2013 —2014工程随机数学试卷(A卷)答案
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武汉大学2013 —2014学年度第 一 学期 《工程随机数学》试卷(A )参考答案
学院 专业 班 学号 姓名 分数
1. (本题12分)某多径信道,有4种传播模式A 、B 、C 、D ,信号由这四种传播模式进行传播的概率分别是0.2, 0.1, 0.3, 0.4。现有一信号通过该信道进行传播,如果该信号通过A 、B 、C 传播而失真的概率分别是1/3, 1/12, 1/4,通过D 信道传播不会失真。目前该信号失真了,求该信号通过C 信道传播的概率是多少?
解:以S 记为失真事件,以A 、B 、C 、D 分别记为信号的传播模式,则A 、B 、C 、D 构成完备事件组。由全概率公式:
()()()()()()()()()
0.2130.11120.3140.400.15P S P A P S A P B P S B P C P S C P D P S D =+++=⨯+⨯+⨯+⨯=
又由贝叶斯公式,该信号通过C 信道传播的概率是:()()0.3140.5P C S =⨯=
2. (本题12分)设随机变量()1,5X U ,
(1) 求221Y X =+的概率密度函数。(2)求Y 的数学期望和方差。
解:(1)
()1,1540,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 ()
11351420,Y y f y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩
其他 (2)()()()()55
2211165=2+12+143E Y X f x dx X dx ==⎰⎰ ()()()22D Y E Y
E Y =-⎡⎤⎣⎦ ()()()522212+1E Y X f x dx =⎰ ()900445
D Y =
3. (本题12分)设二维随机变量(),X Y 的联合概率密度为 ()()11,1,0,xy x y f x y ⎧+<<=⎨⎩其他
证明X 与Y 不相互独立,X 2与Y 2相互独立 证:
根据联合概率密度函数可以得到:()12,10,X x f x else ⎧<=⎨⎩ ()12,10,Y y f y else
⎧<=⎨⎩ 因此,()()(),X Y f x y f x f y ≠,所以X 和Y 不相互独立。
又因为X 2的分布函数 (
)10,011,1x F x x x <⎧=≤<≥⎩
Y 2的分布函数 (
)20,0011,1
y F y y y <⎧=≤<≥⎩ ()22,X Y 的分布函数()3,F x y
(
)30,001,1,1,11,01
1,1,1x y x y F x y y x x y x y <<⎧⎪≤<≥⎪⎪=≤<≥⎨≤<≤<≥≥⎩
或
因此()()()312,F x y F x F y =成立,因此X 2和Y 2相互独立。
4. (本题12分)设总体X~N(3.4, 36),12,,,n X X X 为X 的一个简单随机样本,
(1) 要使{1.4 5.4}0.95P X <<≥,样本容量n 至少应取多大?
(2) 统计量()()2
21=n i i Y a X b n χ=-∑ ,求a ,b
解:(1)由题设知,(
)(()3.40,1X N - ,故 {}{
}
1.4 5.4 3.42210.95
0.975
3P X P X P <<=-<=<⎪
⎭=Φ-≥⎝⎭
⎛⇒Φ≥ ⎝⎭
1.96≥,所以35n =
(2)由2χ分布的性质可知
3.4b =,16
a = 5.
X
p
其中β是未知参数(012β<<),从总体X 中取样得到如下9个样本值:3,1,3,2,3,2,1,0,2;求β的矩估计和最大似然估计值。
解:(1)矩估计
()()()()22
014121232179
E X X ββββββ=⨯+⨯-+⨯-+⨯=-= 2172913ββ-=
=±
由于012β<<,矩估计13
β= (2)极大似然估计
由样本构造的似然函数为:
()()()()()()3
21324112L ββββββ=-- ()
923ln 0112d L d βββββ
=++=--
22222
β±=⨯ 由于012β<<
所以极大似然估计β= 6. (本题12分)随机地从A 批导线中抽取8根,又从B 批导线中抽取10根,测得电阻数据(单位:Ω)为:A 批:0.148, 0.142, 0.143, 0.137, 0.146, 0.138, 0.140, 0.141
B 批:0.140, 0.142, 0.136, 0.138, 0.140, 0.142, 0.141, 0.137, 0.141, 0.139
设A 批电阻21(,)X N μσ ,B 批电阻22(,)Y N μσ ,两批导线取样相互独立,求12μμ-的置信度为0.95的置信区间。
解:22212σσσ==,
但2σ未知,选用估计量T 。经计算,0.1419x =,0.1396y =,251 1.412510S -=⨯,262 4.266710S -=⨯,0.0029W S =,
()0.0258102 2.120t +-=,所以,μ的置信度为0.95的置信区间为 ()()()1220.00230.00290.0006,0.0052W X Y t n n S α⎛-+-==- ⎝
由于12μμ-的置信区间包含0,可以认为两个总体的均值无明显差异