形. 22.在四边形中,四边相等且四个角是直角的,叫做正方形;角是直 角,但四边不全相等的,叫做长方形;四边相等,但角不是直角的,叫做菱 形;对角相等且对边相等,但边不全相等且角不是直角的,叫做斜方形;其 余的四边形叫做不规则四边形. 23.平行直线是在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线.
《九章算术》
采用问题集的形式，共246个问题，分为九章：
1、方田：土地丈量中的面积计算。
2、粟米：物品交换中的兑换比例。 3、衰分：计工、税收中按等级、比例分配。 4、少广：面积体积中开方、开立方。 5、商功：筑城、开渠中的土方计算。 6、均输：按人口、路途的实物摊派与运输。 7、盈不足：关于依某法“盈”依另法“不足”的数学模型。 8、方程：线性方程组问题。
数学发展的四个高峰——人类文明的重要阶段 第一个高峰，古希腊的演绎数学时期，《几何原本》是杰 出代表。同样，在中国，《九章算术》确定了中国古代数 学的算法体系，是中国古代数学文明的代表。 第二个高峰，牛顿—莱布尼茨的微积分时期，文艺复兴时 期。 第三个高峰，希尔伯特为代表的形式主义公理化时期，19 世纪中叶，理性思维，严密证明成为数学的时尚。
代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析。
希尔伯特的23个问题
第1到第3问题 （1）康托的连续统基数问题。 1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数， 即著名的连续统假设。1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔 证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家 科恩（P.Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而，连续统假设 不能用ZF公理加以证明。在这个意义下，问题已获解决。 （2）算术公理系统的无矛盾性。 欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提 出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性 定理作出否定。根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳 法证明了算术公理系统的无矛盾性。 （3）只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不 可能的。 问题的意思是：存在两个等高等底的四面体，它们不可能分解为有限 个小四面体，使这两组四面体彼此全等德思（M.Dehn）1900年已解决。
第四个高峰，以计算机技术为标志的新书学时期，二战以 后，冯〃诺依曼计算机研制，维纳、仙农的控制论和信息 论。
古希腊为代表的地中海数学文明
19世纪考古发现，人类最早的数学文明出现在古百度文库比伦， 在一块泥板上有下面的数： 119 4601 12709 169 6649 18541
1192 1202 1692 46012 48002 66492 127092 135002 185412 652 722 972
共性——相关性、相容性、大众性。
个性——语言系统、价值标准、发展模式、对人类文明的 独特影响。
数学发展的动力 • 第一动力：解决因社会需要而直接提出 的问题。 • • 第二动力：提供自然现象的合理结构。 第三动力：智力方面的好奇心和对纯思 维的强烈兴趣。
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第四动力：对美的追求。
数学是人类文明的火车头
相互辩论的结果。他们进行学术争论，为了说服对方，便是
用逻辑演绎的方法，从显然成立的公理出发，一步步推理， 直至到达终于使对方信服的某个学术成果。 古代中国数学发展走的与古希腊是不同的方向。春秋战 国时期的思想家本着为“王者统治臣民服务”，以“经纶天 下，治国济民”为最高理想，数学也以解决问题为主，成为 国家管理的工具，走向实用性，忽视理论的系统性。
数学文化漫谈
杭州市普通教育研究室
平国强
什么是数学
数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的，简单地说，是
研究数和形的科学。——《中国大百科全书〃数学》，吴文俊。
这是一个权威的论断，脱胎于马克思和恩格斯关于数学的概括。 目前，更多的数学家认为，现代数学的发展，已经超出了“数” 和“形”的范围，应当包括结构、范畴、模型等更广的对象。
文化及数学文化的自我理解
文化是人类社会历史实践过程中所创造的一切物 质财富和精神财富的总和。——《辞海》
物质层面——人类创造的构成客观世界的所有元 素与积淀。 精神层面——影响人的灵魂的意识形态：社会制 度、组织机构、民族追求、价值观、思维方式、 归属感…… 文化会在人心灵上留下烙印。
数学文化的自我理解
• 数学是人类精神文明的硕果，它不仅反映了智慧的光芒， 更是一种追求真理的精神。 • 数学不仅仅是技术与工具，更是真善美的统一体，因而数 学具有文化的功能和人文的价值。
• 数学是传播思想的基本方式，由于数学具有较高的确定性， 因而数学文化具有相对的稳定性、真理性和连续性。
• 数学具有一般文化的共性和自己的个性
第4到第6问题 （4）两点间以直线为距离最短线问题。 此问题提的一般。满足此性质的几何很多，因而需 要加以某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫 （Pogleov）宣布，在对称距离情况下，问题获解决。 （5）拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。 这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局 部欧氏群都一定是李群。1952年，由格里森 （Gleason）、蒙哥马利（Montgomery）、齐宾 （Zippin）共同解决。1953年，日本的山迈英彦已得到 完全肯定的结果。 （6）对数学起重要作用的物理学的公理化。 1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。 后来，在量子力学、量子场论方面取得成功。但对物理 学各个分支能否全盘公理化，很多人有怀疑。
23条定义 1. 点是没有部分的东西 2.线只有长度而没有宽度 3.一线的两端是点 4.直线是它上面的点一样地平放着的线 5.面只有长度和宽度 6.面的边缘是线 7.平面是它上面的线一样地平放着的面 8. 平面角是在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度 9. 当包含角的两条线都是直线时，这个角叫做直线角. 10. 当一条直线和另一条直线交成邻角彼此相等时，这些角每一个被 叫做直角，而且称这一条直线垂直于另一条直线。 11. 大于直角的角称为钝角。 12. 小于直角的角称为锐角 13. 边界是物体的边缘 14. 图形是一个边界或者几个边界所围成的 15. 圆：由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条线上任何一 个点所连成的线段都相等。
联盟负责，每四年开一次会议。
2002年8月20日，国际数学 家大会在北京召开，是第一次在 发展中国家开，表明中国数学研
究方面的成果。
1900年，第二届国际数学家大会在巴黎召开，庞加莱
任大会主席，希尔伯特（38岁，格丁根大学教授）作了
《数学问题》的大会演讲报告，他提出了20世纪数学发展 要研究解决的23个数学问题，它影响了整个20世纪的数 学发展。 的23个问题分属四大块：第1到第6问题是数学基础 问题；第7到第12问题是数论问题；第13到第18问题属于