二阶行列式

若 D = Dx = 0，则必须再考虑 D y 是 否为零，由此判断方程组解的情况。 否为零，由此判断方程组解的情况。
的二元一次方程组， 例2：解关于 的二元一次方程组，并对解的情 ：解关于x,y的二元一次方程组 况进行讨论： 况进行讨论： mx + 4 y = m + 2 x + my = m m 4 2 = m − 4 = (m + 2)(m − 2) 解： D = 1 m
行 列 式
问题提纲
1、如何引出二阶行列式？ 、如何引出二阶行列式？ 2、二阶行列式是什么？ 、二阶行列式是什么？ 3、如何计算二阶行列式的值？ 、如何计算二阶行列式的值？ 4、二阶行列式在解决二元一次线性方程组中的作用？ 、二阶行列式在解决二元一次线性方程组中的作用？
一、引入： 引入：
a1 x + b1 y = c1 其中 a1b2 − a2b1 ≠ 0 ） （ 给出一个二元一次方程组： ） 给出一个二元一次方程组： A） （ a2 x + b2 y = c2
− a2b1
二、定义概念 ：二阶行列式
（1）定wenku.baidu.com： ）定义：
a1
b1 b2
称之为行列式
a2
因为它有两行两列， 因为它有两行两列，所以称之为二阶行列式 且规定
a1 a2
b1 b2
= a1b2 − a2b1
其中 a1b2 − a2b1 叫做行列式的展开式； 叫做行列式的展开式； 行列式的展开式
a1 , a2 , b1 , b2 叫做行列式的元素
由以上讨论，我们得到结论： 由以上讨论，我们得到结论：
时方程组（ ）有唯一解； 当 D ≠ 0 时方程组（A）有唯一解； 当 D = 0时且 D x , D y 中至少有一个 不为零，则方程组无解； 不为零，则方程组无解； 方程组有无穷解。 当D= Dx = Dy = 0 时，方程组有无穷解。
方程组（ ） 方程组（A）有解情况主要取决于 D，那么 D ≠ 0是方程组 有唯一解的 是方程组A有唯一解的 有唯一解的— ， ———条件 。 条件 把Ｄ叫做方程组解的判别式。 叫做方程组解的判别式。 例２、判断二元一次方程组解的情况： 判断二元一次方程组解的情况：
*二阶行列式就是表示四个数或式的特定算式的一种记号 二阶行列式就是表示四个数或式的特定算式的一种记号 （2）二阶行列式的表示符号：一般用大写字母表示 ）二阶行列式的表示符号：
（2）二阶行列式的运算规则 ）二阶行列式的运算规则 主对角线） 我们把 a1 , b2 （主对角线）和 a2 , b1 （副对角线）分别用 副对角线） 两条对角线连接 用主对角线上的两个数的乘积减去副对角线上的两个数的乘积 即为行列式的值。 即为行列式的值。 利用对角线把二阶行列式写成它的展开式， 利用对角线把二阶行列式写成它的展开式，这种方法叫做 二阶行列式展开的对角线法则。 二阶行列式展开的对角线法则。
由此我们得到： 由此我们得到： （1）由二阶行列式的计算法则，任何一个二阶行列式都可以表示成 ）由二阶行列式的计算法则， 乘积差的形式， 乘积差的形式，进而计算出它的值 （2）由二阶行列式的计算法则，任何两个乘积差的形式都可以表示 ）由二阶行列式的计算法则， 成一个二阶行列式。 成一个二阶行列式。
三、习题讲练： 习题讲练：
(3)当m = 2时，D = D x = D y = 0, 原方程组有无穷多解， x + 2y = 2 这时原方程组为{ x + 2y = 2 令 = t(t ∈R), 则原 程 的 可 示为 方 组 解 表 x
x=t { 2 − t (t ∈R) y= 2
解本题要注意的几点： 解本题要注意的几点： 注意讨论的条理性： 注意讨论的条理性：（１）D ≠ 0（ m≠ ±2 从而得到唯一解 ； （２）再分别讨论
4 x − 3 y = 5 （1） 8 x + 6 y = 22
4 x + 6 y = 3 （2） 6 x + 9 y = 5
3x − 2 y = 6 （3） 2 x − 3 y = 2 注意： 则方程组无解， 注意：若 D = 0, Dx ≠ 0则方程组无解， 不必再考虑 D y 是否为零 。
（三）作为判别式的二阶行列式
讨论二元一次方程组的解的情况
给出一个二元一次方程组： 给出一个二元一次方程组：
D • x = Dx a1 x + b1 y = c1 （A） ） 应转化为方程组 D • y = D y a 2 x + b2 y = c 2
x = (i )当D ≠ 0时，方程组（ A）有唯一解 y = Dx D Dy D
Dx = m+2 m 4 m = (m + 2)m − 4m = m(m − 2)
Dy =
m m+2 1 m
= m 2 − (m + 2) = (m + 1)(m − 2)
(1)当m ≠ ±2时，D ≠ 0，原方程组有唯一解 m x= 先讨论系数行列式不为0的情况 的情况， 先讨论系数行列式不为 的情况， m+2 { 再讨论系数行列式为0的情况 再讨论系数行列式为 的情况 m +1 y= m+2 (2)当m = −2时，D = 0，D x = 8 ≠ 0, 原方程组无解。
2
（2）x 2 + 4 x + 1 ）
(1)b − 4ac = b × b − 4a × c =
2
b 4a c b
(2) x + 4 x + 1 = x × x − (4 x + 1) × (−1) =
x −1
4x +1 x
讨论：你还能有哪些不同的写法？ 讨论：你还能有哪些不同的写法？
结论：式子的分解不唯一，即使分解成相同的形式， 结论：式子的分解不唯一，即使分解成相同的形式， 行列式的写法也可以有不同的组合。 行列式的写法也可以有不同的组合。
D = 0（m=2,m=-2)的两种情况 . 的两种情况 注意当方程组有无穷解时， 注意当方程组有无穷解时，正确书写解 的一般表达式。 的一般表达式。
小结
（1）理解行列式的意义，行列式表示一个特定算式下的一个数 ）理解行列式的意义， 或式子 （2）明确行列式展开的对角线法则 ） （3）掌握行列式的计算及把一个式子表示成行列式的形式 ）
行列式应用于解二元一次方程组
• 基本步骤：
(二）讨论二元一次方程组的解的情况 二
例1：解下列二元一次方程组： ：解下列二元一次方程组： （1） ）
2 x + 3 y = 1 2 x + 3 y = 2
2x + 3 y − 1 = 0 （2） 4x + 6 y − 2 = 0
问题（1） 问题（1）请说出两个方程组的解的情况 （2）请考察各个行列式的情况 ） 注意:1、正确写出行列式 、 注意 、正确写出行列式D、Dx , Dy 2、把方程组写成标准形式 、
问题： 方程组（ ） 的情况如何? 问题：当 D = 0 方程组（A）的解 的情况如何
（ii)在D=0的情况下讨论转化的方 在 的情况下讨论转化的方 D • x = Dx 解的情况。 程组 解的情况。 D • y = Dy （1）如果 Dx , Dy 中至少有一个不为 ） 则无论x取何值 取何值， 零，不妨设 Dx ≠ 0 则无论 取何值， 都不成立， 方程 D • x = D x 都不成立，即x无解 无解 从而方程组(A) 无解。 无解。 从而方程组 （2）如果 D =Dy =0 显然在方程 D • x = Dx ） x 从而x可取任意实数 中，由于D = Dx = 0 从而 可取任意实数 再由 x的值代入方程求出相应的 y值，所 的值代入方程求出相应的 值 以方程组有无穷解。 以方程组有无穷解。
用加减消元法解这个方程组 解得
c1b2 − c2b1 x = a b − a b 1 2 2 1 当 a1b2 − a2b1 ≠ 0时方程组有唯一解 y = a1c2 − a2 c1 a1b2 − a2b1 观察方程组解的表达式， 观察方程组解的表达式，
发现解的分子分母都是两数乘积的差。如分母：a 发现解的分子分母都是两数乘积的差。如分母： 1b2
例1：展开并化简下列行列式： ：展开并化简下列行列式： （1） ）
5 1 8 2
1 5 （2） 8 2
cos θ （3） ） sin θ
sin θ − cos θ
（4） ）
a −1 1
−1 a2 + a + 1
例2：将下列各式用行列式表示： ：将下列各式用行列式表示： （1）b 2 − 4ac ） 解：