高中数学组合ppt课件
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排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关
想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?
两个相同的排列有什么. 特点?两个相同的组合呢?
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
组合数，用符号
C
m 表示
n
如: C32 3
C42 6
C 思考:如何计算:
3
4
.
写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。
c
a
b c
d d
abc ， abd ， acd ， bcd .
b cd
写出从 a , b , c , d 四个元素中任取三个元素的所有排列.
cdbd bc cdadacbd ad ab bcacab
个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的一个组合．
排列定义: 一般地说，从n个不同元素中，取出m (m≤n)
个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列.
思考: 排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？
共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序 排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”．
bcd acd abd abc
a
b
.
c
d
所有的排列为：
abc bac cab dab abd bad cad dac
acb bca cba dba acd bcd cbd dbc adb bda cda dca adc bdc . cdb dcb
组合
abc abd acd bcd
排列
abc bac cab acb bca cba
组合与组合数公式
.
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参
加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的
活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不
同的选法？
A
2 3
6
有顺序
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
无顺序
.
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）
分析：对于（1)，根据题意，17名学员没有角色差异， 地位完全一样，因此这是一个从 17 个不同元素中选 出11个元素的组合问题；对于（ 2 ) ，守门员的位置 是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是 一个分步完成的组合问题．
.
解： (1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形
成的学员上场方案有
abd bad dab adb bda dba
acd cad dac adc cda dca
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
.
A 求求3 4可 P34 可分 分两 两步 步考考 虑虑 ：：
C 第 一 步 ，3（ 4 ） 个 ； 4
A 第 二 步 ，3（ 6 ） 个 ； 3
A C A 根 据 分 步 计 数 原 理 ， 3 4
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的
所有组合分别是: ab , ac , bc (3个)
如:已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个
元素的所有组合.
a
b
c
bcd
cd
d
ab , ac , ad , bc , bd , cd 6个
.
练习: 中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组， 共有多少种分法? 组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，
共需握手多少次?
组合问题
(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法? 组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览 顺序,有多少种不同的方法? . 排列问题
请赛，通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（2） 冠 军
中
中
中
美
美
美
古
古
古俄
俄
俄
亚 军
美
古
俄
中
古
俄
中
美
俄
中
美
古
.
组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组
合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的
C 11 17
＝ 12 376 （种） .
(2）教练员可以分两步完成这件事情：
第1步，从17名学员中选出 11人组成上场小组，共 C
11 17
有种选法；
第2步，从选出的 选法．
11
人中选出
1
名守门员，共有种C
1
1 1
所以教练员做这件事情的方法数有 =136136（种）.
C
1171C
1 11
.
例7．（1）平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点 的线段共有多少条？ (2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有 向线段共有多少条？
解：(1）以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就 是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有
C 12 011029 45 （条）.
(2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以 平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从10 个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有
AHale Waihona Puke Baidu0210990（条）.
.
例8．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从 这 100 件产品中任意抽出 3 件 . (1）有多少种不同的抽法？ (2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？
3 3
4 3 .
A 从 而 3 C A 4
3
C344 3
P3 4
P3 3
3.
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
A C A m m m
n
nm
组合数公式:
C n mA A n m m mn(n1)(n2 m )L ! (nm1)
Cnm
n! m!(n m)!
.
C 例1计算：⑴
4 7
⑵
C
7 10
CA (3 )已 知3 2,求 n．
n
n
例2求证： Cmnn．mm1Cmn1
.
例6． 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前 没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足 球队的上场队员是11人．问： (l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方 案？ (2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员， 那么教练员有多少种方式做这件事情？
想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?
两个相同的排列有什么. 特点?两个相同的组合呢?
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
组合数，用符号
C
m 表示
n
如: C32 3
C42 6
C 思考:如何计算:
3
4
.
写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。
c
a
b c
d d
abc ， abd ， acd ， bcd .
b cd
写出从 a , b , c , d 四个元素中任取三个元素的所有排列.
cdbd bc cdadacbd ad ab bcacab
个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的一个组合．
排列定义: 一般地说，从n个不同元素中，取出m (m≤n)
个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列.
思考: 排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？
共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序 排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”．
bcd acd abd abc
a
b
.
c
d
所有的排列为：
abc bac cab dab abd bad cad dac
acb bca cba dba acd bcd cbd dbc adb bda cda dca adc bdc . cdb dcb
组合
abc abd acd bcd
排列
abc bac cab acb bca cba
组合与组合数公式
.
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参
加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的
活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不
同的选法？
A
2 3
6
有顺序
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
无顺序
.
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）
分析：对于（1)，根据题意，17名学员没有角色差异， 地位完全一样，因此这是一个从 17 个不同元素中选 出11个元素的组合问题；对于（ 2 ) ，守门员的位置 是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是 一个分步完成的组合问题．
.
解： (1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形
成的学员上场方案有
abd bad dab adb bda dba
acd cad dac adc cda dca
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
.
A 求求3 4可 P34 可分 分两 两步 步考考 虑虑 ：：
C 第 一 步 ，3（ 4 ） 个 ； 4
A 第 二 步 ，3（ 6 ） 个 ； 3
A C A 根 据 分 步 计 数 原 理 ， 3 4
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的
所有组合分别是: ab , ac , bc (3个)
如:已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个
元素的所有组合.
a
b
c
bcd
cd
d
ab , ac , ad , bc , bd , cd 6个
.
练习: 中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组， 共有多少种分法? 组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，
共需握手多少次?
组合问题
(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法? 组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览 顺序,有多少种不同的方法? . 排列问题
请赛，通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（2） 冠 军
中
中
中
美
美
美
古
古
古俄
俄
俄
亚 军
美
古
俄
中
古
俄
中
美
俄
中
美
古
.
组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组
合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的
C 11 17
＝ 12 376 （种） .
(2）教练员可以分两步完成这件事情：
第1步，从17名学员中选出 11人组成上场小组，共 C
11 17
有种选法；
第2步，从选出的 选法．
11
人中选出
1
名守门员，共有种C
1
1 1
所以教练员做这件事情的方法数有 =136136（种）.
C
1171C
1 11
.
例7．（1）平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点 的线段共有多少条？ (2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有 向线段共有多少条？
解：(1）以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就 是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有
C 12 011029 45 （条）.
(2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以 平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从10 个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有
AHale Waihona Puke Baidu0210990（条）.
.
例8．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从 这 100 件产品中任意抽出 3 件 . (1）有多少种不同的抽法？ (2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？
3 3
4 3 .
A 从 而 3 C A 4
3
C344 3
P3 4
P3 3
3.
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
A C A m m m
n
nm
组合数公式:
C n mA A n m m mn(n1)(n2 m )L ! (nm1)
Cnm
n! m!(n m)!
.
C 例1计算：⑴
4 7
⑵
C
7 10
CA (3 )已 知3 2,求 n．
n
n
例2求证： Cmnn．mm1Cmn1
.
例6． 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前 没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足 球队的上场队员是11人．问： (l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方 案？ (2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员， 那么教练员有多少种方式做这件事情？