电路基础(第4版_王慧玲)教学资源 4第3章 正弦交流电路

解: 额定电压均为有效值,据 Um 2U
故照明电的最大值为
U m = 2 ×220=311V
动力电的最大值为
U m = 2 ×380=537V
例3-2 一正弦交流电，最大值为311V，t=0时的瞬 时值为269V，频率为50Hz，写出其解析式。
解: 设正弦电压的解析式为 u U m sin(t )
W=75×20=1500W=1.5KWh=1.5 度
3-2-2 纯电感电路
1.电感的概念
磁链
定义: L N L
ii 根据电磁感应定律
磁链单位为韦伯（Wb） 电流单位为安培（A） 电感单位为亨利（H）
u L di dt
电感两端的电压与通过该电 感中电流的变化率成正比。
uN +
i
ψL=N
L
2.纯电感电路的电压、电流关系
模
幅角
▪ 极坐标形式A r
在电路分析时常用代数形式、极坐标形式
a 表示实部，b 表示虚部，r 表示复数的模， 表
示复数的幅角，它们之间的关系如下：
A a jb
r a2 b2
arctanb
a
a r cos
A r
b r sin
代数形式和极坐标形式间的互换公式
2.复数的运算
运算复习
2. 同频率的正弦量可以比较相位差。
3. 几个重要关系
f 1 T
2 2 f T
Im 2I
4.正弦量可以用解析式（瞬时值）、波形图、相量、
相量图四种表达方式。对于同频率的正弦量用相量
表示后可以应用复数计算方法对其进行计算。
3-2 单一参数正弦交流电路
教学内容: 电阻R、电感L、电容C元件的电压电流关系，
教学重点和难点: 重点：正弦量的三要素、相位差和有效值概念；
角频率与频率的关系、有效值与最大值的关系。 难点：有效值、相量概念的理解。
3-1 正弦交流电的表示方法
3-1-1 正弦交流电的瞬时值表示
i Im sin t
i 波形图 I m
t
特征量:
I m ： 电流幅值（最大值）
： 角频率（弧度/秒）
求 u3=?
+ u3 -
+ u1 -
解: 由KVL可得
- u2 +
u1 + u2- u3 =0，或u3= u1 + u2
附加题电路图
而 U1 100V 10V U2 1690 16 jV
则有 U3 U1 U2
10 16 j
18.8757.99V
所以 u3 18.87 2 sin(t 57.99)V
相位差举例：
i
u
t
u i
如： u Um sin t u i Im sin t i
t u t i u i
两个正弦信号的相位关系
▪ 若 u i 0,
称 u 超前 i 角；
u u,i
▪ 若 u i 0,
称 u 滞后 i 角；
u,i i u
i
o
t
o
t
波形图
两个正弦信号的相位关系
元件的功率和能量，电感、电容的连接。 教学要求:
1.掌握单一元件的电压电流关系。 2.深刻理解有功功率和无功功率的概念。 教学重点和难点: 重点：单一元件的电压电流关系和相量形式。 难点：电阻R、电感L、电容C元件电压电流关 系的分析。
3-2 单一参数正弦交流电路
3-2-1 纯电阻电路
i
1.电压与电流关系
3-1-2 正弦量的相量表示法
▪ 解析式 i Im sint i
i
▪ 波形图
t
▪ 相量
重点
因前两种不便于运算，所以引出相量表示法。
准备 知识
复数及其运算
1.复数的四种表示形式 实部
概念复习
虚部
▪ 代数形式 A a jb
▪ 三角形式A r cos jr sin
▪ 指数形式 A re j
（1）复数的加减运算
设: A1 a1 jb1 r11 A2 a2 jb2 r2 2
则 A1 A2 (a1 a2 ) j(b1 b2 )
（2）复数的乘除运算
设: A1 r11 A2 r22
则 A1 A2 r1 r21 2
A1 A2
r1 r2
1 2
相量表示法：用复数表示正弦交流电的方法。
本章教学内容
正弦交流电的表示方法，纯电阻、纯 电感、纯电容上的电压、电流关系，用相 量法分析正弦交流电路及功率因数的提高。
3-1 正弦交流电的表示方法
教学内容: 正弦量的振幅和有效值、频率和周期、初相
位和相位差等基本概念。正弦量的相量表示及 复数运算。 教学要求:
1.掌握正弦量的三要素等基本概念。 2.理解正弦量的相量表示的意义。 3.熟练掌握复数运算的基本规则，并对相量 进行计算。
3.初相位与相位差
t
▪相位：正弦波的相位（t ）
▪初相位：t = 0 时的相位，称为初相位
▪相位差 ：两个同频率 正弦量间的初相位之差。
说明：Im反映了正弦量变化的幅度，ω反映了正弦 量变化的快慢,ψ反映了正弦量在t =0时的状态，要
完整的确定一个正弦量，必须知道它的Im 、ω、ψ
，称这三个量为正弦量的三要素。
相量的表达：
模用有效值时, I I
相量图
模用最大值时, Im Im
相量
如: i1 I1m sin(t 1) I1 2 sin(t 1)
I1m 或 I1
i2 I2m sin(t 2) I2 2 sin(t 2)
I2m 或 I2
u Um sin(t u ) U1 2 sin(t u )
Um 或 U
正弦量的和的相量，等于正
▪同频率正弦量的运 算
弦量的相量和。
例3-5 已知 i1 3 2 sin( t 20 )A
i2 5 2 sin(t 70 )A
若：i i1 i2 求：I ? i ?
解: 用相量计算，I1 320A I2 5 70A
I I1 I2
I 1
320 5 70
： 初相
1.幅值、有效值与平均值 Im
t
▪幅值：交流电的最大瞬时值称为最大值或幅值，如
Im
▪有效值：定义:
热效应相等 推出:
T i2R dt I 2RT 0
I 1 T i2dt
T0
交流
直流
当 i Im sin t 时，可得
I
Im 2
0.707 Im
最大值与有效值关系
▪平均值：正弦量的平均值是绝对平均值而不是数学 平均值，由数学推导可以得到
T0
T0
平均功率计算式 P UI RI 2 U 2
R
附加题 一个标称值为“220V,75W”的电烙铁， 它的电压为 ，试求它的电流和功率，并计算它 使用20小时所耗电能的度数。
解: 电流的有效值为
I P 75 0.34A U 220
因所加电压即为额定电压，功率为75W，
所以 20小时所耗电能为
第3章 正弦交流电路
章前絮语
麦金西：时间是世界上一切成就的土壤。 时间给空想者痛苦，给创造者幸福。
高尔基：必须记住我们学习的时间是有限 的。时间有限，不只是由于人生短促，更由 于人事纷繁。我们应该力求把我们所有的时 间用去做最有益的事情。
老师说：珍惜时间可以使 生命变得更有价值。 这里要讲的是正弦交流电路。尼亚加拉水力发电站
三者间的关系: f 1 T
2 2 f
T
关于单位：
★国际单位制（SI）中，周期的单位为秒（s）； 频率的单位为1／秒，又称为赫兹（Hz）； 角频率的单位为弧度/秒(rad/s)。
★单位换算：
1s 103ms, 1s 106 s, 1s 109ns
1GHz 109 Hz, 1MHz 106 Hz, 1kHz 103Hz
求二者的相位差，并指出二者的关系。
解: 相位差 12=- 90°-150°= -240° 由于 12 180 ，故 12=-240 °+360 °=120°
所以u 1 比u 2 超前120°。 注意：当两个同频率正弦量的计时起点改变时， 它们的初相跟着改变，初始值也改变，但是两者 的相位差保持不变。即相位差与计时起点的选择 无关。习惯上，相位差的绝对值规定不超过π。
u
R
u Ri
设: i I 2 sin(t i ) I I i U U u
则 u Ri RI 2 sin(t i ) U 2 sin(t u )
比较u、i：频率相同、相位相同、有效值关系 U=RI ▪ 得相量关系U RI
ui u
i
0
i +u-
t
I
相量图
U
T
T
2
2
电阻元件的关联参考方向、波形图和相量图
相量符号 U、I 包含幅度与相位信息。
▪ 相量图 将同频率正弦量的相量画在复平面上 所得的图叫做相量图。
例3-4 试写出下列正弦量的相量并作出相量图。
i1 50
2 sin(100t )A
6
u1 100
2 sin(100t )V
3
解:
U1
100
3
V
I1
50
6
A
U 1
I
31
0
6
相量图
因为 ω=2πf =2π×50=314 rad/s 又已知t =0时， u（0）=269V 和Um=311V 即 269=311sinψ， sinψ=0.866 所以 ψ=60°或ψ=120°
故解析式为 u 311sin( 314t 60 )V
或 u 311sin( 314t 120 )V
例 3-3 已知二正弦电压 u1 141 sin(314t 90)V u2 311 sin(314t 150 )V
注意 ：
1. 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。
2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上，
不同频率不行。
3. 在符号使用上要遵循规定： 瞬时值 --- 小写u、i
有效值 --- 大写U、I
最大值 --- 大写+下标 U m、I m
相量 --- 大写 + 点 U、I
小结: 1. 正弦量的三要素可以唯一确定一个正弦量。
无功功率计算式
QL
UI
I2XL
U2 XL
无功功率单位 乏尔（Var）
交换能量过程分析 p ui UI sin 2t
u
i
t
i
i
i
i
u uuu
P
可逆的
+ P <0
+ P <0
t
P >0
P >0
能量转换 过程
储存 释放 能量 能量
I av
2
Im
0.637I m
0.9I
平均值与最大值和有效值的关系
同理，对于正弦交流电压
U
Um 2
0.707 U mபைடு நூலகம்
U av
2
Um
0.637U m
0.9U
i
2.周期与频率
t
T
几种描述：
▪周期 T：变化一周所需的时间 单位：秒(s)…
▪频率 f：每秒变化的次数 单位：赫兹(Hz) ...
▪角频率ω：每秒变化的弧度 单位：弧度/秒(rad/s)
电感电压的相量表达式还可写为 U jX L I
3.纯电感电路的功率 ▪ 瞬时功率
设 i 0
p ui
p u,i
u
p
QL
i
+
+
2UI sin(t ) sint
0
2
-
t -
UI sin 2t
▪ 平均功率或有功功率 P=0 T T T T
44 4 4
▪ 无功功率QL
用无功功率QL衡量电感元件与外界交换能量的规模，即
有效值关系 U LI
▪得相量关系 U jLI
电压超前电流90° U
关于电感: U jLI
u I
i
▪ 感抗 XL=ωL=2πfL
感抗XL的单位为欧姆（Ω）。XL与ω成正比，频率 愈高，XL愈大，在一定电压下，I愈小。
在直流情况下，ω＝0，XL=0，电感相当于短路； 在交流电路中电感元件具有通低频阻高频的特性。
20º
0
-39.03º
3cos20 j3sin 20 5cos(70) j5sin(70) -70º
4.529 j3.672
5.83 39.03A
I
所以 i(t) 5.83 2 sin(t 39.03)A
I
2
附加题 图示交流电路中某一回路，
u1 10 2 sin tV
u2 16 2 sin( t 90 )V
i
设: i I 2 sin(t i )
u L di dt
u
L
则 u L d [I 2 sin(t i )]
dt
LI 2 cos(t i )
LI 2 sin(t i +90?° ) I I i
U 2 sin(t u )
U U u
比较u、i：频率相同、相位差、ui u i 90
▪ 若 u i 0,
称 u 与 i 同相；
u u,i
i
▪ 若 u i 180 ,
称 u 与 i 反相；
u,i u i
o
t
o
t
波形图
两个正弦信号的相位关系
▪
若
u
i
u,i
2
，
称
u与
i 正交。
u i
o
t
波形图
例3-1 照明电源的额定电压为220V,动力电源的额 定电压为380V,问它们的最大值各为多少?
2.纯电阻电路的功率 ▪ 瞬时功率
p u, i p
p ui
P
I 2 sintU 2 sint
Pm=UmIm u
P=Pm/2=UI
2UI sin 2t
0
i
t
UI UI cos 2t
T
T
▪ 平均功率
2
2
瞬时功率在一个周期内的平均值，称为平均功率，即
P 1 T p(t) dt 1 T (UI UI cos2t)dt UI