第三章 力学量的算符.

上面的第四式称为 Jacobi 恒等式。
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（7）逆算符
1. 定义: 设Ôψ= φ, 能够唯一的解出ψ, 则可定义
算符Ô之逆Ô-1 为:Ô-1 φ = ψ
并不是所有算符都存 在逆算符,例如投影 算符就不存在逆.
2.性质 I: 若算符Ô之逆Ô-1存在,则 Ô Ô-1 = Ô-1 Ô = I , [Ô , Ô-1] = 0 证: ψ=Ô-1φ=Ô-1(Ôψ)=Ô-1Ôψ 因为ψ是任意函数,所以Ô-1Ô=I成立. 同理,ÔÔ-1=I 亦成立.
问题：本征值、本征态、本征方程
§3-3
算符的运算规则
线性厄米算符
满足如下运算规律的 算符 Ô 称为线性算符
（1）线性算符
ห้องสมุดไป่ตู้
Ô(c1ψ1+c2ψ2)= c1Ôψ1+c2Ôψ2 其中c1, c2是任意复常数， ψ1, ψ1是任意两个波函数。
动量算符
例如：
单位算符
ˆ i p ˆ I
是线性算符。
* d ( )

满足上式的函数系 φn 或φλ 称为正交归一（函数）系。
（4）简并情况
如果 F 的本征值Fn是f度简并的，则对应Fn 有f个本征函数：φn1 ,φn2 , ..., φnf
满足本征方程：
ˆ F F ni n ni
f
i 1,2,, f
一般说来，这些函数 并不一定正交。
证明
由这 f 个φn i 线性组合成 f 个新函数 ψn j 可以满足正交归一化条件：
nj Ajini
i 1
j 1,2,, f

nj
* nj d A ji A ji ni * ni d jj
i 1 i 1
开方算符、取复共轭就不是线性算符。 注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠 加原理的反映。
（2）算符相等
若两个算符 Ô、Û对体系的任何波函数
ψ的运算结果都相 同，即Ôψ= Ûψ， 则算符Ô 和算符Û 相等记为Ô = Û。
（3）算符之和
表明 ˆ 等于 Hamilton 算符H ˆ和 体系动能算符T ˆ之和。 势能算符V ˆ T ˆ V ˆ H
§3-4 厄密算符本征函数的正交性和完全性
（1）正交性 定理III： 厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交 证：
设
ˆ F F n n n
两边右乘 φn 后积分
ˆ )* F * (F m m m
ˆ F 并设积分 * d 存在 F m m m n n
（4）算符之积
一般来说算符之积不满足交换律，即 ÔÛ ≠ ÛÔ 这是算符与通常数运算规则的唯一不同之处。 若Ô (Û ψ ) = (ÔÛ) ψ =Êψ
则ÔÛ = Ê 其中ψ是任意波函数。
（5）对易关系
若ÔÛ ≠ ÛÔ，
例如：算符 x ˆ p i x x 不对易。
则称Ô 与 Û 不对易。

和 是两个任意函数。
可以证明： ˆ ˆ ) BA ˆˆ ( AB
例：
证：
x
x
dx * x
x


利用波函数标准条件: 当|x|→∞ 时ψ,→ 0。



dx


* * |
dx * x


dx * x
ˆ F d * F F d n * F n n n n n
F 必为实， 所以 Fn 是实数。
量子力学基本假定III （问题？）
(I) 量子力学中的力学量用线性厄密算符表示。
(II) 测量力学量 F 时所有可能出现的值，都对应于 线性厄密算符 F 的本征值 Fn （即测量值是本征值之 一），该本征值由力学量算符 F的本征方程给出
证：
(1)
ˆ x x( i x ) ix x xp
ˆx p ˆxx xp 而 ˆx p ˆ x x） i （xp
ˆ x x ( i x ) x i ix x (2) p
显然二者结果不相等
因为 所以
是任意波函数， ˆx p ˆ x x i xp
(12)
厄米算符
ˆ d (O ˆ ) * d * O 或 ˆ O ˆ O
满足如右关系的算符
称为厄密算符.
性质 I:
两个厄密算符之和
仍是厄密算符。
Ô+=Ô,
Û+ = Û
(Ô +Û)+ = Ô + + Û+ = (Ô +Û) 问题：厄米算符
性质 II: 两个厄密算符之积一般 不是厄密算符, 除非二算符对易。 因为 (Ô Û)+ = Û+ Ô + = Û Ô ≠ Ô Û 仅当 [Ô , Û] = 0 成立时, (Ô Û)+ = Ô Û 才成立。
定理I：体系任何状态ψ下，其厄密算符的平
均值必为实数。
证：
F
ˆ d * F
ˆ ) * d ( F
ˆ ]* [ d * F
F*
逆定理：在任何状态下，平均值均为 实数的算符必为厄密算符。
定理II：厄密算符的本征值必为实。
证 当体系处于 F 的本征态ψn 时，则每次测量 结果都是 Fn 。 由 本征方程可以看出，在 ψn（设已归一）态下




dx * ( x ) 0
~ x
由于ψ、φ 是任意波 函数, 所以
( )0
x
~ x
~ x

x
同理可证:
ˆx p ˆx p
(11)厄密共轭算符
算符 Ô 之厄密共轭算符 Ô+ 定义:
ˆ d (O ˆ ) * d * O
在势场中 V ( r ) 的粒子 H T V
2 ˆ T ˆ V (r ) 2 V (r ) H 2m
问题：算符、动量算符、 Hamilton算符
§3-2
算符的本征值和本征函数
ˆ F F n n n
其中Fn, ψn 分别称为算符 F的本征值和相应的本征态， 上式即是算符 F 的本征方程。求解时，ψ 作为力学量 的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求 即波函数的标准条件。
f
f
j , j 1,2,, f
ˆ F ˆ F A ji ni nj
f
ˆ A ji F ni
i 1
f
i 1
Fn A ji ni
i 1
f
Fn nj
算符 F 本征值 Fn简并 的本质是当 Fn 确定后 还不能唯一的确定状态， 要想唯一的确定状态还 得寻找另外一个或几个 力学量算符，F 算符与 这些算符对易，其本征 值与 Fn 共同确定状态。
3.性质 II: 若 Ô, Û 均存在逆算符, 则 (Ô Û)-1 = Û-1 Ô-1
（8）算符函数
F ( x)
n 0 F ( n ) (0) n!
xn
设给定一函数 F(x), 其各阶导数均存在, 其幂级数展开收敛
则可定义算符 Û 的函数 F(Û)为:
例如:
i ˆ H t
ˆ) F (U
第三章 力学量的算符
§3-1 算符的引入
代表对波函数进行某种运算或变换的符号 由于算符只是一种运算符号，所以它单独存
在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波
函数做相应的运算才有意义，例如：
Ôu=v 表示 Ô 把函数 u 变成 v， Ô 就是这种变 换的算符。 1）du / dx = v ， d / dx 就是算符，其作用 是对函数 u 微商， 故称为微商算符。
对易 关系
同理可证其它坐标算符 与共轭动量满足 ˆy p ˆ y y i yp ˆz p ˆ z z i zp
ˆ p ˆ x i x p
写成通式:
ˆ p ˆ p ˆ p ˆ 0 p
, x, y, z
但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。 量子力学中最基本的 对易关系。
n 0


F ( n ) (0) n!
n ˆ U
e

n 0
1 n!
i ˆ n [ Ht ]
（9）复共轭算符
算符Û的复共轭算符 Û*就是把Û表达式中 的所有量换成复共轭. 例如: 坐标表象中
ˆ * ( i ) * p ˆ i p
（10）转置算符
~ ˆ 的转置算符U ˆ 定义为： 算符U ~ ˆ dU ˆ * d * U 式中
ˆ ˆ ˆ Lx ypz zp y i( y z ) z y ˆ ˆ ˆ L y z p x xp z i ( z x ) x z ˆ ˆ ˆ Lz xp y yp x i( x y ) y x
Hamilton 算符
d ˆ x i p dx
p2 在经典力学中， T 所以动能算符 2m ˆ 则 T T ( r )T ( r )dr
2 ˆ p ˆ T 2m
角动量算符
Lr p


ˆ ˆ Lrp
三个分量：
ˆ L ( r ) L( r )dr
2）x u = v， x 也是算符。 它对 u 作用 是使 u 变成 v。
体系状态用坐标表象中的波函数 ψ(r) 描
写时，坐标 x 的算符就是其自身，即
ˆ x x
说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。
而动量 px 在坐标表象（非自身表象）中的形式
必须改造成动量算符形式：
ˆ r 三维情况： r ˆ p i[i j k ] i x y z
( Fm Fn ) m * nd 0
（2）分立谱、连续谱正交归一表示式
1. 分立谱正 交归一条 件分别为：
n * n d 1 m * n d 0

m
* n d mn
2. 连续谱正 交归一条 件表示为：
3. 正交归一系
综合上述讨论可得如下结论： 既然厄密算符本征函数总可以 取为正交归一化的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时， 都是正交归一化的，即组成正交归一系。
(2) 力学量算符本征函数组成完备系 1. 函数的完备性
有一组函数φ n(x) (n=1,2,...),如果任意 函数ψ (x)可以按这组函数展开:
由此可得：:
ˆ d (O ˆ ) * d * O
转置算符 的定义
ˆ )] * [ d * (O ˆ * * dO ~ ˆ * d * O
厄密共轭 算符亦可 写成：
~ ˆ O ˆ* O

可以证明: (Ô Â)+ = Â+ Ô+ (Ô Â Û...)+ = ... Û+ Â+ Ô+
（6）对易括号
为了表述简洁，运算便利和研究量子 力学与经典力学的关系，人们定义了 对易括号： [Ô,Û ]≡ÔÛ - ÛÔ
ˆ ] i [ x , p
不难证明对易括号满足如下对易关系： 1) [Ô,Û] = - [Û,Ô] 2) [Ô,Û+Ê] = [Ô,Û ] + [Ô, Ê] 3) [Ô,ÛÊ] = [Ô,Û]Ê+ Û[Ô,Ê] 4) [Ô,[Û,Ê]] + [Û,[Ê, Ô]] + [Ê,[ Ô,Û]] = 0
若两个算符 Ô、Û 对体系的任何波函数ψ 有： ( Ô + Û) ψ= Ôψ+ Ûψ= Êψ 则Ô + Û = Ê 称为算符之和。
例如：体系Hamilton 算符 算符求和满足交换率和结合率。 注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 Ô - Û = Ô + （-Û）。 很易证明线性算符之和仍为线性算符。
取复共轭， Fm 为实数
若Fm≠Fn，则必有：
ˆ ) * d F * d ( F m m n m n
ˆ ) * d * F ˆ d F * d ( F m n m n n m n

m
* nd 0
[证毕]
二式相减得:
( x ) cnn ( x )
n