2013 —2014工程随机数学试卷(A卷)答案

武汉大学2013 —2014学年度第 一 学期 《工程随机数学》试卷（A ）参考答案

学院 专业 班 学号 姓名 分数

1. （本题12分）某多径信道，有4种传播模式A 、B 、C 、D ，信号由这四种传播模式进行传播的概率分别是0.2, 0.1, 0.3, 0.4。现有一信号通过该信道进行传播，如果该信号通过A 、B 、C 传播而失真的概率分别是1/3, 1/12, 1/4，通过D 信道传播不会失真。目前该信号失真了，求该信号通过C 信道传播的概率是多少？

解：以S 记为失真事件，以A 、B 、C 、D 分别记为信号的传播模式，则A 、B 、C 、D 构成完备事件组。由全概率公式：

()()()()()()()()()

0.2130.11120.3140.400.15P S P A P S A P B P S B P C P S C P D P S D =+++=⨯+⨯+⨯+⨯=

又由贝叶斯公式，该信号通过C 信道传播的概率是：()()0.3140.5P C S =⨯=

2. （本题12分）设随机变量()1,5X U ，

（1） 求221Y X =+的概率密度函数。（2）求Y 的数学期望和方差。

解：（1）

()1,1540,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 ()

11351420,Y y f y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩

其他 （2）()()()()55

2211165=2+12+143E Y X f x dx X dx ==⎰⎰ ()()()22D Y E Y

E Y =-⎡⎤⎣⎦ ()()()522212+1E Y X f x dx =⎰ ()900445

D Y =

3. （本题12分）设二维随机变量(),X Y 的联合概率密度为 ()()11,1,0,xy x y f x y ⎧+<<=⎨⎩其他

证明X 与Y 不相互独立，X 2与Y 2相互独立 证：

根据联合概率密度函数可以得到：()12,10,X x f x else ⎧<=⎨⎩ ()12,10,Y y f y else

⎧<=⎨⎩ 因此，()()(),X Y f x y f x f y ≠，所以X 和Y 不相互独立。

又因为X 2的分布函数 (

)10,011,1x F x x x <⎧=≤<≥⎩

Y 2的分布函数 (

)20,0011,1

y F y y y <⎧=≤<≥⎩ ()22,X Y 的分布函数()3,F x y

(

)30,001,1,1,11,01

1,1,1x y x y F x y y x x y x y <<⎧⎪≤<≥⎪⎪=≤<≥⎨≤<≤<≥≥⎩

或

因此()()()312,F x y F x F y =成立，因此X 2和Y 2相互独立。

4. （本题12分）设总体X~N(3.4, 36)，12,,,n X X X 为X 的一个简单随机样本，

（1） 要使{1.4 5.4}0.95P X <<≥，样本容量n 至少应取多大？

（2） 统计量()()2

21=n i i Y a X b n χ=-∑ ，求a ，b

解：（1）由题设知，(

)(()3.40,1X N - ，故 {}{

}

1.4 5.4 3.42210.95

0.975

3P X P X P <<=-<=<⎪

⎭=Φ-≥⎝⎭

⎛⇒Φ≥ ⎝⎭

1.96≥，所以35n =

（2）由2χ分布的性质可知

3.4b =，16

a = 5.

X

p

其中β是未知参数(012β<<)，从总体X 中取样得到如下9个样本值：3，1，3，2，3，2，1，0，2；求β的矩估计和最大似然估计值。

解：（1）矩估计

()()()()22

014121232179

E X X ββββββ=⨯+⨯-+⨯-+⨯=-= 2172913ββ-=

=±

由于012β<<，矩估计13

β= （2）极大似然估计

由样本构造的似然函数为：

()()()()()()3

21324112L ββββββ=-- ()

923ln 0112d L d βββββ

=++=--

22222

β±=⨯ 由于012β<<

所以极大似然估计β= 6. （本题12分）随机地从A 批导线中抽取8根，又从B 批导线中抽取10根，测得电阻数据（单位：Ω）为：A 批：0.148, 0.142, 0.143, 0.137, 0.146, 0.138, 0.140, 0.141

B 批：0.140, 0.142, 0.136, 0.138, 0.140, 0.142, 0.141, 0.137, 0.141, 0.139

设A 批电阻21(,)X N μσ ，B 批电阻22(,)Y N μσ ，两批导线取样相互独立，求12μμ-的置信度为0.95的置信区间。

解：22212σσσ==，

但2σ未知，选用估计量T 。经计算，0.1419x =，0.1396y =，251 1.412510S -=⨯，262 4.266710S -=⨯，0.0029W S =，

()0.0258102 2.120t +-=，所以，μ的置信度为0.95的置信区间为 ()()()1220.00230.00290.0006,0.0052W X Y t n n S α⎛-+-==- ⎝

由于12μμ-的置信区间包含0，可以认为两个总体的均值无明显差异