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假设检验
一、假设检验的基本原理 二、假设检验的相关概念 三、假设检验的一般步骤 四、典型例题 五、小结
一、假设检验的基本原理
在总体的分布函数完全未知或只知其形式、 但不知其参数的情况下, 为了推断总体的某些性 质, 提出某些关于总体的假设.
例如, 提出总体服从泊松分布的假设;
又如, 对于正态总体提出数学期望等于 0 的
D 0 D 0 D 0
t t1- (n 1) t t1- (n 1) t t1-/ 2 (n 1)
例1 某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的 平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今从一批产 品中随机的抽取15段进行测量, 其结果如下: 10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2
化? ( 0.05) 解 依题意 X ~ N (, 2 ), , 2均为未知,
要检验假设 H0 : 10.5, H1 : 10.5, n 15, x 10.48, 0.05, s 0.237,
t x 0 10.48 10.5 0.327,
s / n 0.237 / 15
则 x 0 10.48 10.5 0.516, / n 0.15/ 15
查表得 z1-0.05 1.645,
于是
x 0 / n
0.516 z0.95 1.645,
故接受 H0, 认为该机工作正常.
例2 如果在例1中只假定切割的长度服从正态分 布, 问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变
1. 根据实际问题的要求, 提出原假设 H0 及备择 假设 H1 ; 2. 确定检验统计量以及拒绝域形式;
按 P{ H0 为真拒绝 H0 } 求出拒绝域;
3. 计算样本观察值对应的统计量值，若落在拒绝域则拒绝H0， 否则接受H0.
正态总体均值、方差的检验法见下表
原假设 H 0
0
1
0 0
F
S12 S22
t D0 SD / n
备择假设 H1
拒绝域
2
2 0
2
2 0
2
2 0
2 1
2 2
2 1
2 2
2 1
2 2
2
2 1-
(n
1)
2 2 (n 1)
2
2 1-
/
2
(n
1)或
2 2 / 2 (n 1)
F F1- (n1 1, n2 1) F F (n1 1, n2 1) F F1- / 2 (n1 1, n2 1)或 F F/ 2 (n1 1, n2 1)
解 依题意需检验假设
H0 : 0 225, H1 : 225, 取 0.05, n 16, x 241.5, s 98.7259,
称为右边检验.
形如 H0 : 0 , H1 : 0 的假设检验
称为左边检验.
右边检验与左边检验统称为单边检验.
5. 拒绝域与临界点
当检验统计量取某个区域C中的值时, 我们 拒绝原假设H0, 则称区域C为拒绝域, 拒绝域的边 界点称为临界点.
三、假设检验的一般步骤
已知显著性水平 以及样本容量 n ;
二、假设检验的相关概念
1. 两类错误
(1) 当原假设 H0 真,, 而作出了不接受 H0 的判 断, 称做第一类错误, 又叫弃真错误, (2) 当原假设 H0 不真,, 而作出了接受 H0 的判 断, 称做第二类错误, 又叫取伪错误,
2. 显著性水平
, 由 P{ H0 为真拒绝 H0 }
3. 检验统计量
t分布表
查表得
t1-/2 (n 1) t0.975(14) 2.1448 t 0.327,
故接受 H0, 认为金属棒的平均长度无显著变化.
例3 某种电子元件的寿命X(以小时计)服从正态
分布, , 2 均为未知. 现测得16只元件的寿命如
下: 159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170 问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时)?
0 0 0
t t1- (n1 n2 2) t t1- (n1 n2 2) t t1-/ 2 (n1 n2 1)
原假设H0 检验统计量
2
2 0
5
2
2 0
2
2 0
(未知)
2
(n
1)S
2 0
2
6 7
2 1
2 2
2 1
2 2
2 1
2 2
(1
,
未
2
知)
D 0 D 0 D 0 (成对数据)
10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7 假定切割的长度服从正态分布, 且标准差没有变 化, 试问该机工作是否正常? ( 0.1)
解 因为 X ~ N(, 2 ), 0.15, 要检验假设
H0 : 10.5, H1 : 10.5,
n 15, x 10.48, /2 0.05,
( 2已知)
0
2
0 0
Байду номын сангаас
( 2未知)
1 2
3
1 2 1 2
(
2 1
,
22已知)
检验统计量
Z X 0 / n
t X 0 S/ n
Z X Y
2 1
2 2
n1 n2
1 2
t X Y
4
1 2
1 2
(
2 1
2 2
2未知)
Sw
11 n1 n2
S
2 w
(n1
1)S12 (n2 n1 n2 2
2)S
2 2
备择假设 H1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
拒绝域
z z1- z z1- z z1- / 2
t t1- (n 1) t t1- (n 1) t t1-/ 2 (n 1)
z z1- z z1- z z1- / 2
统计量 Z X 0 称为检验统计量. / n
4. 原假设与备择假设
假设检验问题通常叙述为: 在显著性水平下, 检验假设 H0 : 0, H1 : 0.
或称为“在显著性水平下,针对 H1检验 H0”.
H0称为原假设或零假设, H1 称为备择假设.
右边检验与左边检验
形如 H0 : 0 , H1 : 0 的假设检验
假设等. 假设检验就是根据样本对所提出的假设作
出判断: 是接受, 还是拒绝.
假设检验问题是统计推断的另一类重要问题.
如何利用样本值对一个具体的假设进行检验? 通常借助于直观分析和理
论分析相结合的做法,其基本原 理就是人们在实际问题中经常 采用的所谓实际推断原理:“一 个小概率事件在一次试验中几 乎是不可能发生的”.
一、假设检验的基本原理 二、假设检验的相关概念 三、假设检验的一般步骤 四、典型例题 五、小结
一、假设检验的基本原理
在总体的分布函数完全未知或只知其形式、 但不知其参数的情况下, 为了推断总体的某些性 质, 提出某些关于总体的假设.
例如, 提出总体服从泊松分布的假设;
又如, 对于正态总体提出数学期望等于 0 的
D 0 D 0 D 0
t t1- (n 1) t t1- (n 1) t t1-/ 2 (n 1)
例1 某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的 平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今从一批产 品中随机的抽取15段进行测量, 其结果如下: 10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2
化? ( 0.05) 解 依题意 X ~ N (, 2 ), , 2均为未知,
要检验假设 H0 : 10.5, H1 : 10.5, n 15, x 10.48, 0.05, s 0.237,
t x 0 10.48 10.5 0.327,
s / n 0.237 / 15
则 x 0 10.48 10.5 0.516, / n 0.15/ 15
查表得 z1-0.05 1.645,
于是
x 0 / n
0.516 z0.95 1.645,
故接受 H0, 认为该机工作正常.
例2 如果在例1中只假定切割的长度服从正态分 布, 问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变
1. 根据实际问题的要求, 提出原假设 H0 及备择 假设 H1 ; 2. 确定检验统计量以及拒绝域形式;
按 P{ H0 为真拒绝 H0 } 求出拒绝域;
3. 计算样本观察值对应的统计量值，若落在拒绝域则拒绝H0， 否则接受H0.
正态总体均值、方差的检验法见下表
原假设 H 0
0
1
0 0
F
S12 S22
t D0 SD / n
备择假设 H1
拒绝域
2
2 0
2
2 0
2
2 0
2 1
2 2
2 1
2 2
2 1
2 2
2
2 1-
(n
1)
2 2 (n 1)
2
2 1-
/
2
(n
1)或
2 2 / 2 (n 1)
F F1- (n1 1, n2 1) F F (n1 1, n2 1) F F1- / 2 (n1 1, n2 1)或 F F/ 2 (n1 1, n2 1)
解 依题意需检验假设
H0 : 0 225, H1 : 225, 取 0.05, n 16, x 241.5, s 98.7259,
称为右边检验.
形如 H0 : 0 , H1 : 0 的假设检验
称为左边检验.
右边检验与左边检验统称为单边检验.
5. 拒绝域与临界点
当检验统计量取某个区域C中的值时, 我们 拒绝原假设H0, 则称区域C为拒绝域, 拒绝域的边 界点称为临界点.
三、假设检验的一般步骤
已知显著性水平 以及样本容量 n ;
二、假设检验的相关概念
1. 两类错误
(1) 当原假设 H0 真,, 而作出了不接受 H0 的判 断, 称做第一类错误, 又叫弃真错误, (2) 当原假设 H0 不真,, 而作出了接受 H0 的判 断, 称做第二类错误, 又叫取伪错误,
2. 显著性水平
, 由 P{ H0 为真拒绝 H0 }
3. 检验统计量
t分布表
查表得
t1-/2 (n 1) t0.975(14) 2.1448 t 0.327,
故接受 H0, 认为金属棒的平均长度无显著变化.
例3 某种电子元件的寿命X(以小时计)服从正态
分布, , 2 均为未知. 现测得16只元件的寿命如
下: 159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170 问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时)?
0 0 0
t t1- (n1 n2 2) t t1- (n1 n2 2) t t1-/ 2 (n1 n2 1)
原假设H0 检验统计量
2
2 0
5
2
2 0
2
2 0
(未知)
2
(n
1)S
2 0
2
6 7
2 1
2 2
2 1
2 2
2 1
2 2
(1
,
未
2
知)
D 0 D 0 D 0 (成对数据)
10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7 假定切割的长度服从正态分布, 且标准差没有变 化, 试问该机工作是否正常? ( 0.1)
解 因为 X ~ N(, 2 ), 0.15, 要检验假设
H0 : 10.5, H1 : 10.5,
n 15, x 10.48, /2 0.05,
( 2已知)
0
2
0 0
Байду номын сангаас
( 2未知)
1 2
3
1 2 1 2
(
2 1
,
22已知)
检验统计量
Z X 0 / n
t X 0 S/ n
Z X Y
2 1
2 2
n1 n2
1 2
t X Y
4
1 2
1 2
(
2 1
2 2
2未知)
Sw
11 n1 n2
S
2 w
(n1
1)S12 (n2 n1 n2 2
2)S
2 2
备择假设 H1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
拒绝域
z z1- z z1- z z1- / 2
t t1- (n 1) t t1- (n 1) t t1-/ 2 (n 1)
z z1- z z1- z z1- / 2
统计量 Z X 0 称为检验统计量. / n
4. 原假设与备择假设
假设检验问题通常叙述为: 在显著性水平下, 检验假设 H0 : 0, H1 : 0.
或称为“在显著性水平下,针对 H1检验 H0”.
H0称为原假设或零假设, H1 称为备择假设.
右边检验与左边检验
形如 H0 : 0 , H1 : 0 的假设检验
假设等. 假设检验就是根据样本对所提出的假设作
出判断: 是接受, 还是拒绝.
假设检验问题是统计推断的另一类重要问题.
如何利用样本值对一个具体的假设进行检验? 通常借助于直观分析和理
论分析相结合的做法,其基本原 理就是人们在实际问题中经常 采用的所谓实际推断原理:“一 个小概率事件在一次试验中几 乎是不可能发生的”.