第八章应力状态强度理论

第八章 应力状态 强度理论

1 基本概念及知识要点

1.1 基本概念

点的应力状态、 应力圆、 主平面、 主应力、 主方向、 最大剪应力。

以上概念是进行应力应变分析以及强度计算的基础，应准确掌握和理解这些基本概念。

1.2 二向应力状态的解析法与图解法

实际工程中的许多问题，可以简化成二向应力状态问题，建议熟练掌握二向应力状态解析法和图解法。在学习该知识点时，应注意以下几点：

(1) 单元体平衡，则单元体中任取出的一部分在所有力的作用下也平衡； (2) 过一点相互垂直两平面上有

y x σσσσαα+=90＋＋ 90＋ααττ-=

主应力和最大剪应力间

2

min

max min

max σστ-±

= 01045±αα＝

请注意理解以上各式所代表的物理意义。

（3） 主要公式：任意斜截面应力、主应力、主平面、最大剪应力及其作用平面，详见教材。上述公式建议熟记。

（4） 应用图解法时注意以下对应关系

应力：圆上一点，体上一面；直径两端，垂直两面。 夹角：圆上半径，体上法线；转向一致，转角两倍。

1.3 三向应力状态的最大剪应力

无论是三向应力状态，还是做为特例的二向应力状态或单向应力状态，都是用如下公式计算最大剪应力

2

3

1max σστ-=

在二向应力状态下，垂直于主应力为零的主平面的那一组平面中，剪应力的最大值，称为面内最大剪应力。可用公式 2

2

min

max

2xy y

x τσστ+⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-±=计算。 1.4 广义胡克定律

在比例极限范围内，变形非常小。线应变只与正应力有关，与剪应力无关；剪应变只与剪应力有关，与正应力无关。换言之，正应力与剪应力、线应变与剪应变，彼此间互不影响。

1.5 常用的四种强度理论及其应用

（1）当应力状态较复杂时，材料的失效，不仅与各个主应力的大小有关，而且与它们的比值有关。

实际杆件受力多种多样，其主应力比值也各不相同，若通过实验，寻找各种主应力比值下，失效时的主应力值，建立失效准则，需要进行大量的实验。这样做，不但不经济，而且，对于某些应力状态（例如：三向等拉）进行失效实验时，在技术上也是难以实现的。

对于复杂应力状态，通常的做法是：在有限的实验结果基础上，对失效现象加以总结，寻找失效规律，从而提出关于材料失效原因的假说，一般地，无论什么材料，无论何种应力状态，只要失效形式相同，便假设具有共同的失效原因。这样就可应用一些简单实验结果，预测材料在各种不同应力状态下何时失效，建立材料在复杂应力状态下的失效准则（判据）和相应的设计准则。

（2）主要公式：常用四种强度理论所对应的强度条件，详见教材。

2重点与难点及解析方法

2.1二向应力状态分析的解析法

二向应力状态分析是建立复杂应力状态下强度理论、强度条件的基础。

解析方法：（1）任意斜截面上应力：首先根据已知条件，判断单元体上已知的两相

互垂直平面上正应力及剪应力的正负、所求任意截面的方位角，然后代入斜截面应力计算公式，计算所求截面的正应力及剪应力，并根据计算结果将其标在单元体上。

（1）主应力：首先根据已知条件，判断单元体上已知的两相互垂直平面上正应力及剪应力的正负，然后代入主应力及其方位角计算公式，计算单元体的主应力及其方位角，并根据计算结果将主应力标在单元体上。

2.2广义胡克定律

在线弹性范围内，广义胡克定律是联系力和变形的重要定律。

解析方法：在线弹性范围内，当已知力求变形或已知变形求力时，常常会用到胡克

定律，在应用胡克定律时，首先需要判断所研究的问题是单向应力状态还是复杂应力状态，并据此采用单向应力状态下的胡克定律，或复杂应力状态下的胡克定律。

2.3常用的四种强度理论及应用

进行复杂应力状态下强度分析的理论依据。

解析方法：构件受力变形后，若危险点处于复杂应力状态，需用强度理论进行强度分析和计算。脆性材料采用第一、第二强度理论，塑性材料采用第三、第四强度理论。

3典型问题解析

3.1二向应力状态分析的解析法

例题8.1：梁横截面上的内力为M 、F s ，如图8－1（a ）所示，试用单元体表示截面上点1、

2、3、4的应力状态。 [解]

点1 z

x W M -

=σ 所以 x σσσσ===321 0 点2 A

F s

23＝

τ τσστσ－===321 0

点3 z x I My -=σ b I S F z s *=τ 2

2

3

122τσσσ+⎪⎭⎫ ⎝⎛±=x x σ2=0

点4 z

x W M

=

σ 所以 x σσσσ===123 0 点1、2、3、4的单元体及主应力主平面如图8－1（b ）所示。

解题指导：

一点的应力状态可用单元体描述。在取初始单元体时，应选择能够确定其应力的截面方位，如横截面。

例题8.2：单元体如图8－2（a ）所示。求指定截面上的正应力和剪应力、单元体的主应力、主平面，将主应力标在主平面上。应力单位：MPa 。

[解]

图8－1（a ）

图8－1（b ）

1.确定已知相互垂直截面上正应力及剪应力的符号：

σx =－20 σy =30 τ

xy =20

α=300

2. 计算300斜截面上的正应力、切应力： 代入斜截面应力计算公式

MPa 8.24 60sin 2060cos 2

30

202302030-=- －－＋＋－＝

σ

由上述计算结果将σα、τα标在单元体上,如图8－1（b ）。

3. 确定主应力： 主应力大小：

max

min

372030272MPa MPa σ+=-－

由上述计算结果，按代数值大小确定三个主应力数值：

σ1=37 σ2=0 σ3=－27 主平面方位：

30

2020

22tan 0-⨯-

=－α

α

0 ＝19.30

α

0 +900 ＝109.30

将主应力、主平面标在单元体上，如图图8－1（c 解题指导：

1．在实际工程中，当受力比较复杂时，强度计算中

遇到的危险点经常是处于复杂应力状态，将涉及危险点主应力计算及主平面方位的确

图8－2（a ）

302030

sin 6020cos602 11.7MPa τ+=-

－－＝图8－2（b ）