复变函数与积分变换第五章留数及其应用

因此, zk (k 0,1, 2,L ) 是 f (z)的1级极点 .
推论
设
f (z) P(z), Q(z)
z0是P(z)的m级零点,
也是Q(z)的n级零点, 则当n>m时, z0是f (z)的n-m级
极点; 而当nm时, z0是f (z)的可去奇点.
例5.4
考虑函数
f (z)
1
cos z5
展开式中含有无穷多个系数非零的 z z0负幂项, 即
存在无限个整数n<0, 使得 cn 0, 则称z0是函数f (z)
的本性奇点.
1
1
例5.5 z=0是 e z 和 sin z 的本性奇点. 这是因为
1
ez
1 z1
z 2
L
zn
L
0 z ,
2!
n!
sin 1 z1 z3 z5 L
其中 (z) 在点z0解析, 且 (z0 ) 0,
则
1
(z)
在点z0
解析,
1 0.
(z0 )
因此
1 (z
)
在z0处可展开成Taylor
级数
1
z
cn(z z0 )n ,
n0
且 c0
1
(z0 )
0.
于是
如z 果 zf0(的z)在负0幂项z,即z0当nf1(内z)的1,L2na,u0rc3enn,(Lzt z0 )nm ,
z z0
z z0
不妨设在 0
z z0
内,
f (z) 0. 令F (z)
1, f (z)
则F(z)在 0 z z0 内解析，并且
lim F (z) 0.
z z0
所以z0是F(z)的可去奇点, 于是在 0 z z0 内,
F(z)的Laurent级数展开式为
F (z) 0 1(z z0 ) L n(z z0 )n L ,
所以容易看出, z i 是 f (z) 的1级极点, z 1 是
f (z)的3级极点. 1
定理5.3 设z0是f (z)的m级零点, 则z0是 f (z) 1
的m级极点; 设z0是f (z)的m级极点, 则z0是 f (z) 的 可去奇点. (零点与极点的关系)
证明 设z0是f (z)的m级零点, 记
令 g(z) cm cm1(z z0 ) L cn(z zn )nm L ,
则 g(z)在 z z0 内解析，且 g(z0 ) cm 0, 即
f
(z)
(z
1 z0 )m
g(z).
反之, 对 0 z z0 内的解析函数 f (z), 如果
lim f (z) , 即 lim f (z) ,
的本性奇点的充分必要条件是对任何有限或无穷
的复数w0 , 都存在点列 {zn }, 使得 zn z0 , 并且
lim
n
f
(zn )
w0 .
综上所述:
孤立奇点 可去奇点
Laurent级数的特点 无负幂项
lim f (z)
z z0
存在且为 有限值
含有有限个负幂项
m级极点 关于(z z0 )1的最高幂 为 (z z0 )m
z 不是函数 sin 1
的孤立奇点,
因为 1
k
(k
1,2,L
)
都是奇点. z
若z0 是 f (z)的孤立奇点，此时f (z) 在圆环域
0 z z0 内解析, 根据Laurent级数展开定理，
则f (z)可以展开为Laurent级数
f (z) cn(z z0 )n , n
Ñ 其中
1
f (z)
f (z) cn(z z0 )n c1(z z0 )1 c0 c1(z z0 ) L cn(z z0 )n L .
在 0 z z0 R 内取分段光滑正向Jordan曲线C ,
C .z0
曲线C包含z0在其内部. 考虑积分
Ñ f (z)dz 根据 复合闭路定理 ,
第五章 留数及其应用
§5.1 孤立奇点 §5.2 留数的一般理论 §5.3 函数在无穷远点的留数 §5.4 留数的应用
主要内容
本章介绍孤立奇点、留数的概念； 孤立奇点处留数的计算；并将其应用 于实函数积分的计算.
§5.1 孤立奇点
1 可去奇点 2 极点 3 本性奇点
本章将利用函数的Laurent级数展开式研究
无穷多负幂项
0 z .
z
3! 5!
定理5.4 设 f (z)在0 z z0 内解析，则
z0 是 f (z)的本性奇点的充分必要条件是
lim
z z0
f (z)
不存在有限或无穷的极限.
Weierstrass得到了如下重要结论：
设 f (z)在 0 z z0 内解析，则 z0 是 f (z)
通区域 D上的积解分析值与函圆数周，的则中心 对、D半内径的无任关何. 可求
Laurent 级数中长负Jo幂rda项n曲c线1(Cz, 都有z0 )1的系数
Ñ 即 c1
1
2 i
C
f (z)dz
函数在孤立奇点处的性质.
如果函数 f (z)在z0点不解析, 则称z0 是f (z)的
一个奇点. 如果z0 是f (z)的一个奇点, 且存在d >0,
使得f (z)在 0 z z0 内解析，则称z0 是f (z)的
孤立奇点.
1 sin z 例如z=0是函数 e z 和 z 的孤立奇点. 但z=0
是例D3上.2的. 解析函数2, 那i 么
蜒 ?n
C
c0dz
c1 ( z
z0蜒 )dC zf
(z)Ldz
1 k 1
c Cnk
(f
z( z)d z2z,0i),
n
dz
n
0,
L
C1
C
C
Ñ 其中C和zzC0 rk(z1Ckz0)nn1)取 dz 正向 0, . n 0D.
2 ic1,
定理2.03 (Cauchy积分定理) 设f (z)是单连
并且存在 m 1, 使得 0 1 L m1 0, 而
m 0. 于是 F (z) (z z0 )mG(z), 其中 G(z) 在
1
z z0
内解析，G(z0 ) m
0.
令 g(z) , G(z)
所以 f (z) (z z0 )m g(z), 其中g(z)在 z z0
内解析，g(z0 ) 0, 那么 z0是f (z)的m级极点.
得cn
f (z) M,
0.
则 C f (z)d
定理5.1 设f (z)在 0 z z0 内解析, 则
z0 是 f (z) 的可去奇点的充分必要条件是存在极限
lim
z z0
f
(z)
c0 ,
其中c0是有限复常数.
这样我们有两种方法来判别函数f (z)的奇点
z0是否为可去奇点. 1.由定义判断: 如果f (z)在z0的Laurent 级数无负
定理5.2 设 f (z)在0 z z0 内解析，则
z0是f (z)的极点的充分必要条件是 lim f (z) .
z z0
这样我们有三种方法来判别函数f (z)的奇点 z0是否为极点.
1. 由定义判别： f (z)的Laurent展开式中含有
z z0 的有限负幂项.
2. 由等价形式判别：在点 z0的某去心邻域内有 f (z) (z z0 )m g(z) (m 1),
f (z) cn(z z0 )n , n
Ñ 其中
cn
1
2 i
C
(z
f (z) z0 )n1
dz
(n 0,1,2,L
), 并且
C : z z0 r 取正向. 于是根据 估值不等式
Ñ cn
1
f (z)
2 i c (z z0 )n1 dz
M
2 n1
2
M
设曲n线. C的长度为
当n为负整数时, 令 0,
f (z) (z z0 )m(z),
其中 (z) 在点z0解析, 且 (z0 ) 0,
1
则 (z)
在点z0
1
解析, (z0 ) 0.
因此，f
1 (z)
(z
z0
)m
1
(z)
.
于是，
1 z0是 f (z) 的m级极点.
反之，设z0是f (z)的m级极点, 记
f (z) (z z0 )m(z),
1
称z0是 f根(z)据的可去奇点.的定义知, z0是函数 f (z) 的可去奇点.
例5.3
求
f
(z)
1 ez 1
的孤立奇点,
并指出
奇点的类型.
解 显然, zk (2k 1) i (k 0, 1, 2,L ) 是
ez 1的零点，但是
(ez 1) ez , e(2k1)i 1 0, 故 zk (k 0, 1, 2,L ) 是 ez 1的1级零点.
幂项, 则z0是f (z)的可去奇点.
2. 由极限判断：若极限 lim f (z) 存在且为有限值, z z0 则z0是f (z)的可去奇点.
例5.1 因为 sin z 在 0 z 内的展开式为 z
sin z 1 1 z2 1 z4 L ,
z
3! 5!
无负幂项
或者 lim sin z 1, 所以z=0是 sin z 的可去奇点 .
z0 z
z
如果补充定义:
f
(z)
sin z
z
,
z 0;
1, z 0,
则f (z)在全平面解析.
5.1.2 极点
定义5.2 如果f (z)在 0 z z0 的Laurent
级数展开式中只含有有限个 z z0 的负幂次项, 即 只有有限个(至少一个)整数 n 0, 使得 cn 0, 则称 z0是f (z)的极点. 如果存在正整数m , 使得 cm 0, 而对于整数 n m, 有 cn 0, 则称z0是f (z)的m级 极点.
z
.
设
P(z) 1 cos z, Q(z) z5. 显然, z=0是Q(z)的5级零点. 因为
不是5 级极点
P(0) P(0) 0, P(0) 1 0,
所以, z=0是P(z)的2级零点. 故z=0是f (z)的3级极点 .
5.1.3 本性奇点
定义5.3 如果f (z)在 0 z z0 内的Laurent
cn 2 i C (z z0 )n1 dz
(n 0,1,2,L ), C是
z0为中心, 半径小于 的圆周的正向.
根据Laurent级数展开式的系数cn的不同情况,
可以把 f (z)的孤立奇点进行分类.
5.1.1 可去奇点
定义5.1 如果f (z)在 0 z z0 内的Laurent
级数中不含有 z z0 的负幂项, 即当 n 1,2, 3,L 时, cn 0, 则称z0是 f (z)的可去奇点.
本性奇点 含无穷多个负幂项
不存在 且不为
§5.2 留数的一般理论
1 留数定义及留数基本定理 2 留数的计算
5.2.1 留数定义及留数基本定理
设 z0 为 f (z)的一个孤立奇点, 则存在 R>0,
R
C .z0
使得f (z)在 0 z z0 R内解析. f (z) 在 0 z z0 R内Laurent 级数为
当 z0是f (z)的m级极点时, Laurent级数展开式
f (z) cm (z z0 )m cm1(z z0 )m1 L
+c1(z z0 )1 c0 c1(z z0 ) c2(z z0 )2 L ,
其中 cm 0 (m 1). 于是 f (z) (z z0 )m cm cm1(z z0 ) cm2(z z0 )2 L ,
其中 g(z) 在 z0 的邻域内解析, 且 g(z0 ) 0. 3. 由极限判别：lim f (z) .
z z0
例5.2
考虑函数
f
(z)
(z2
z2 1)(z 1)3
.
显然,
z i 和 z 1是 f (z)的孤立奇点. 因为
f (z) (z 1)3(z i)1(z i)1(z 2),
此时 f (z) c0 c1(z z0 ) L cn(z z0 )n L .
这个幂级数的收敛半径至少为 , 和函数(z)在z0
处解析.
无论 f (z)在z0是否有定义, 可定义
f
(z0 )
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c0
lim
z z0
f
(z)
(z0 ),
则在 z z0 内 f (z) (z) 解析.
反之, 若 f (z)在 0 z z0 内解析, 且极限
C
定理积2.4分设与C曲,C线1,CC的2 ,L选,C取n是 无多关连通区
cn (z z0 )n d都 分z在 段光 C的 滑内 (或 c部 可1, 求 它(z长 们)互Jz不 o0r)d包 a1含 nd曲 z也线互, 不C1相,C交2 ,L,
C
0
C ,C1 ,C2 ,L ,CnC为边界的闭区域含于D内.
lim
z z0
f (z)存在，则
z0
是
f (z) 的可去奇点.
事实上:
由于 lim z z0
f (z)存在,
函数 f (z)在 z0 点
某个去心邻域内有界，即存在两个正数 M 和 r< ,
使得在 0 z z0 r内，有 f (z) M .
又因为f (z)在 0 z z0 内解析, 所以